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黎曼他的一生非常短暫，而且極度貧困，對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)只能集成一本薄薄的平裝本，但他卻是科學(xué)史上的一位樞紐人物，100 多年后的今天，他的思想還能夠讓人們感到最強(qiáng)烈的震撼。

    愛(ài)因斯坦相對(duì)論的重大意義無(wú)人不知，但是相對(duì)論的建立有個(gè)重要的“幕后英雄”，那就是建立起特殊幾何體系的黎曼。在愛(ài)因斯坦看來(lái)，狹義相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)是水到渠成的事情。因?yàn)榧词顾话l(fā)現(xiàn)，其他科學(xué)家也會(huì)在10 年內(nèi)發(fā)現(xiàn)，所以愛(ài)因斯坦并不特別以發(fā)現(xiàn)狹義相對(duì)論為榮。但對(duì)于廣義相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)，愛(ài)因斯坦就深以為榮了，因?yàn)樗J(rèn)為，如果不是他發(fā)現(xiàn)了廣義相對(duì)論，人類也許要晚上百年才能發(fā)現(xiàn)。

    如果說(shuō)，提出狹義相對(duì)論，愛(ài)因斯坦自身的知識(shí)還算夠用的話，到研究廣義相對(duì)論時(shí)，愛(ài)因斯坦的數(shù)學(xué)則捉襟見(jiàn)肘。這時(shí)候，繼大數(shù)學(xué)家高斯之后首屈一指的數(shù)學(xué)家黎曼的工作幫助了愛(ài)因斯坦，使他最終創(chuàng)建了廣義相對(duì)論。黎曼為自己獨(dú)創(chuàng)的這套幾何體系耗盡了一生的心血，他對(duì)數(shù)學(xué)的深刻洞察力令世人驚嘆。

     “愈貧愈堅(jiān)”的少年天才

    黎曼生于1826年，比高斯剛好小五十歲。他的出生地布列塞倫茲是德國(guó)的一個(gè)村莊，高斯那個(gè)時(shí)候正好在這個(gè)地區(qū)進(jìn)行土地丈量。

黎曼的父親是個(gè)牧師，家里很貧困，黎曼從小體弱多病，原本也打算做牧師盡早養(yǎng)家糊口，但是他的數(shù)學(xué)天才讓他有了另一個(gè)選擇。

黎曼從小酷愛(ài)數(shù)學(xué)。他6 歲時(shí)開(kāi)始學(xué)習(xí)算術(shù)，不僅能解決所有留給他的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且還經(jīng)常提一些問(wèn)題來(lái)捉弄他的兄弟姐妹。10 歲時(shí)他跟一位職業(yè)教師學(xué)習(xí)高級(jí)算術(shù)和幾何，很快便超過(guò)了老師，常常對(duì)一些問(wèn)題能做出更好的答案。

    由于經(jīng)濟(jì)拮據(jù)，黎曼中學(xué)時(shí)總是靠步行奔波于家和學(xué)校之間，當(dāng)然沒(méi)有能力買(mǎi)書(shū)。幸運(yùn)的是，中學(xué)校長(zhǎng)及時(shí)地發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)才能，考慮到他經(jīng)濟(jì)上的困難，校長(zhǎng)特許黎曼可以從自己私人藏書(shū)室里借閱數(shù)學(xué)書(shū)籍。有一次，黎曼借了一部數(shù)學(xué)家勒讓德的《數(shù)論》，這是一部共859 頁(yè)的4 卷本的名著，以晦澀難懂著稱。黎曼十分珍惜，他如饑似渴地自學(xué)起來(lái)，6 天之后，黎曼便學(xué)完并歸還了這本書(shū)。校長(zhǎng)問(wèn)他：“你讀了幾頁(yè)？”黎曼說(shuō)：“這是一本了不起的書(shū)，我已經(jīng)全部掌握了?！敝?，校長(zhǎng)就這本書(shū)的內(nèi)容考他。黎曼對(duì)答如流，并且回答得很全面。這個(gè)時(shí)候，他只有14歲。

     19 歲 時(shí)，黎曼進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)由于有高斯而成為世界數(shù)學(xué)的中心之一，受這里數(shù)學(xué)研究氣氛的感染，黎曼征得父親同意，決定放棄原本選擇的神學(xué)，專攻數(shù)學(xué)。生活雖然清貧，但黎曼學(xué)習(xí)極為勤勉，此后他轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)，獲得了更多數(shù)學(xué)家的指點(diǎn)，從而進(jìn)入新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。1851 年 底，黎曼將其博士論文呈交給大數(shù)學(xué)家高斯審閱。高斯在看了論文之后興奮不已，對(duì)黎曼的論文做出了高度評(píng)價(jià)，這對(duì)高斯來(lái)說(shuō)是罕見(jiàn)的，因?yàn)樗麑?duì)別人的贊賞一向 極為吝嗇。高斯評(píng)價(jià)：“黎曼先生交來(lái)的論文提供了令人信服的證據(jù)，說(shuō)明作者對(duì)該文所論述的這一問(wèn)題作了全面深入的研究，作者具有創(chuàng)造性的、活躍的、真正的 數(shù)學(xué)頭腦，具有燦爛豐富的創(chuàng)造力?！?/span>

    堪與高斯媲美的年輕人

    畢業(yè)后，貧困依然糾纏著黎曼。但他認(rèn)為，只要能夠勉強(qiáng)維持生活，能夠讓他研究數(shù)學(xué)，他就心滿意足了。他從不因經(jīng)濟(jì)上的拮據(jù)而感到沮喪。他一方面積極準(zhǔn)備講師職位的就職演講論文，另一方面認(rèn)真從事數(shù)學(xué)方面的研究工作。他的就職論文具有相當(dāng)?shù)碾y度，為了確定論文的選題，他向高斯提交了3 個(gè)題目，以便讓高斯在其中選定一個(gè)。其中第3 個(gè)題目涉及幾何基礎(chǔ)，這個(gè)題目黎曼當(dāng)時(shí)并沒(méi)有準(zhǔn)備多少案頭，因此黎曼從心底里希望高斯不要選中它?？墒?，高斯對(duì)第3 個(gè)題目卻深有研究，他已思考這個(gè)問(wèn)題達(dá)60 年之久。出于想看看黎曼對(duì)這個(gè)深?yuàn)W的問(wèn)題會(huì)做些什么樣的創(chuàng)造性工作，高斯指定第3 個(gè)題目作為黎曼就職演講論文的題目。

