內(nèi)容提要: 本文通過對(duì)形成陰陽特性的S形曲線進(jìn)行全面、綜合、科學(xué)的分析，認(rèn)為利用通常的平面坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系都無法對(duì)太極圖進(jìn)行現(xiàn)代數(shù)學(xué)描述。為此，作者在充分考慮到太極圖系統(tǒng)中陰陽特性呈現(xiàn)周期極化的特點(diǎn)，采取了特殊的手法，在繪制《周髀算經(jīng)》日晷長(zhǎng)度雷達(dá)坐標(biāo)圖的基礎(chǔ)上，創(chuàng)建出能夠滿足太極圖理論要求的坐標(biāo)系——太極坐標(biāo)系。
關(guān) 鍵 詞：太極圖、數(shù)學(xué)描述、坐標(biāo)系、太極坐標(biāo)系
  一、前言
  太極圖是中國傳統(tǒng)文化的靈魂，是中國古代先賢概括陰陽易理，研究宇宙萬物變化發(fā)展規(guī)律的圖式。太極圖博大精深，奧妙無窮，堪稱宇宙模型。我們對(duì)它既熟悉又陌生。熟悉的是，自從宋代先賢繼承并創(chuàng)建以來，各式各樣的太極圖形在華夏大地上乃至世界范圍內(nèi)隨處可見。如北宋有周敦頤的周氏太極圖、明朝有來知德的來氏太極圖、左輔制作的景岳太極圖與左輔太極圖，清朝有胡煦所制的循環(huán)太極圖等等。在韓國、蒙古國的國旗，新加坡、安哥拉空軍的機(jī)徽，韓國、德國奧運(yùn)會(huì)、韓國亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽，美國研制的世界第一臺(tái)電腦商標(biāo)，美洲印第安人的繪畫和服飾上，都可見到太極圖的蹤影。但萬變不離其宗，不管應(yīng)用者如何變通發(fā)揮，太極圖的基本模式?jīng)]有改變。原始的圖形就是外部一個(gè)圓，中間被一條S形曲線分隔成兩半，一半為黑色的陰，另一半為白色的陽，如圖一所示。陌生的是，太極圖到底是用什么方法畫出來的，能不能用數(shù)學(xué)形式表示，圖形有什么作用等等，這些問題到目前為止都沒有明確的答案。要讓太極圖成為真正的宇宙模型，擺在我們面前的首要任務(wù)是，建立一套完整的太極圖理論和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用它可以對(duì)宇宙萬物的變化現(xiàn)象作出科學(xué)的解釋，并在實(shí)踐中得到驗(yàn)證。要建立數(shù)學(xué)模型，就必須選擇合適的坐標(biāo)系。下面就如何建立描述太極圖的坐標(biāo)系作探討性的研究。
                          
                                 圖一　原始太極圖
  二、坐標(biāo)系簡(jiǎn)述
  坐標(biāo)的思想是由法國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的。笛卡爾坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系和斜角坐標(biāo)系兩種形式。笛卡爾直角坐標(biāo)系也稱之為平面直角坐標(biāo)系。平面直角坐標(biāo)系由兩條互相垂直的坐標(biāo)軸組成的，橫軸為X軸，取向右方向?yàn)檎较?，縱軸為Y軸，取向上為正方向。兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)叫做平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。兩坐標(biāo)軸一般取相同的單位長(zhǎng)度。坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置用投影在X軸、Y軸上的值表示。
  極坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系統(tǒng)，由極點(diǎn)、極軸和極角組成。一般情況下，極軸為極點(diǎn)向右方向（水平方向）的射線，極角取逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎Ｗ鴺?biāo)系中點(diǎn)的位置用該點(diǎn)相對(duì)極點(diǎn)的距離r和相對(duì)極軸的角度θ來表示。
        
