【本講教育信息】

一. 教學內(nèi)容：

圓的方程

二. 教學目的：

使學生掌握圓的標準方程、一般方程的特點，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準確地寫出圓的方程，能運用圓的方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡單的實際問題．

三. 教學重、難點

教學重點：掌握圓的方程的推導步驟；根據(jù)具體條件正確寫出圓的方程．

教學難點：運用圓的方程解決一些簡單的實際問題．

四. 基本內(nèi)容

1. 圓的定義：平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓．

2. 求曲線方程的一般步驟為：

（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；

（2）寫出適合條件P的點M的集合；（可以省略，直接列出曲線方程．）

（3）用坐標表示條件P（M），列出方程；

（4）化方程為最簡形式；

（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點（可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當予以說明）

3. 圓的標準方程 ：

已知圓心為，半徑為，如何求圓的方程？

運用上節(jié)課求曲線方程的方法，從圓的定義出發(fā)，正確地推導出：這個方程叫做圓的標準方程．

若圓心在坐標原點上，這時，則圓的方程就是．

4. 圓的標準方程的兩個基本要素：圓心坐標和半徑．

圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要三個量確定了且＞0，圓的方程就給定了．這就是說要確定圓的方程，必須具備三個獨立的條件．確定，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來解決．

5. 圓的一般方程： 將圓的標準方程的展開式為：

，取得

    ①

再將①方程配方，得

    ②

不難看出，此方程與圓的標準方程的關(guān)系

（1）當時，表示以（－，－）為圓心，為半徑的圓；

（2）當時，方程只有實數(shù)解，，即只表示一個點（－，－）；

（3）當時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．

綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓．

只有當時，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程．

6. 圓的一般方程與圓的標準方程比較，圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點：

（1）和的系數(shù)相同，且不等于0；

（2）沒有這樣的二次項．

但要注意：以上兩點是二元二次方程表示圓的必要條件，但不是充分條件．

看來，要想求出圓的一般方程，只要根據(jù)已知條件確定三個系數(shù)就可以了．

7. 圓的切線的求法

（1）若點（，）在圓+=的外面，則切線方程為（斜率存在時），利用圓心到切線的距離等于半徑列出方程，求出k，當斜率不存在時，結(jié)合圖形求出．

（2）若點（，）在圓上，則切線方程為．

（3）若切線斜率為k，則圓的切線方程為．

8. 有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系問題，為避免計算量過大，一般不用判別式，而是用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系求解；圓與直線的交點問題則常用根與系數(shù)的關(guān)系簡化運算過程 ．

9. 圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r（R≥r），圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下條件：

外離d > R＋r

外切

相交

內(nèi)切

內(nèi)含

【典型例題】

例1. 求以C（1，3）為圓心，并且和直線相切的圓的方程．

解：已知圓心坐標C（1，3），故只要求出圓的半徑，就能寫出圓的標準方程．因為圓C和直線相切，所以半徑就等于圓心C到這條直線的距離．根據(jù)點到直線的距離公式，得

．

因此，所求圓的方程是

．

點評：由本題可知，圓的標準方程是由圓心坐標和半徑兩因素決定的．而且圓的半徑與圓的切線有著非常密切的聯(lián)系，解題要注意運用圓的切線的性質(zhì)．解題時畫出草圖可幫助思考．

例2. 已知圓的方程，求經(jīng)過圓上一點的切線方程．

解：如圖，設(shè)切線的斜率為，半徑OM的斜率為．因為圓的切線垂直于過切點的半徑，于是．

∵  ∴．

經(jīng)過點M的切線方程是  ，

整理得   ．

因為點在圓上，所以，所求切線方程是．

點評：用斜率的知識來求切線方程，這就是“代數(shù)方程”：即設(shè)出圓的切線方程，將其代入到圓的方程，得到一個關(guān)于或的一元二次方程，利用判別式進行求解，但此法不如用幾何方法簡練實用，幾何方法就是利用圓心到直線的距離等于半徑（本題利用了圓心到切點的距離為半徑的知識），由此確定了斜率的，從而得到點斜式的切線方程，以上兩種方法只能求出存在斜率的切線，若斜率不存在，則要結(jié)合圖形配補．