    令所有人驚訝的是，經(jīng)過(guò)不到兩個(gè)月時(shí)間的準(zhǔn)備，黎曼就做了“論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)”的演講。這被認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上發(fā)表的內(nèi)容最豐富的長(zhǎng)篇論文，其中提出了一種新的幾何體系。該篇論文中一大堆陌生概念，一長(zhǎng)串復(fù)雜的計(jì)算，竟然使被譽(yù)為世界數(shù)學(xué)中心的哥廷根大學(xué)全體教員除高斯以外一個(gè)個(gè)眼花繚亂。論文在表述上堪稱 典范。高斯帶著少有的熱情在同事面前作了高度評(píng)價(jià)。

    貧窮仍不斷地困擾著黎曼，有時(shí)他的一家甚至陷入對(duì)口糧都需要算計(jì)的地步，不久之后，黎曼的父親和多個(gè)兄弟姐妹相繼去世，就是在這種情況下，黎曼仍全身心地投入到數(shù)學(xué)研究工作之中，在科學(xué)的崎嶇小道上艱苦奮斗，終于在眾多的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里做出了許多奠基性和創(chuàng)造性的研究工作：他從幾何方向開(kāi)創(chuàng)了復(fù)變函數(shù)論；他是現(xiàn)代意義的解析數(shù)論的奠基者；他對(duì)微積分的嚴(yán)格處理作出了重要貢獻(xiàn)；他在數(shù)學(xué)物理和微分方程等領(lǐng)域內(nèi)也成果豐碩；他對(duì)阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)的研究，開(kāi)創(chuàng)了 現(xiàn)代代數(shù)幾何；他首創(chuàng)用復(fù)解析函數(shù)研究數(shù)論問(wèn)題，開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代意義的解析數(shù)論；他對(duì)超幾何級(jí)數(shù)的研究，推動(dòng)了數(shù)學(xué)物理和微分方程理論的發(fā)展。隨著研究成果的 問(wèn)世，黎曼在數(shù)學(xué)界的學(xué)術(shù)聲望迅速提高。他受到許多世界著名數(shù)學(xué)家的贊揚(yáng)，也最終繼承了高斯生前的教席，獲得了一個(gè)科學(xué)家可能得到的最高榮譽(yù)。

    但是，長(zhǎng)時(shí)期清貧的生活、過(guò)度的操勞、發(fā)奮的研究，使得黎曼身體虛弱、精力衰竭。在病魔纏身之際，只要有一些力氣，黎曼仍堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)研究工作。雖然這個(gè)時(shí)期黎曼積極就醫(yī)和療養(yǎng)，但因病入膏肓終無(wú)療效。1866 年7 月20 日，黎曼那顆純潔、高尚的心停止了跳動(dòng)。他過(guò)早地離開(kāi)了人世，也過(guò)早地離開(kāi)了數(shù)學(xué)，年僅40 歲。

 最具原創(chuàng)力的數(shù)學(xué)家

    黎曼是數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一，在他的諸多思想成果中，他親手創(chuàng)造出來(lái)的黎曼幾何，也就是他的就職論文中受到高斯稱贊的新幾何體系，展現(xiàn)出的奇異想像力尤其令人驚嘆。

    多年以后，當(dāng)黎曼的想法在物理界完全成熟、開(kāi)花結(jié)果時(shí)，愛(ài)因斯坦曾經(jīng)寫(xiě)道：“惟有黎曼這個(gè)孤獨(dú)而不被世人了解的天才，在上個(gè)世紀(jì)中葉便發(fā)現(xiàn)了空間的新概念———空間不再一成不變，空間參與物理事件的可能性才開(kāi)始顯現(xiàn)。”

黎曼的新概念是什么？首先，他的幾何并不是我們?cè)跁?shū)本上學(xué)到的“歐式幾何”，而是古怪的“非歐幾何”，黎曼空間描述說(shuō)，我們對(duì)空間不該存有任何先入為主的觀念，不能以為空間或者整個(gè)宇宙是平直的，要正確認(rèn)識(shí)空間，就必須對(duì)周遭的空間進(jìn)行探測(cè)：沿著直線路徑進(jìn)行測(cè)量，記錄所發(fā)現(xiàn)的一切結(jié)果。按照他所創(chuàng)建的“前衛(wèi)”的幾何學(xué)，空間應(yīng)該是彎曲的，對(duì)于這一點(diǎn)的理解，必須摒棄我們以往固有的直覺(jué)，就像摒棄地表是平坦的一樣，在小的空間范圍內(nèi)，我們無(wú)法察覺(jué)這一點(diǎn)，但是一旦空間相當(dāng)大，甚至到了宇宙尺度，差別就顯著了，黎曼的宇宙是個(gè)“球”！就像古人以為地球是四方的，而實(shí)際上它是個(gè)圓球一樣。

黎曼的球型空間概念，加上他提出的“這種空間或許是宇宙形狀的正確描述”，構(gòu)成科學(xué)史上最具原創(chuàng)力、最離經(jīng)叛道的宇宙圖像之一。20 世紀(jì)的頂尖物理學(xué)家波恩曾經(jīng)說(shuō)，這種有限但是無(wú)界的空間，是人類對(duì)自然界所做的最為偉大的構(gòu)想之一。具有諷刺意味的是，波恩以為那是愛(ài)因斯坦的想法。因?yàn)椴ǘ鞑⒉磺宄?ài)因斯坦在宇宙學(xué)的研究中，借用了黎曼的思想。

黎曼年僅二十多歲就發(fā)明了許多的概念，現(xiàn)代的宇宙學(xué)家對(duì)這些概念有濃厚的興趣。如今我們回顧歷史，他在哥廷根大學(xué)的那場(chǎng)就職演講明顯地預(yù)示了現(xiàn)代宇宙學(xué)的誕生。