                          圖二  用不同坐標(biāo)系表示的太極圖
  雷達(dá)圖是極坐標(biāo)系的一種特殊形式。其特點(diǎn)是極軸為極點(diǎn)向上方向（垂直方向）的射線，而極角取順時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?br>  三、太極坐標(biāo)系的建立
  試圖用以上幾種坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)形式描述太極圖都存在困難。太極圖外圈為圓，其坐標(biāo)方程很容易確定。關(guān)鍵在于中間的Ｓ形曲線。這條曲線是不是連續(xù)的，曲線的曲率是多少，曲線是正Ｓ形、反Ｓ形還是橫向Ｓ形等等諸類問題，在所有涉及太極圖的古代經(jīng)書中都沒有定義和解釋。因此，原始太極圖本身沒有坐標(biāo)系的概念，太極圖無法用數(shù)學(xué)方程表示，歷來對(duì)太極圖的描述只是如陰陽魚圖之類的文字?jǐn)⑹觥?br>  那么，如何為太極圖選定一種坐標(biāo)系呢？我們不妨從以下兩個(gè)方面去探索去考慮：一是太極概念，二是太極圖形狀。
  顧名思義，“太極”本身含有的極的字義，所以太極坐標(biāo)系應(yīng)該歸屬于極坐標(biāo)系?！疤珮O”一詞最早見于《易傳?系辭上》：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，八卦定吉兇，吉兇生大業(yè)?！笨鬃拥谝淮我锰珮O概念詮釋易理。因?yàn)椋兑捉?jīng)》是一套研究探討事物周期性變化規(guī)律的系統(tǒng)理論，所以太極具有整體概念，太極圖的外圓是對(duì)事物周期性、整體性、系統(tǒng)性變化發(fā)展規(guī)律的概括。
  太極圖的形狀取決于中間的Ｓ形曲線形狀。在不考慮傾斜角度的情況時(shí)，太極圖的圖形至少有八種形式。Ｓ形曲線將太極整體分為陰陽兩部分，曲線本身可以是正的（逆時(shí)針），也可以是反的（順時(shí)針），還可以是橫向的。這八種形式可以用一個(gè)基本的圖形來表示，其它七種圖形可以由基本圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換和鏡面（極點(diǎn)對(duì)稱）變換形成。
                     
                           圖三  由原始圖形變換的太極圖   
  另外，如果選用極坐標(biāo)系，Ｓ形曲線是不連續(xù)的。在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)是端點(diǎn)，平面上的點(diǎn)無論指向極點(diǎn)還是背向極點(diǎn)，經(jīng)過極點(diǎn)位置時(shí)其方向都要發(fā)生改變。因此，Ｓ形曲線是相對(duì)極點(diǎn)、極軸的距離和角度形成的，與山川河流的連續(xù)形態(tài)的真實(shí)感覺不太一致，這也許是我們的祖先沒能建立抽象數(shù)學(xué)模型的一個(gè)原因。
  從大多流傳的太極圖形狀分析，其圖形與雷達(dá)圖較為接近，可以認(rèn)為，太極圖選用的坐標(biāo)系為極軸自極點(diǎn)垂直向上，極角取順時(shí)針方向?yàn)檎?。這一設(shè)定與中國傳統(tǒng)的南北子午線的設(shè)定一致，坐標(biāo)系平面的上方為正南方向，下方為正北方向。因?yàn)?，中國古代的天文觀察時(shí)使用的圭表系統(tǒng)其日影的方向是以子午線作為參考依據(jù)的，而日影則是按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)變化的。
  如果完全按照雷達(dá)圖模式，用《周髀算經(jīng)》記載“日中立竿測(cè)影” 的日影長(zhǎng)度（減去不變的部分）繪制出的一個(gè)圖形如下圖所示。
                    
                                  圖四 日影長(zhǎng)度雷達(dá)圖
  一年二十四個(gè)節(jié)氣，圭表測(cè)得的日影長(zhǎng)度夏至?xí)r最短，冬至?xí)r最長(zhǎng)。圖四是日影長(zhǎng)度變化相對(duì)最大值為1個(gè)單位時(shí)的雷達(dá)圖。令人驚訝的是從圖形中我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)“心”字，這個(gè)“心”或許是大地之心即“地中”的另一個(gè)含義。但該圖似乎并沒有Ｓ形曲線。
  仔細(xì)分析一下該圖的結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)，圖中的數(shù)據(jù)表示一年二十四個(gè)節(jié)氣，1為夏至，13為冬至?！靶摹弊智€上的每一點(diǎn)至極點(diǎn)（圓心）的距離即極徑r表示在該方位θ（節(jié)氣）時(shí)圭表測(cè)得的日影長(zhǎng)度。外圓為日影長(zhǎng)度變化幅值a，而用最大幅值減去極徑時(shí)得到的差恰好為該方位上圭表測(cè)得的光亮長(zhǎng)度r1 ，即有
r1  = a - r
  與日影長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的有二十四個(gè)節(jié)氣的光亮長(zhǎng)度，用這組數(shù)據(jù)同樣可以繪制出光亮長(zhǎng)度雷達(dá)圖。
                
                            圖五  光亮長(zhǎng)度雷達(dá)圖
  比較圖四、圖五兩圖，日影長(zhǎng)度雷達(dá)圖心字內(nèi)部的極徑為日影長(zhǎng)度，圓與心字外部的極徑為光亮長(zhǎng)度。而光亮長(zhǎng)度雷達(dá)圖則相反，心字內(nèi)部的極徑為光亮長(zhǎng)度，圓與心字外部的極徑為日影長(zhǎng)度。如果日影長(zhǎng)度區(qū)域用暗色表示，那么圖四、圖五可變換為圖六、圖七的圖形，如下所示。
    
