【本講教育信息】

一. 教學內(nèi)容：

       橢圓的幾何性質(zhì)

二. 教學目標：

通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，并了解橢圓的一些實際應用．

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學，培養(yǎng)學生分析問題和解決實際問題的能力．

使學生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等．

三. 重點、難點：

重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用．

難點：橢圓離心率的概念的理解．

四. 知識梳理

1、幾何性質(zhì)

（1）范圍，即|x|≤a，|y|≤b，這說明橢圓在直線x＝±a和直線y＝±b所圍成的矩形里．注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點．

（2）對稱性

把x換成－x，或把y換成－y，或把x、y同時換成－x、－y時，方程都不變，所以圖形關于y軸、x軸或原點對稱

（3）頂點

在中，須令x＝0，得y＝±b，點B₁（0，－b）、B₂（0，b）是橢圓和y軸的兩個交點；令y＝0，得x＝±a，點A₁（－a，0）、A₂（a，0）是橢圓和x軸的兩個交點．橢圓有四個頂點A₁（－a，0）、A₂（a，0）、B₁（0，－b）、B₂（0，b）．

①線段A₁A₂、線段B₁B₂分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；

②a、b的幾何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

（4）離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

_{橢圓的焦距與長軸的比}

橢圓的離心率e的取值范圍：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．

當e接近1時，c越接近a，從而b越接近0，因此橢圓越扁；

當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

當e＝0時，c＝0，a＝b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為x²＋y²＝a²，圖形就是圓了．

2、性質(zhì)歸納為如下表：

【典型例題】

例1. 求橢圓16x²＋25y²＝400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形．

       解：（1）列表。將，根據(jù)在第一象限的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標（x，y）

（2）描點作圖．先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓．

例2. 若橢圓的離心率為e＝，求實數(shù)k的值。

解：當焦點在x軸上時，有得k＝8.

當焦點在y軸上時，有得k＝.

所求的k＝8或。

例3. 若橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的距離的最小值為，求橢圓的方程。

解：

∴所求的橢圓方程為

例4. 橢圓（a>b>0）上一點M與兩焦點F₁，F₂所成的角∠F₁MF₂＝α，求證△F₁MF₂的面積為b²tan.

解：設M F₁＝m，M F₂＝n，

則m＋n＝2a，且4c²＝m²＋n²－2mncosα＝（m＋n）²－2mn（1＋cosα）

4b²＝2mn（1＋cosα）

例5. 如圖，橢圓的長短軸端點為A，B，過中心O作AB的平行線，交橢圓上半部分于點P，過P作x軸的垂線恰過左焦點F₁，過F₁再作AB的平行線交橢圓于C，D兩點，求橢圓的方程。

解：設所求的橢圓方程為（a>b>0）

則P（－c，），

又AB∥OP∴

直線CD的方程為y＝（x－c），將其代入橢圓方程化簡得，2x²－2cx－c²＝0

∵

∴

所求的橢圓方程為

【模擬試題】（答題時間60分鐘，滿分100分）

一、選擇題（5分×8＝40分）

1、已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離是3，則P點到另一個焦點的距離為：  （    ）

    A、2              B、3               C、5           D、7

2、橢圓的一個焦點與兩個頂點為等邊三角形的三個頂點，則橢圓的長軸長是短軸長的（    ）

A、倍             B、2倍　　　      C、倍　　　  D、倍

3、橢圓的一個焦點為F₁，點P在橢圓上，如果線段PF₁的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標是：（    ）

   A、          B、         C、       D、

4、以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過此橢圓的焦點，則橢圓的離心率為   （    ）

    A、             B、                  C、           D、

5、橢圓（a>b>0）的半焦距為c，若直線y＝2x與橢圓的一個交點的橫坐標恰好為c，則橢圓的離心率為（    ）

A、       B、            C、        D、

6、若以橢圓上的一點和兩個焦點為頂點的三角形面積的最大值為1，則此橢圓長軸的長的最小值為（　　　）

A、1        　   B、                  C、2               D、2

7、橢圓的兩個焦點分別為F₁、F₂，以F₂為圓心且過橢圓中心的圓與橢圓的一個交點為M，已知直線F₁M與圓F₂相切，則離心率為　　　　　　　　　　　　　　　?。ā　　。?/span>

A、          B、                   C、        D、

8、設橢圓（a>b>0）的兩個焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上一點，若PF₁⊥PF₂，則｜PF₁－PF₂｜等于（　　?。?/span>

A、                                    B、2     

       C、                                      D、2

二、填空題（5分×4＝20分）

9、平面上點P到兩個定點A、B的距離之和等于|AB|，則P點軌跡是          。

10、已知對稱軸為坐標軸，長軸長為6，離心率為的橢圓方程為          。

11、橢圓的離心率為，則實數(shù)m的值為              。

12、若M為橢圓上一點，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，且∠MF₁F₂＝2∠MF₂F₁＝2α（α≠0），則橢圓的離心率是               。

三、解答題（共40分）

13、（滿分8分）已知橢圓的焦點在軸上，焦距是4，且經(jīng)過，求此橢圓的方程。

14、（滿分10分）若點在橢圓上，分別是橢圓的兩個焦點，且，求的面積。

15、（滿分10分）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓左頂點A，上頂點B，左焦點F₁到直線AB的距離為|OB|，求橢圓的離心率。

16、（滿分12分）已知F₁（－3，0），F₂（3，0）分別是橢圓的左、右焦點，P是該橢圓上的點，滿足PF₂⊥F₁F₂，∠F₁PF₂的平分線交F₁F₂于M（1，0），求橢圓方程。

【試題答案】

一、選擇題

二、填空題

9、線段AB

10、

11、m＝3或m＝

12、

三、解答題

13、解：因為焦距為4，所以即①…………3′

設橢圓方程為因為在橢圓上

所以  ②…………6′

由①②得    所以橢圓方程為…………8′

14、解：設

由橢圓得…………2′

  即   ①…………4′

是直角三角形  4 ②…………6′

由①②得…………8′

所以…………10′

15、解：直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0，…………4′

則左焦點F₁（－c，0）到其距離為

16、解：PF₂⊥F₁F₂，PF₂＝，…………2′

∵，………………4'

…………………………6'

………………8'

      又………………10'

    ………………11'

所求的橢圓方程為……………………12'