可惜黎曼雖然模糊地意識(shí)到了未來(lái)研究的發(fā)展方向，但還是欠缺一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，以至于無(wú)法導(dǎo)出一幅完整的宇宙圖像。我們永遠(yuǎn)無(wú)法知道，如果黎曼擁有較長(zhǎng)的壽命，他的想法將會(huì)朝著什么方向發(fā)展，不幸的是，黎曼在40 歲就與世長(zhǎng)辭了，他到死也未料到，他所創(chuàng)建的新幾何才是我們這個(gè)世界真正的體現(xiàn)，負(fù)責(zé)完成這項(xiàng)工作的是愛(ài)因斯坦。

黎曼不但對(duì)純數(shù)學(xué)做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，他也十分關(guān)心數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系，他寫(xiě)過(guò)一些關(guān)于熱、光、磁、氣體理論、流體力學(xué)及聲學(xué)方面的有關(guān)論文。他是對(duì)沖擊波作數(shù)學(xué)處理的第一個(gè)人，二十歲出頭的他就試圖將引力與光統(tǒng)一起來(lái)，并立志發(fā)展一個(gè)連接電、磁、光與重力的統(tǒng)一數(shù)學(xué)理論。但是“統(tǒng)一場(chǎng)論”這個(gè)想法，實(shí)在超前太多，以至于一個(gè)世紀(jì)之后，愛(ài)因斯坦為這個(gè)問(wèn)題白白花了晚年許多時(shí)光，都沒(méi)有任何成果。

    站在黎曼的肩膀上

    對(duì)于黎曼的貢獻(xiàn)，人們是這樣評(píng)價(jià)的：“黎曼把數(shù)學(xué)向前推進(jìn)了幾代人的時(shí)間”。在黎曼之后，盡管一系列優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家前仆后繼地發(fā)展了非歐幾何。但是即使在數(shù)學(xué)家內(nèi)部也只不過(guò)認(rèn)為這是一套漂亮的游戲而已。幸好數(shù)學(xué)家的癖好和物理學(xué)家有不甚相同之處，在數(shù)學(xué)家的世界里，漂亮但無(wú)用的理論“玩意兒”觸目皆是，但在物理學(xué)家那里會(huì)被無(wú)情地拋棄掉。仿佛上帝為了捉弄人類，先扔下一把鑰匙，物理學(xué)家不屑一顧而數(shù)學(xué)家們喜滋滋地?fù)熳吡耍瑤资旰笊系墼僦刂氐厝酉乱话汛箧i砸在愛(ài)因斯坦頭上，愛(ài)因斯坦幾經(jīng)努力才在數(shù)學(xué)家的舊倉(cāng)庫(kù)中找到了那把銹跡斑斑的鑰匙———黎曼幾何。

    一開(kāi)始愛(ài)因斯坦沒(méi)有充足的信心完成廣義相對(duì)論，他發(fā)現(xiàn)引力場(chǎng)導(dǎo)致的幾何結(jié)果當(dāng)真匪夷所思。他向老朋友格羅斯曼求助，后者第二天就回電話向愛(ài)因斯坦介紹黎曼的幾何，這讓愛(ài)因斯坦茅塞頓開(kāi)———這不就是他這些年來(lái)苦苦覓尋的嗎？愛(ài)因斯坦無(wú)疑是極端幸運(yùn)的，黎曼幾何仿佛是為廣義相對(duì)論量身定做的工具，格羅斯曼正好是這方面的專家。不可否認(rèn)，愛(ài)因斯坦學(xué)這一套數(shù)學(xué)頗為吃力。

    如果讓愛(ài)因斯坦自己來(lái)憑空創(chuàng)造一套幾何，縱使有格羅斯曼的幫助，也難以成功。正是黎曼半個(gè)世紀(jì)前的工作，才使愛(ài)因斯坦打開(kāi)了廣義相對(duì)論的大門(mén)，完成了物理學(xué)的一場(chǎng)革命。因此，愛(ài)因斯坦后來(lái)感嘆：“理論物理學(xué)家越來(lái)越不得不服從于純數(shù)學(xué)形式的支配了。”

    愛(ài)因斯坦相對(duì)黎曼向前邁出了關(guān)鍵的一步，他認(rèn)識(shí)到，我們所在的這個(gè)空間，不是簡(jiǎn)單的長(zhǎng)、寬、高三維空間，而是包含時(shí)間在內(nèi)的四維時(shí)空；不是我們想像中的平直空間，而是一個(gè)彎曲的空間。

    彎曲意味著什么呢？就是黎曼的宇宙觀所闡述的那樣，如果現(xiàn)在你朝某個(gè)方向射出一束光線，若干年后，如果地球，甚至銀河系還存在的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)光從你背后繞了回來(lái)。當(dāng)然，我們不可能找到另一位麥哲倫船長(zhǎng)，像拔錨揚(yáng)帆環(huán)航地球一周那樣，駕駛飛船來(lái)一次環(huán)宇宙飛行，驗(yàn)證宇宙是彎曲的。

    不過(guò)，正是黎曼的幾何讓愛(ài)因斯坦成為在思想上環(huán)航宇宙的“麥哲倫”。

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歐式幾何與黎曼幾何比較

特點(diǎn)

　 　歐式幾何是把認(rèn)識(shí)停留在平面上了，所研究的范圍是絕對(duì)的平的問(wèn)題，認(rèn)為人生活在一個(gè)絕對(duì)平的世界里。因此在平面里畫(huà)出的三角形三條邊都是直的。兩點(diǎn)之間 的距離也是直的。但是假如我們生活的空間是一個(gè)雙曲面，（不是雙曲線），這個(gè)雙曲面，我們可以把它想象成一口平滑的鍋或太陽(yáng)罩，我們就在這個(gè)雙曲面里畫(huà)三 角形，這個(gè)三角形的三邊的任何點(diǎn)都絕對(duì)不能離開(kāi)雙曲面，我們將發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的三邊無(wú)論怎么畫(huà)都不會(huì)是直線，那么這樣的三角形就是羅氏三角形，經(jīng)過(guò)論證發(fā) 現(xiàn)，任何羅氏三角形的內(nèi)角和都永遠(yuǎn)小于180度，無(wú)論怎么畫(huà)都不能超出180度，但是當(dāng)把這個(gè)雙曲面漸漸展開(kāi)時(shí)，一直舒展成絕對(duì)平的面，這時(shí)羅氏三角形就 變成了歐式三角形，也就是我們?cè)诔踔袑W(xué)的平面幾何，其內(nèi)角和自然是180度。