例3. 求過三點的圓的方程，并求這個圓的半徑和圓心坐標．

分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標準方程，而圓的一般方程則需確定三個系數(shù)，而條件恰給出三點坐標，不妨試著先寫出圓的一般方程．

解：設(shè)所求的圓的方程為：

∵在圓上，所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程，可以得到關(guān)于的三元一次方程組，

即

解此方程組，可得：．

∴所求圓的方程為：．

；．

得圓心坐標為（4，－3）．

或?qū)?/span>左邊配方化為圓的標準方程，，從而求出圓的半徑，圓心坐標為（4，－3）．

例4. 已知一曲線是與兩個定點O（0，0）、A（3，0）距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線．

分析：在求出曲線方程之前，很難確定曲線類型，所以應(yīng)按照求曲線方程的一般步驟先將曲線方程求出．

解：在給定的坐標系里，設(shè)點是曲線上的任意一點，也就是點屬于集合．

即，

整理得：

所求曲線方程即為：．

將其左邊配方，得．

∴此曲線是以點C（－1，0）為圓心，2為半徑的圓.如右上圖所示．

例5. 求圓心在直線x－y－4=0上，且經(jīng)過兩圓和的交點的圓的方程．

解：設(shè)經(jīng)過兩已知圓的交點的圓的方程為

則其圓心坐標為．

∵所求圓的圓心在直線上，

∴．

∴所求圓的方程為．

說明：此題也可先求出兩圓的交點，然后用待定系數(shù)法求出圓的方程．

例6. 如圖所示，已知點P是圓上的一個動點，點A是軸上的定點，坐標為（12，0）.點P在圓上運動時，線段PA的中點M的軌跡是什么？

分析：應(yīng)先根據(jù)線段中點坐標公式得點M的橫、縱坐標，表示出來，然后判斷其關(guān)系，從而確定其曲線類型．

解：設(shè)點M的坐標是（）．

∵圓的參數(shù)方程為：

又∵點P在圓上，∴設(shè)P的坐標為（4cosθ，4sinθ）

由線段中點坐標公式可得點M的軌跡的參數(shù)方程為：．

從而判斷線段PA的中點M的軌跡是以點（6，0）為圓心、2為半徑的圓．

例7. 若實數(shù)滿足，求的最大值．

分析一：將圓化為參數(shù)方程來解．

解法一：將圓變?yōu)?/span>

∴圓的參數(shù)方程為

代入得

=（1+cosθ）－（－2+sinθ）=3+（cosθ－sinθ）

=3+cos（θ+）≤3+

∴的最大值為3+．

分析二：令=u代入圓方程來解.

解析二：令u=，則代入圓方程得

由即

∴3－≤u≤3+，即3－≤x－y≤3+

∴的最大值為3+．

例8. 已知對于圓上任意一點P（），不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

分析：將圓的參數(shù)方程代入，轉(zhuǎn)化為求的最值問題來解．

解：由得其參數(shù)方程為：

代入，得cosθ+1+sinθ+≥0

∴≥－cosθ－sinθ－1．

∴≥－sin（θ＋）－1恒成立，

∴轉(zhuǎn)化為求－sin（θ+）－1的最大值，

∵－sin（θ+）－1的最大值為－1．

∴≥－1．

例9. 已知點A（0，2）和圓C：，一條光線從A點出發(fā)射到軸上后沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經(jīng)過的路程．

解：設(shè)反射光線與圓相切于D點.點A關(guān)于軸的對稱點的坐標為，則光線從A點到切點所走的路程為｜｜．

在Ｒｔ△中，



∴｜｜＝．即光線從A點到切點所經(jīng)過的路程是．

點評：此例的解法關(guān)鍵是利用A關(guān)于x軸的對稱點在反射光線上，把光線從A點到折射點再到切點D的路程，轉(zhuǎn)化為求線段的長.本例的其他解法都不如這個解法簡便．

