【原】快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“函數(shù)”-中考數(shù)學(xué)專題

昵稱7857910 2013-03-27

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快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“函數(shù)”-中考數(shù)學(xué)專題

本講義，由1305劉奕霄（中考個(gè)性化全面指導(dǎo)學(xué)生）在聽課后起草，多余老師修改并點(diǎn)評(píng)。

整個(gè)初中學(xué)習(xí)了三種函數(shù)：一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)。函數(shù)部分是整個(gè)初中的精華，最起碼也是之一，歷年中考，最后一道大題必有函數(shù)，所以，它也被各所學(xué)校的數(shù)學(xué)老師所重視，而想要在中考中拿個(gè)好成績(jī)，函數(shù)是必須拿下的一關(guān)。

[點(diǎn)評(píng)：函數(shù)是“數(shù)形結(jié)合”的典范，學(xué)好函數(shù)必須從“代數(shù)特征”和“幾何特征”兩方面進(jìn)行學(xué)習(xí)，并將二者一一對(duì)應(yīng)，做到“數(shù)形結(jié)合”，則函數(shù)無憂也。]

一、一次函數(shù)

一次函數(shù)是正規(guī)函數(shù)最基礎(chǔ)的部分[沒有“正規(guī)函數(shù)”一說，應(yīng)為“基本函數(shù)”，只是該詞在高中時(shí)才出現(xiàn)，現(xiàn)在想怎么說隨意。]，包括正比例函數(shù)和非正比例[一次]函數(shù)[數(shù)學(xué)語言要求嚴(yán)謹(jǐn)完整、無懈可擊]，通常一次函數(shù)的一般形式寫為：Y=KX+B，其中K、B為常數(shù)，X為自變量，Y為變量（或因變量）[Y為X的函數(shù)，或叫因變量]，而正比例函數(shù)則是一次函數(shù)的特殊形式，即當(dāng)B=0時(shí)，此時(shí)，解析式為Y=KX。而在兩種形式中K均不為0。

在一次函數(shù)中，K控制了函數(shù)圖像的傾斜程度和方向，K為正數(shù)時(shí)，圖像向上，K為負(fù)數(shù)時(shí)反之。而B則控制圖像與Y軸的交點(diǎn)（簡(jiǎn)稱Y點(diǎn)），當(dāng)B=0時(shí)，也就是正比例比例函數(shù)時(shí)，圖像過原點(diǎn)。二種形式圖像均為直線。

[ Y=KX+B（K不為0）——解析式為一次整式——傾斜的直線（簡(jiǎn)稱“斜直線”）；

B為常數(shù)項(xiàng)——————當(dāng)X=0時(shí)，Y=B————Y點(diǎn)（0，B）；

說明：只要解析式為整式，則當(dāng)X=0時(shí)，Y=常數(shù)項(xiàng)——Y點(diǎn)（0，常數(shù)項(xiàng)）；

由Y=KX得K=Y/X————K為正XY同號(hào)————過一、三，升調(diào)，

K為負(fù)XY異號(hào)————過二、四，降調(diào)，

|K|越大———————傾斜程度越大。]

二、反比例函數(shù)

反比例函數(shù)圖像為雙曲線，且雙曲線均無過原點(diǎn)的可能，每個(gè)曲線圖像在同一個(gè)象限之內(nèi)，而另一個(gè)則在與之相反的象限內(nèi)，其解析式一般形式為Y=K/X，其中K、X均不為0。

反比例函數(shù)圖象中的雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。

反比例函數(shù)Y=K/X可化簡(jiǎn)為K=XY，即該圖像上一點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積為K值，而在幾何中，就是該點(diǎn)與X軸、Y軸的距離所構(gòu)成的矩形的面積為K值。故K在反比例函數(shù)圖像中控制的是其雙曲線所在象限及其與X或Y軸的距離。

[Y=K/X（K不為0）————解析式為-1次分式——關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的雙曲線；

K=XY——————————K為正XY同號(hào)——————圖像在一、三，各自降，

K為負(fù)XY異號(hào)——————圖像在二、四，各自升，

|K|=|X|*|Y|——————矩形面積=K，三角形面積=K/2。]

三、二次函數(shù)

二次函數(shù)是初中函數(shù)中最重要的一部分，其解析式為Y=AX方+BX+C，其中A、B、C為常數(shù)，且A不等于0。其圖像為一拋物線形狀。

在Y=AX方+BX+C中，A控制圖像的開口方向，A為正數(shù)，則開口向上，A為負(fù)數(shù)則反之。

Y=AX方+BX+C的特殊形式[并不特殊，應(yīng)稱“頂點(diǎn)式”]為Y=A（X+H）方+B，其中的A、H、B為常數(shù)，該形式的解析式是由Y=AX方+BX+C化簡(jiǎn)而來[不是化簡(jiǎn)，是“配方變形”]。

二次函數(shù)圖像是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為X=-B/2A，其對(duì)稱軸與圖像交點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)（-B/2A，（4AC-B方）/4A）。

在Y=AX方+BX+C中，B與C同時(shí)控制拋物線開口大小[開口大小與B、C無關(guān)，由A控制]，而C控制拋物線與Y軸的交點(diǎn)，而其與X軸的交點(diǎn)為（（-B+-根號(hào)（B方-4AC））/2A，0），其中B方-4AC大于0時(shí)，圖像與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)[與X軸交點(diǎn)簡(jiǎn)稱“X點(diǎn)”]，等于0時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，小于0時(shí)則沒有交點(diǎn)。

[Y=AX方+BX+C（A不為0）————解析式為二次整式————拋物線（軸對(duì)稱圖形）；

常數(shù)項(xiàng)C————————————X=0時(shí)，Y=C————————Y點(diǎn)（0，C）；

二次項(xiàng)系數(shù)A統(tǒng)領(lǐng)大局，由Y=AX方知——A為正|X|越大Y越大——開口向上，

A為負(fù)|X|越大Y越小——開口向下，

|A|越大Y的變化越明顯——|A|大開口小|A|小開口大；

由Y=A（X+B/2A）方+負(fù)判別式/4A——當(dāng)X=-B/2A時(shí)Y有最值——對(duì)稱軸X=-B/2A，

AB同號(hào)X小于0————對(duì)稱軸在右，

AB異號(hào)X大于0————對(duì)稱軸在左；

當(dāng)Y=0時(shí)，解析式變成一元二次方程——判別式大于0————過X軸，兩X點(diǎn)，

判別式=0——————與X軸相切，一X點(diǎn)

判別式小于0————不過X軸，無X點(diǎn)。]

在各個(gè)函數(shù)之外，還有三角函數(shù)，即SIN、COS、TAN、COT，指特殊角[應(yīng)為“銳角”]的對(duì)邊、鄰邊或斜邊與其它某一邊的比值，只出現(xiàn)在直角三角形中，常與勾股定理合用。