　　在平面上，兩點(diǎn)間的最短距離是線段，但是在雙曲面上，兩點(diǎn)間的最短距離則是曲線，因?yàn)槠矫嫔系?最短距離在平面上，那么曲面上的最短距離也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故這個(gè)最短距離只能是曲線。若我們把雙曲面舒展成平面以后，再繼續(xù)朝平面 的另一個(gè)方向變，則變成了橢圓面或圓面，這個(gè)時(shí)候，如果我們?cè)谶@個(gè)橢圓面上畫(huà)三角形，將發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎么畫(huà)，這個(gè)三角形的內(nèi)角和都大于180度，兩點(diǎn)間的最 短距離依然是曲線，這個(gè)幾何就是黎曼幾何。這個(gè)幾何在物理上非常有用，因?yàn)楣庠诳臻g上就是沿著曲線跑的，并非是直線，我們生活在地球上，因此我們的空間也 是曲面，而不是平面，但為了生活方便，都不做嚴(yán)格規(guī)定，都近似地當(dāng)成了平面。

運(yùn)用范圍

　　在數(shù)學(xué)界，歐氏幾何仍占主流；而物理界，則用的是黎曼幾何。

　　因?yàn)閾?jù)黎曼幾何，光線按曲線運(yùn)動(dòng)；而歐氏幾何中，光線按直線運(yùn)動(dòng)。

　　黎曼幾何、歐式幾何、羅氏幾何它們之間的關(guān)系是可以相互轉(zhuǎn)化的，一點(diǎn)都不矛盾。

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黎曼幾何的切入口

一般從直觀的角度來(lái)說(shuō)，要研究線的彎曲起碼要在二維空間才能進(jìn)行。（如果是非平面曲線還得在三維空間里）同樣面的彎曲只能在三維空間里才能直觀地研究。即便如此，三維空間的彎曲還是直觀不起來(lái)了。因?yàn)樗木S以上的空間無(wú)法用圖表示。當(dāng)然用相應(yīng)的類比還是可以進(jìn)行研究的。

要研究N維空間的彎曲是否至少要在N＋1維空間里才能進(jìn)行呢?

極而言之，現(xiàn)在假設(shè)有一個(gè)最高是N維的空間，如果比N維的維數(shù)少的空間的彎曲情況還可以在N維空間里研究的話，那么N維空間的彎曲，由于沒(méi)有更高維的空間，如何研究呢？

在N維空間里研究N維空間自身的彎曲看來(lái)只能是另辟蹊徑了。

如果不借助更高維空間，僅通過(guò)空間自身的“努力”來(lái)研究彎曲的話，那你相對(duì)于黎曼幾何的殿堂已經(jīng)可以說(shuō)是登堂入室了。

此話怎講。

眾所周知，在歐幾里德空間里，一個(gè)矢量作平行移動(dòng)“兜”一個(gè)圈回到原處，這個(gè)矢量的大小和方向都不會(huì)發(fā)生變化。這因?yàn)闅W幾里德空間是平直空間。

那么在一個(gè)彎曲的空間里對(duì)矢量這樣作是否會(huì)發(fā)生某種變化呢？回答是肯定的！不僅如此，還可以根據(jù)其大小和方向變化的多少來(lái)判斷空間彎曲的程度和特性。

換句話說(shuō)，我們只要將某個(gè)矢量在N維空間里“兜”個(gè)圈，研究矢量的變化就可知曉此N維空間的彎曲的情況啦。看！研究N維空間的彎曲不必借助N+1維空間。

關(guān)于矢量大小和方向的變化先分開(kāi)來(lái)討論比較方便。

關(guān)于矢量方向的變化至少和一個(gè)叫“仿射聯(lián)絡(luò)”的量有關(guān)。如該空間是平直的，那么“仿射聯(lián)絡(luò)”量必為零。如果該空間的“仿射聯(lián)絡(luò)”不為零，則該空間就是彎曲的。不過(guò)，大家可要當(dāng)心！“仿射聯(lián)絡(luò)”為零，該空間可不一定是平直的。因?yàn)?/span>“仿射聯(lián)絡(luò)”量不是一個(gè)張量。一個(gè)“仿射聯(lián)絡(luò)”不為零的空間可以通過(guò)坐標(biāo)變換使它在空間的某個(gè)“局部”為零。

關(guān)于矢量大小的變化則和一個(gè)叫度規(guī)張量的量有關(guān)。一般來(lái)說(shuō)，在彎曲空間里矢量在平移時(shí)起碼大小是變化的。這個(gè)度規(guī)張量可以反映空間的種種特性。

這個(gè)量與坐標(biāo)和時(shí)間有關(guān)時(shí)，那么該空間不僅是彎曲的而且是“蠕動(dòng)”的。

“仿射聯(lián)絡(luò)”與度規(guī)張量似乎都能反映空間的彎曲，那么它們之間有什么關(guān)系呢？研究表明，度規(guī)張量可以完全確定“仿射聯(lián)絡(luò)”。但是“仿射聯(lián)絡(luò)”則不一定完全確定度規(guī)張量。為此，我們把度規(guī)張量看成是最基本的，并假設(shè)“仿射聯(lián)絡(luò)”總可以由度規(guī)張量計(jì)算出來(lái)。

在研究矢量平移的變化過(guò)程中發(fā)現(xiàn)這種變化還和平移的路徑有關(guān)，由于路徑的不同又會(huì)引起額外的變化。（事情變得更為復(fù)雜了）這個(gè)額外的變化與一個(gè)叫 曲率張量的量有關(guān)。