例10. 已知圓和直線交于P、Q兩點且OP⊥OQ（O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑．

分析：利用“OP⊥OQ”求出m，問題可解．

解：將代入方程，得

設(shè)P、Q，則滿足條件：

∵ OP⊥OQ， ∴而，，

∴，

∴m=3，此時Δ>0，圓心坐標為（－，3），半徑．

點評：在解答中，我們采用了對直線與圓的交點“設(shè)而不求”的解法技巧，由于“OP⊥OQ，”即等價于“”所以最終應(yīng)考慮用韋達定理來求m．另外，在使用“設(shè)而不求”的技巧時，必須注意這樣的交點是否存在，這可由判別式大于零幫助考慮．

例11. 設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3：1，在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程.

解法一： 設(shè)圓的圓心為P（a，b），半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為│b│，  │a│.

由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對的圓心角為90°，知圓P截x軸所得的弦長為，故r²=2b²，

又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有

r²=a²+1.

從而得2b²－a²=1. 

又點P（a，b）到直線x－2y=0的距離為

，

所以5d²=│a－2b│²

=a²+4b²－4ab

≥a²+4b²－2（a²+b²）

=2b²－a²=1，

當且僅當a=b時上式等號成立，此時5d²=1，從而d取得最小值. 

由此有

解此方程組得

或

由于r²=2b²知.

于是，所求圓的方程是

（x－1） ²+（y－1） ²=2，或（x+1） ²+（y+1） ²=2. 

解法二：同解法一，得

∴

得             ①

將a²=2b²－1代入①式，整理得

             ②

把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即

△=8（5d²－1）≥0，

得    5d²≥1.

∴5d²有最小值1，從而d有最小值. 

將其代入②式得2b²±4b+2=0. 解得b=±1.

將b=±1代入r²=2b²，得r²=2. 由r²=a²+1得a=±1.

綜上a=±1，b=±1，r²=2.

由=1知a，b同號.

于是，所求圓的方程是

（x－1） ²+（y－1） ²=2，或（x+1） ²+（y+1） ²=2.

【模擬試題】

1. 求下列各圓的標準方程：

（1）圓心在上且過兩點（2，0），（0，－4）；

（2）圓心在直線上，且與直線切于點M（2，－1）.