  如果將日影長(zhǎng)度雷達(dá)圖和光亮長(zhǎng)度雷達(dá)圖剖成兩半，然后各取一半組成一個(gè)新的圖形。奇跡出現(xiàn)了，由兩半雷達(dá)圖組成的圖形酷似人們苦苦探索的宇宙模型——太極圖。
  由此可見，一個(gè)完整的太極圖是由兩個(gè)部分組成的。如果把太極圖的一半定義為陰，另一半定義為陽，那么，太極圖恰恰就是陰陽兩儀圖。用日影長(zhǎng)度雷達(dá)圖轉(zhuǎn)換為日影長(zhǎng)度太極圖，這僅僅是宇宙萬物中的一個(gè)簡(jiǎn)單例子，但它充分體現(xiàn)了太極圖所蘊(yùn)藏的陰陽哲學(xué)思想，也表明陰與陽是組成太極圖理論的基本要素。
         

                        

                              圖八  日影長(zhǎng)度太極圖
  由日影長(zhǎng)度和光亮長(zhǎng)度兩半雷達(dá)圖合成日影長(zhǎng)度太極圖（圖八）將圭表所測(cè)量的日影長(zhǎng)度和光亮長(zhǎng)度統(tǒng)一在一個(gè)圖形之中。由極點(diǎn)出發(fā)至外圓的極徑被中間的S形曲線分隔成兩部分，白色區(qū)域部分的極徑為光亮長(zhǎng)度，黑色區(qū)域部分的極徑為日影長(zhǎng)度。每一個(gè)極角（節(jié)氣）都對(duì)應(yīng)一個(gè)日影長(zhǎng)度。隨著地球繞太陽的公轉(zhuǎn)，日影長(zhǎng)度在夏至與冬至之間變化，年復(fù)一年，循環(huán)不止。
  運(yùn)用坐標(biāo)系的概念，通過對(duì)《周髀算經(jīng)》記載“日中立竿測(cè)影” 的日影長(zhǎng)度雷達(dá)圖的分析探討，從中找到了能夠描述的太極圖的特殊坐標(biāo)系，那就是用陰陽兩個(gè)特性制作的坐標(biāo)系，即圖形的一半用陰極坐標(biāo)表示，另一半用陽極坐標(biāo)表示。為了便于研究，我們把由陰陽兩個(gè)特性組成的極坐標(biāo)系稱之為太極坐標(biāo)系。
  用r表示極坐標(biāo)函數(shù)，r+表示陽性極坐標(biāo)函數(shù)，r-表示陰性極坐標(biāo)函數(shù)，θ表示極角，那么在一個(gè)周期即極角θ在0～2л之間，極坐標(biāo)函數(shù)有如下關(guān)系式：
r =  r+  θ∈[0,л]
r =  r-  θ∈(л,2л]
                        
                                    圖九   太極坐標(biāo)系
  四、結(jié)束語
  太極坐標(biāo)系的建立，充分說明了由中國創(chuàng)始的太極陰陽理論是完全科學(xué)的，也體現(xiàn)了中國哲學(xué)思維的高度智慧。太極坐標(biāo)系是中國傳統(tǒng)文化的傳承和發(fā)揚(yáng)，也是中國歷代先賢用獨(dú)特眼光認(rèn)識(shí)宇宙萬物變化發(fā)展規(guī)律的真實(shí)寫照。太極坐標(biāo)系形成的太極圖形象地表達(dá)了老子在《道德經(jīng)》中闡述的“萬物負(fù)陰抱陽，沖氣以為和”的由陰陽組合、形成萬物合和狀態(tài)的思想，同時(shí)也融會(huì)了“反者道之動(dòng)”的“動(dòng)而生陽，動(dòng)極而靜，靜而生陰，靜極復(fù)動(dòng)”的物極必反的觀點(diǎn)。隨著太極坐標(biāo)系的建立和應(yīng)用，由中國先賢用智慧和心血凝聚而成的運(yùn)用系統(tǒng)性、整體性、周期性、陰陽特征構(gòu)成的世界觀和方法論，將步入現(xiàn)代科學(xué)的殿堂并發(fā)揮巨大的作用。

（作者： 葉陽紅先生，浙江省建德市新安江電廠高級(jí)工程師。此文獲得邵雍誕辰1000周年國際學(xué)術(shù)研討會(huì)會(huì)議學(xué)術(shù)論文集優(yōu)秀作品獎(jiǎng)）