曲率張量是唯一可以由度規(guī)張量的二階導(dǎo)數(shù)的線性組合而構(gòu)成的張量。此外如果該空間過(guò)分“七翹八扭”則還得考慮“撓率張量”等等。

關(guān)于曲率張量按理應(yīng)該大書(shū)特書(shū)一番。由于牽涉面過(guò)于復(fù)雜，只能點(diǎn)到為止。

通過(guò)對(duì)牛頓引力方程的合理推廣、廣義相對(duì)論及對(duì)曲率張量的特定組合，愛(ài)因斯坦得出了一個(gè)有名的“上帝的方程式”——愛(ài)因斯坦方程！ 

黎曼幾何竟和廣義相對(duì)論掛上了鉤。

愛(ài)因斯坦方程就是引力場(chǎng)方程。于是一切就順理成章了，愛(ài)因斯坦方程決定度規(guī)張量（物質(zhì)決定度規(guī)張量）——度規(guī)張量決定曲率張量——曲率張量決定空間彎曲——度規(guī)張量決定仿射聯(lián)絡(luò)——仿射聯(lián)絡(luò)決定物質(zhì)運(yùn)動(dòng)——……

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如果僅僅要繞過(guò)黎曼幾何，確實(shí)是很簡(jiǎn)單的。 
只要認(rèn)為引力不是空間彎曲造成的，那么研究引力就只要在歐幾里德幾何里進(jìn)行即可。黎曼幾何可以休矣。 
   但是繞過(guò)黎曼幾何不是目的，一個(gè)不必依靠黎曼幾何的引力機(jī)理在何方？

愛(ài)因斯坦的偉大在于把物質(zhì)和空間連在了一起。愛(ài)因斯坦方程的左邊是純數(shù)學(xué)而它的右邊則是能動(dòng)張量。（相當(dāng)于物質(zhì)） 
  黎曼幾何是最廣泛意義上的幾何。 
  我們生活的空間中的引力現(xiàn)象難道還有懷疑？

度規(guī)張量有10個(gè)獨(dú)立的分量。當(dāng)弱場(chǎng)近似時(shí)其中某個(gè)分量恰恰是牛頓的引力勢(shì)。這意味著度規(guī)張量既決定空間又對(duì)應(yīng)引力勢(shì)，根據(jù)牛頓引力勢(shì)滿足的泊松 方程可知左邊是與引力勢(shì)有關(guān)，右邊是質(zhì)量密度。由此可以推廣為愛(ài)因斯坦方程。該方程的左邊是與度規(guī)張量有關(guān)，右邊就順理成章地與物質(zhì)有關(guān)了。

本帖的目的在于如何把握黎曼幾何的基本思想和方法。以利于進(jìn)一步深入研究黎曼幾何。 
   至于結(jié)合廣義相對(duì)論的討論則為了可以幫助理解黎曼幾何。 
   建議研究廣義相對(duì)論的某些人士，沿著愛(ài)因斯坦的路先走一遭，腳踏實(shí)地作一作最起碼的加、減、乘、除、微積分，推一推已經(jīng)得出的數(shù)學(xué)結(jié)果。否則如何領(lǐng)會(huì)得到黎曼幾何的美妙呢？

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由于時(shí)間逼近了，我不得不透過(guò)這本書(shū)，告訴目前地球上的人類以及所有有形眾生們， 你們即將遇到一個(gè)非常大的蛻變。但是，這在我們外星人來(lái)看，將是一件非常美妙的事情。因?yàn)檫@個(gè)蛻變，會(huì)讓你們打到一個(gè)前所未有的躍進(jìn)及提升。在瑪雅文明的 歷法中就曾經(jīng)預(yù)言，在地球2012年冬至那一天，地球?qū)?huì)遇到一個(gè)很重大的變革，有人把它解讀成世界末日，有些預(yù)言家也有相同的預(yù)言。但是，我們要很?chē)?yán)正 的向各位說(shuō)明，絕非世界末日，也不是地球毀滅。雖然目前地球確實(shí)幾乎被人類破壞殆盡，人類也制造了極大的污染，釀成環(huán)境生態(tài)的巨變，導(dǎo)致全球快速暖化、糧食危機(jī)等問(wèn)題，確實(shí)都是人類咎由自取，但是，這還不足以摧毀整個(gè)地球。

　　就宇宙的角度來(lái)看，地球所存在的位置，只是太陽(yáng)系中的一顆行星而已，而太陽(yáng)系 又是整個(gè)銀河系之中，幾千億萬(wàn)個(gè)太陽(yáng)系中的一個(gè)，而銀河系也不是你所想象的就是這么一個(gè)銀河系而已，事實(shí)上，想這么大的一個(gè)銀河星系，在浩瀚的宇宙之中， 就有數(shù)千億萬(wàn)個(gè)！而地球僅只是太陽(yáng)系中的一個(gè)星球，整個(gè)地球都繞著太陽(yáng)在公轉(zhuǎn)，而太陽(yáng)系也繞著銀河系在轉(zhuǎn)，甚至，整個(gè)銀河系也繞著織女星系在轉(zhuǎn)，從沒(méi)有不 動(dòng)的星球或星系存在。各位可以想象，在宇宙之中地球是多么的渺小。但是并不是因?yàn)樗煨?，我們就輕視他，相反的，它正是我們所有外星人被送到這里來(lái)實(shí)驗(yàn)或訓(xùn)練的一個(gè)重要場(chǎng)所，所有我們確實(shí)也有很多星球的族人，來(lái)到你們地球、成為人類，成為不同的物種。