（3）圓心在直線上，且與坐標軸相切．

2. 已知圓．求：

（1）過點A（4，－3）的切線方程.（2）過點B（－5，2）的切線方程．

3. 下列方程各表示什么圖形？

（1）；

（2）；

（3）

4. 求下列各圓的半徑和圓的坐標：

（1）  

（2）

（3）

5. 若實數(shù)x、y滿足等式 ，那么的最大值為（    ）

A.                           B.                         C.                 D.  

6. 經(jīng)過圓上任一點P作x軸的垂線，垂足為Q，求線段PQ中點軌跡的普通方程．

7. 已知點M是圓上的一個動點，點N（2，6）為定點，當點M在圓上運動時，求線段MN的中點P的軌跡方程，并說明軌跡的圖形．

8. 已知一圓C的圓心為（2，－1），且該圓被直線：x－y－1=0 截得的弦長為2，求該圓的方程及過弦的兩端點的切線方程．

9. 已知直線：mx－y=0 ，：x+my－m－2=0．

（1）求證：對m  ∈R，與 的交點P在一個定圓上；

（2）若與定圓的另一個交點為，與定圓的另一交點為，求當m在實數(shù)范圍內(nèi)取值時，Δ面積的最大值及對應(yīng)的m．

【試題答案】

1. 分析：從圓的標準方程可知，要確定圓的標準方程，可用待定系數(shù)法確定三個參數(shù)．

解：（1）設(shè)圓心坐標為（），則所求圓的方程為，

∵圓心在上，∴              ①

又∵圓過（2，0），（0，－4）∴  ②

                                                   ③

由①②③聯(lián)立方程組，可得

∴所求圓的方程為．

（2）∵圓與直線相切，并切于點M（2，－1），則圓心必在過點M（2，－1）且垂直于的直線：上，

，即圓心為C（1，－2），=，

∴所求圓的方程為：．

（3）設(shè)所求圓的方程為，

∵圓與坐標軸相切，   ∴．

又∵圓心（）在直線上，∴．

由，得

∴所求圓的方程為：或

2. 分析：求過一點的切線方程，當斜率存在時可設(shè)為點斜式，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在時，結(jié)合圖形驗證；當然若過圓上一點的切線方程，可利用公式求得．

解：（1）∵點A（4，－3）在圓上．

∴過點A的切線方程為：．

（2）∵點B（－5，2）不在圓上，當過點B（－5，2）的切線的斜率存在時，設(shè)所求切線方程為，即

由，得．∴此時切線方程為：．

當過點B（－5，2）的切線斜率不存在時，結(jié)合圖形可知=－5，也是切線方程．

綜上所述，所求切線方程為：或=－5．

3.

（1） 解：此方程表示一個點O（0，0）．

（2） 解：可化為：  

∴此方程表示以點（1，－2）為圓心，為半徑的圓．

（3） 解：可化為：，

∴此方程表示以（－，0）為圓心，為半徑的圓．

4.

（1） 答案：即，圓心為（3，0），半徑為3

（2） 答案：即，圓心為（0，－b），半徑為｜b|．

（3） 答案：即，圓心為（， ），半徑為｜｜．

5. 解：∵實數(shù)滿足，

∴（）是圓上的點，記為P，

∵是直線OP的斜率，記為．

∴OP：，代入圓方程，消去，得．

直線OP與圓有公共點的充要條件是≥0，

∴，所以，選Ｄ．

6. 解：設(shè)M（）為線段PQ的中點，

∵圓的參數(shù)方程為

又∵點P為圓上任一點

∴可設(shè)點P的坐標為（2cosθ，2sinθ）

則Q點的坐標為（2cosθ，０）

由線段中點坐標公式，得點M軌跡的參數(shù)方程為：

消去參數(shù)θ，可得：  即．

7. 分析：先將圓化為利用圓的參數(shù)方程求解．

解：將已知圓的方程化為：

則其參數(shù)方程為故可設(shè)點M（2+2cosθ，2sinθ）

又∵點N（2，6）.∴MN的中點P為

∴點P的軌跡方程為：

它表示圓心在（2，3），半徑為1的圓．

8. 分析：通過弦長與圓半徑的關(guān)系可以求出圓的半徑，得到圓的方程，其它問題易解．

解：設(shè)圓C的方程是（r>0），

則弦長P=2，其中d為圓心到直線x－y－1=0的距離，

∴P=2=2，∴，

圓的方程為  ．

由   ，

解得弦的二端點坐標是（2，1）、（0，－1）．

∴過弦二端點的該圓的切線方程是

和

即 和．

點評：在圓中，對弦長的計算有兩種方法：一用弦長公式．二用勾股定理，注意根據(jù)已知條件選用．本題中的切線方程若結(jié)合圖形極易得出

9. 分析： 請試從作與 的圖形，分析與 的位置入手解題．

解：（1）與 分別過定點（0，0）、（2，1），且兩兩垂直，

∴ 與 的交點必在以（0，0）、（2，1）為一條直徑的圓：

 即 上．

（2）由（1）得 （0，0）、（2，1），

∴Δ面積的最大值必為．

此時OP與的夾角是，∴ m=3或．

點評：涉及多條曲線位置關(guān)系問題，要注意運用圖形分析方法，用圖形的直觀來避免代數(shù)運算的盲目性和復(fù)雜性．