　　也因?yàn)槿绱?，未?lái)的太陽(yáng)系在它運(yùn)轉(zhuǎn)的過(guò)程中，將會(huì)慢慢的穿越宇宙中一個(gè)很特別 的區(qū)域，這個(gè)區(qū)域就是你們?nèi)祟惸壳八Q的“光子帶”。這個(gè)光子帶確實(shí)會(huì)造成地球上所有物種巨大的變革。原因是這些光子帶的光粒子，它的震動(dòng)頻率與目前地球 上所有物質(zhì)的震動(dòng)頻率完全不同，目前地球上物質(zhì)的震動(dòng)頻率，有它特定的頻率存在，而這些光子帶的光粒子，它的震動(dòng)頻率非常高，可能遠(yuǎn)超過(guò)各位的想象，在這 個(gè)高頻率的震蕩之下，你們的物質(zhì)現(xiàn)象跟過(guò)往是完全不同的。在不久的未來(lái)，整個(gè)太陽(yáng)系即將穿越這個(gè)光子帶。一旦進(jìn)入光子帶，地球的震動(dòng)頻率會(huì)慢慢的被調(diào)整，包括人類自己的肉體以及所有物種，都回進(jìn)入不同的震動(dòng)頻率的調(diào)整狀態(tài)。也因?yàn)槿绱?，地球目前的?zāi)難、地震、海嘯、臺(tái)風(fēng)等，以及很多的氣候變化，越來(lái)越激 烈，頻率也越來(lái)越高，這是很正常的現(xiàn)象，你們無(wú)需驚慌，那不過(guò)是宇宙天文的自然想象而已。

　　可是比較令人擔(dān)心的是，當(dāng)整個(gè)太陽(yáng)系要穿過(guò)這個(gè)光子帶的初期，由于那些光粒子的密度太密了，那些高密度的光粒子會(huì)籠罩整個(gè)地球，會(huì)遮蔽掉你們的陽(yáng)光，然后形成暗無(wú)天日的日子。

　　但是，我要強(qiáng)調(diào)的是，你們并不需要恐慌那個(gè)日子的到來(lái)！你們只要能夠安下心 來(lái)，讓自己的心是光亮的、穩(wěn)定的，就可以度過(guò)這段黑暗的日子。等度過(guò)這段黑暗的日子之后，你們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多的物質(zhì)現(xiàn)象不一樣了，例如：人類的肉體會(huì)不 同，你們的皮膚也會(huì)變得非常有光澤，呈半透明狀，全身透著光。而且，也因?yàn)榱Ｗ拥恼饎?dòng)頻率不一樣，地球的重力也會(huì)改變，所以會(huì)讓人有種輕飄飄的感覺(jué)。也就 是說(shuō)，人類目前所生活的三度空間模式，未來(lái)必定會(huì)蛻變成存在于四度空間的模式。對(duì)于蛻變成功的人，他存在于四度空間之中，用自己的意念就可以移動(dòng)身體，來(lái) 去自如，完全不需要你們現(xiàn)在使用的飛機(jī)輪船，等交通工具。假如有一個(gè)人，從中國(guó)要到美國(guó)，他只要一個(gè)意念，就可以到達(dá)了。甚至未來(lái)的你們，也可以隨時(shí)做星 際旅行，隨時(shí)互相溝通往來(lái)。就像我們宇宙中很多的星球一樣。這也代表，地球的未來(lái)即將蛻變到一個(gè)非常美妙的境界。

　　可是，密實(shí)的光粒子所形成的暗無(wú)天日的那幾天，對(duì)人類而言，可能會(huì)是一個(gè)比較 可怕的過(guò)程。宇宙中很多星球希望將這些訊息傳達(dá)給人類，因此，我們必須借由這本書(shū)的因緣，告訴人類千萬(wàn)不要驚慌！因?yàn)檫@真的是一件極其美妙的事情，全宇宙 都為了這件事情在期待、在喝彩、在歡慶著。

　　但是因?yàn)槿祟惔_實(shí)很難理解這個(gè)概念，所有我們必須用另外一個(gè)角度來(lái)說(shuō)明，你們 就會(huì)比較容易理解了。在你們?nèi)祟惿畹拇笞匀画h(huán)境里，應(yīng)該很容易去觀察到一些物種的蛻變，其中最明顯的就是毛毛蟲(chóng)了。我們常?？梢钥吹矫x(chóng)在一棵樹(shù)上爬 高爬低的，對(duì)于這只毛毛蟲(chóng)而言，它的視野永遠(yuǎn)是平面的，沒(méi)有立體的概念，如果毛毛蟲(chóng)有立體的概念，那它爬到樹(shù)頂上就可能會(huì)掉下來(lái)，或得了恐高癥，不曉得怎 么走下去了。很顯然，毛毛蟲(chóng)是一個(gè)二度平面空間的存在者。

　　因?yàn)槊x(chóng)是一種二度平面空間的物種，它永遠(yuǎn)無(wú)法離開(kāi)樹(shù)的庇蔭下生活，如果離 開(kāi)樹(shù)的庇蔭，它很可能會(huì)被陽(yáng)光曬死。所以它的世界永遠(yuǎn)只能認(rèn)識(shí)到這棵樹(shù)而已，其他的它無(wú)法想象?？墒敲x(chóng)的生命是走到了某一個(gè)盡頭的時(shí)候，因?yàn)樗纳?/span> 形態(tài)必須蛻變，于是它為自己制造了一個(gè)蛹，讓自己躲在蛹里面，過(guò)著暗無(wú)天日的日子。而在這些暗無(wú)天日漫長(zhǎng)的日子里，它將讓自己的身體不斷的蛻變，當(dāng)它蛻變 成功，破繭而出，就會(huì)成為一只非常美麗的蝴蝶。這只蝴蝶有著一雙非常美麗的翅膀，身體形態(tài)跟過(guò)去毛毛蟲(chóng)截然不同。這只美麗的蝴蝶，它可以飛高飛低，飛過(guò)這棵樹(shù)，在草叢中在花朵里肆意穿梭飛躍，甚至飛過(guò)整片的樹(shù)林，飛到另一個(gè)國(guó)度。它所能看到的視野，跟過(guò)去毛毛蟲(chóng)期待所看到的完全不同。它已經(jīng)由二度平面空間 進(jìn)入到三度立體空間的存在體了。

　　經(jīng)歷過(guò)蛻變的這只蝴蝶，它已經(jīng)了解所有蛻變的過(guò)程，就算它再回到原來(lái)的二度空間的樹(shù)上，去告訴其他的毛毛蟲(chóng)們，未來(lái)的你們也可以跟我一樣，你們只要耐心的度過(guò)，在蛹里面那些暗無(wú)天日的日子之后，你們就可以變得跟我一樣到處去飛翔！

　　可是對(duì)毛毛蟲(chóng)來(lái)講，有翅膀的蝴蝶，簡(jiǎn)直像毛毛蟲(chóng)天使一樣，當(dāng)它們看到這個(gè)天 使，忽然的出現(xiàn)、突然又不見(jiàn)，讓它們感到既敬畏又害怕，心想到底他們是誰(shuí)呢？當(dāng)蝴蝶跟他們說(shuō)，其實(shí)你們不用怕我，我會(huì)忽然出現(xiàn)有忽然不見(jiàn)，那是因?yàn)槲掖嬖?/span> 的空間跟你們不一樣，只是你們無(wú)法用二度空間來(lái)理解三度空間而已。可是無(wú)論蝴蝶怎么告訴它，毛毛蟲(chóng)始終無(wú)法接受跟相信。對(duì)它而言，它的視野、它的世界永遠(yuǎn) 只是那個(gè)樣子，它完全不能理解蝴蝶所說(shuō)的那個(gè)境界！

　　而當(dāng)今的人類就是三度空間的存在體，未來(lái)你們也即將蛻變成四度空間的存在。所 有對(duì)于人類來(lái)講，我們外星人無(wú)論如何透過(guò)不同的方式示現(xiàn)給你們，你們始終無(wú)法承認(rèn)，也不能面對(duì)，更無(wú)法相信會(huì)有這樣的結(jié)果。有時(shí)候我們就像這只蝴蝶一樣， 不斷的飛回來(lái)告訴你們，你們是可以做到的，只要你們用對(duì)了方法，絕對(duì)沒(méi)有問(wèn)題。當(dāng)然，我們可以了解，對(duì)人類而言，確實(shí)很困難，因?yàn)槿祟愄珗?zhí)著目前的物質(zhì)空 間的存在，執(zhí)著這些科技文明，執(zhí)著自己的肉體，很難想象有這樣的存在。

　　所以，未來(lái)人類勢(shì)必遇到這樣蛻變的日子，而這個(gè)日子確實(shí)即將到來(lái)，你們將會(huì)進(jìn) 入到一個(gè)暗無(wú)天日的光里。但是，就地球日子來(lái)講，那不過(guò)是幾天的時(shí)間而已。因?yàn)?，光粒子的震蕩頻率太強(qiáng)烈，遮蔽掉陽(yáng)光，地球?qū)⑾萑胍粋€(gè)比較陰冷的日子。你 們伸手不見(jiàn)五指，也會(huì)覺(jué)得很冷，因?yàn)楣饬Ｗ訒?huì)破壞所有的電子通訊系統(tǒng)，連一只手電筒，都無(wú)法打開(kāi)。所以在又冷又黑的日子里，確實(shí)會(huì)讓很多人產(chǎn)生恐慌，也因 為恐慌，可能會(huì)有人想不開(kāi)，以為世界末日到了；嚴(yán)重的，甚至還可能有集體自殺或發(fā)狂的情形。也許你的家人，你的朋友，他們可能會(huì)驚恐、害怕，會(huì)因?yàn)檫@樣而抓狂或自殺都有可能。

　　不過(guò)，在那幾天黑暗的日子里，如果你的家人慌亂了、恐慌了，勸你不如就唱一首 歌吧！你們?nèi)祟愑幸皇赘?，叫作《?dāng)我們同在一起》。這首歌很多人可以朗朗上口，很多小朋友都會(huì)唱，你們就會(huì)帶著家人唱這首歌。那個(gè)時(shí)候，透過(guò)你們歌聲的傳 導(dǎo)，會(huì)讓附近的人聽(tīng)到歌聲，會(huì)讓他們因此而感到安定，他們只要能感受到還有人存在著，有人陪伴著，他們并不孤單，他們就會(huì)有力量支撐過(guò)去，這首歌，也是我 們所能給你們最好的建議了。

　　但是，對(duì)于一個(gè)明白的人，他們知道，只要能夠安然度過(guò)這幾天就沒(méi)問(wèn)題了！有些 修行人，或者得道的高僧，他們確實(shí)已經(jīng)領(lǐng)悟到這個(gè)道理，所以，他們也透過(guò)各種方式，來(lái)勸導(dǎo)他們的信徒也好，民眾也好，讓他們相信這個(gè)原理?？墒钦嬲玫?/span> 人，還是太少太少。也有很多心靈老師，或是宗教大師，他們甚至用他們自己的方式來(lái)體現(xiàn)這些現(xiàn)象或原理，但是人們真正懂得還是不多。

　　在這幾天里，你們也將找不到任何事物，所以也沒(méi)用任何的熱能，身體會(huì)有饑餓的感覺(jué)；但也不用擔(dān)心，這幾天也餓不死人；只要準(zhǔn)備大量的飲用水，水將是未來(lái)救命的東西，只要有潔凈的飲用水，未來(lái)就可以度過(guò)了。

　　度過(guò)之后，你們會(huì)發(fā)現(xiàn)整個(gè)地球不一樣了，整個(gè)物質(zhì)界的現(xiàn)象也不同了。當(dāng)然，你 們?cè)瓉?lái)的房子還是可以住，原來(lái)的家人彼此還是認(rèn)識(shí)的；所以度不過(guò)的并不是你的肉體，肉體會(huì)蛻變也會(huì)有一些現(xiàn)象產(chǎn)生，但不用擔(dān)心，你只要全然信任就好，信任 肉體的轉(zhuǎn)變，你必須完全放松、完全信任、不要害怕、不要恐懼、心魔才是最可怕的，你自己的心魔會(huì)導(dǎo)致你毀滅自己、毀滅別人。

　　我要再次強(qiáng)調(diào)，無(wú)論如何，當(dāng)這樣的日子到來(lái)時(shí)，請(qǐng)務(wù)必記住這句話：“持住你心中的光，觀想光給自己。”不管你要靜坐、冥想、睡覺(jué)都可以，就是不要慌、不要亂，按住在自己家里，飲用大量的水、持住自己、穩(wěn)定自己，你就可以度過(guò)，你的家人也可以一起安然的度過(guò)。

　　當(dāng)然有的人會(huì)度過(guò)不，而度不過(guò)的人，他們將根據(jù)他們的業(yè)再繼續(xù)輪回，而且投胎 到一個(gè)業(yè)更重的星球去了！其實(shí)宇宙很貼心，已經(jīng)為這些人準(zhǔn)備好另一個(gè)這樣的空間了。所以，無(wú)法蛻變的人，必須重來(lái)，不斷的再輪回。能夠蛻變的人呢，未來(lái)你 們的壽命你們自己可以決定，你的身體要活多久就活多久！就像衣服穿多久、舊了、臟了、不要了，你想換另一件衣服，你可以自己決定。未來(lái)你們心里想要什么， 就真的可以有什么了，這將會(huì)是一個(gè)何等美妙的未來(lái)！！

　　你可以了解，宇宙正在為地球慶賀，準(zhǔn)備著嗎？當(dāng)然你們也不用擔(dān)心，只要你的心 是亮的，純正的，我們很多外星伙伴會(huì)在這個(gè)時(shí)候來(lái)協(xié)助大家，讓你們盡可能的度過(guò)。可是，我們不能過(guò)度的介入跟干涉，只能尊重你們自己的業(yè)。因?yàn)槿祟愑泻苷?/span> 貴的東西，就是“自我意志”。所以，我們只能告訴你們，這個(gè)日子即將到來(lái)，當(dāng)然，未必如瑪雅文明所講的一定就在2012年的冬至，也許會(huì)提前、也許會(huì)延 后，就看人類全體的心靈準(zhǔn)備好了沒(méi)有。

　　事實(shí)上，地球在幾萬(wàn)年前，就曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)這個(gè)光子帶了！當(dāng)時(shí)的瑪雅文明也是這樣而消失的。對(duì)于瑪雅文明來(lái)講他們其實(shí)并沒(méi)有消失，他們現(xiàn)在只是存在四度空間里而已，只因?yàn)槿祟惪床坏剿麄?，就以為瑪雅文明已?jīng)消失了。

　　當(dāng)提升到四度空間之后，未來(lái)人類還可以躍進(jìn)到五度空間。整個(gè)地球處在光子帶的 時(shí)間，約達(dá)2000年的時(shí)間。這段時(shí)間將是一個(gè)非常光輝的日子，我們引頸期盼大多數(shù)的人類能夠穿越這個(gè)過(guò)程，能夠蛻變！所以，在這數(shù)十年來(lái)，我們這些外星 伙伴，不斷、不斷的透過(guò)各種訊息，來(lái)傳導(dǎo)給人類知道。你們現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)上不也流傳著這些2012年的傳說(shuō)嗎？當(dāng)然，網(wǎng)路上有的傳說(shuō)未必正確，有些也真的講的太 過(guò)火了，甚至隱喻這是世界末日的到來(lái)或地球毀滅，其實(shí)并非如此。

　　對(duì)我們而言，這是地球人類眾生的大蛻變而已！所以我們可以理解到，過(guò)去人類社 會(huì)、宗教、科學(xué)、或心靈的靈修團(tuán)體，他們所強(qiáng)調(diào)的各種靜坐、內(nèi)觀、冥想、脈輪、氣功、瑜伽或者是修拙火、靜心、祈禱等待，這一切的一切都是有意義的。即便 你是一位佛教徒，只是安心念佛、持咒，在那幾天也是有意義的。所以回顧人類過(guò)往這些心靈大師們，他們所教導(dǎo)的方法，只要你認(rèn)真的用，都可以協(xié)助你讀過(guò)；就 算你沒(méi)有任何信仰，能夠靜心內(nèi)觀自己也好！重要的是你自己的心，夠不夠穩(wěn)定。

　　人類以目前這種形態(tài)的存在模式，真的已經(jīng)太久太久了，必須要蛻變。當(dāng)然我也要 這么講，未來(lái)是測(cè)不準(zhǔn)的，以量子物理的角度來(lái)講，你們的未來(lái)永遠(yuǎn)測(cè)不準(zhǔn)。所以有機(jī)緣看到這本書(shū)的人，你們就提早準(zhǔn)備吧！當(dāng)然，你們還是一樣過(guò)著你們自己的 日子沒(méi)有改變！我們也祝福人類，有更多的人能度過(guò)這個(gè)蛻變，就像毛毛蟲(chóng)蛻變成蝴蝶，那是一件再自然不過(guò)的事情了！就讓我們共同迎接這段光輝燦爛的未來(lái)！

　　我們只能言盡于此。但是，我們絕不愿意傳達(dá)給人類的訊息是恐懼的，如果你看了 這本書(shū)的內(nèi)容，你真的看得懂，真的夠明白，你將會(huì)以正面而且樂(lè)觀的態(tài)度來(lái)面對(duì)它，并且也傳達(dá)正確的概念，那你將會(huì)幫助很多人。但是，假如你看不懂或誤解 了，而用負(fù)面的概念或恐懼的想法來(lái)傳導(dǎo)這個(gè)訊息，你將不止害了別人也會(huì)害了自己！所以，請(qǐng)務(wù)必務(wù)必用正面的角度，來(lái)參與這個(gè)事件，看待這個(gè)事件！

　　就算這個(gè)美妙的蛻變，最好結(jié)果并沒(méi)有發(fā)生，也沒(méi)關(guān)系，你們依舊過(guò)原來(lái)的日子而 已，當(dāng)然沒(méi)什么影響；但如果這個(gè)蛻變，依照預(yù)期發(fā)生了，那更好，因?yàn)槟銈冋娴臅?huì)面臨一個(gè)很大躍進(jìn)跟提升，將會(huì)進(jìn)入一個(gè)更美妙的國(guó)度。我們能講的就這么多 了，只能說(shuō)祝福人類真的蛻變成功，讓地球邁入更美秒的未來(lái)！很高興借由這本書(shū)的因緣，讓我們把這個(gè)重要的訊息傳導(dǎo)給你們，就看你是不是有緣人了！