快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“有規(guī)律的數(shù)”-華東師范大學(xué)出版社七年級上冊

昵稱7857910 2013-01-22

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快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“有規(guī)律的數(shù)”-華東師范大學(xué)出版社七年級上冊

一、本單元概述

有規(guī)律的數(shù)，就是有理數(shù)。

在中學(xué)，人們把數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等科目歸為理科，這個“理”就是規(guī)律、規(guī)則的意思。理科的特點，就是規(guī)律性、規(guī)則性很強(qiáng)，學(xué)習(xí)內(nèi)容，就是探究各種各樣的規(guī)律和規(guī)則。抓住規(guī)律和規(guī)則，就學(xué)好了理科，所以理科特別好學(xué)。

語文、英語等文科科目中，也有規(guī)律和規(guī)則，但文、理的規(guī)律和規(guī)則，有著非常明顯的區(qū)分特點：

1、理科的“理”，是把客觀存在的現(xiàn)象，總結(jié)成規(guī)律，把規(guī)律應(yīng)用制定成規(guī)則，要求規(guī)則定得盡可能少、盡可能簡單，使用范圍盡可能廣。

2、文科的規(guī)則，是根據(jù)人類主觀的需要制定的，理科特征強(qiáng)的人類制定的規(guī)則，就會比較簡單、精煉，而理科特征弱的人類，制定的規(guī)則就會五花八門、多不勝數(shù)。然后再根據(jù)規(guī)則的實際使用情況，總結(jié)成規(guī)律。

比如：英語中，復(fù)數(shù)的規(guī)則就定得簡單精煉，一共兩大條3小條，第一大條是不可數(shù)的不變化，第二大條是可數(shù)的根據(jù)發(fā)音變化，再分為2小條，一個+s，一個+es。但英語中，這樣“理性的規(guī)律”太少太少，要是多了，不就成理科了嗎？絕大多數(shù)的規(guī)則，是“非理性規(guī)律”，是“主觀硬行的規(guī)定”，這就需要我們大量記性了。同學(xué)們在文科的學(xué)習(xí)中，可以用筆記本，把各種文科規(guī)則，按“理性的規(guī)律”和“主觀硬行的規(guī)定”進(jìn)行分類，“理性的規(guī)律”重在理解，掌握規(guī)則制定的方法，“主觀硬行的規(guī)定”重在記憶，并在記憶中嘗試能否找到一定的規(guī)律，或一部分的規(guī)律。

再比如：語文有白話文和文言文，白話文一開始是沒有任何規(guī)則的，每一個寫白話文的人都會根據(jù)自己的需要和習(xí)慣，自己定一些規(guī)則，然后，這些規(guī)則在傳播的過程中，慢慢統(tǒng)一。并根據(jù)大家共認(rèn)的、優(yōu)秀的白話文文章，總結(jié)出多種多樣的規(guī)律。好比，“你、我、他、她、它”在最初，有很多種書寫表達(dá)方式，后來統(tǒng)一成了這幾字。再好比，學(xué)語文課本的每一篇好文章，我們都要總結(jié)出相應(yīng)類別的寫作規(guī)律，寫景的如何能寫好，還要再把景分成“動”與“靜”，或分成“山、水、花草”等。

而在有理數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們則可以充分感受到，理科規(guī)則的簡潔性、通用性。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要特別注意“數(shù)”（數(shù)量關(guān)系）和“形”（空間形式）之間的聯(lián)系、對應(yīng)，如：數(shù)與數(shù)軸、絕對值與兩點間距離等。形成“數(shù)形結(jié)合思想”，能用“數(shù)”解釋“形”，能用“形”解釋“數(shù)”。

在有理數(shù)的四則運算中，進(jìn)一步體會，理科規(guī)則的簡潔、通用；養(yǎng)成“簡單化”、“直接化”的數(shù)學(xué)意識，解決問題時，怎么簡單怎么來、怎么直接怎么來。

有理數(shù)的乘方運算，要理解運算的層次、級別、各層次級別，為以后學(xué)習(xí)更高一級運算（冪運算）打好基礎(chǔ)。通過科學(xué)計數(shù)法，初步體會乘方的簡潔表達(dá)方式。并形成數(shù)學(xué)“最簡”意識。

二、從有理數(shù)看數(shù)學(xué)分類

我們最早學(xué)的數(shù)，是自然數(shù)。自然數(shù)的計數(shù)單位是“1”。其中，“0”可以表示起點、開始，“1、2、3***”可以表示順序（第1個，是序數(shù)）。

自然數(shù)進(jìn)行四則運算：

自然數(shù)+自然數(shù)=自然數(shù)；大自然數(shù)-小自然數(shù)（或本數(shù)）=自然數(shù)；自然數(shù)×自然數(shù)=自然數(shù)；

自然數(shù)÷自然數(shù)呢？發(fā)現(xiàn)有不能整除的。

因此，定下了“分?jǐn)?shù)”，分?jǐn)?shù)就是兩個自然數(shù)的比值，分?jǐn)?shù)比自然數(shù)特殊一點，也就有了一個特殊規(guī)定“分母為能為0”。

但分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位，要看分母，分母是幾，計數(shù)單位就是幾分之一，這太沒規(guī)律了。

因此，定下了“小數(shù)”，小數(shù)是自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)一形式，這樣就把計數(shù)單位統(tǒng)一到了“1”。

從以上可以看到，小數(shù)，是一種“形式”，在分類時，不說小數(shù)。這樣，在小學(xué)時，我們學(xué)過的數(shù)，，按計數(shù)單位，就分為兩類，一是自然數(shù)，二是分?jǐn)?shù)。

在上面，自然數(shù)的四則運算中，加法和乘法（加法的升級版），都沒有任何限制，除法也只限制了0不能做分母（除數(shù)），卻在減法中，加了限制，必須是“大-小”或“自已-自己”。

如果，“小-大”怎么辦？

這個問題，就留到了初一來解決。怎么來解決？引入“負(fù)數(shù)”。

在這，也能看出，減法的一大功能是“比較數(shù)的大小”。即：兩數(shù)相減，

得時大于0（為正），是“大-小”；

得數(shù)等于0，是“自己-自己”，兩數(shù)一樣大；

得數(shù)小于0（為負(fù)），是“小減大”。

什么是負(fù)數(shù)呢？就是在自然數(shù)和分?jǐn)?shù)前面，加了一個“負(fù)號”的數(shù)。但是，我們在小學(xué)還遇到過不是自然數(shù)和分?jǐn)?shù)的數(shù)，有“無限不循環(huán)小數(shù)”和“π”。

“無限不循環(huán)小數(shù)”是根據(jù)小數(shù)的形式，“構(gòu)造”出來的數(shù)，用自然數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行運算，是得不出“無限不循環(huán)小數(shù)”的，是一種“構(gòu)造數(shù)”。

“π”稱為圓周率，是一個圓的周長與其直徑的比值，是圖形中客觀存在的，一種“客觀數(shù)”。

這樣，為了準(zhǔn)確定義“負(fù)數(shù)”，建立這樣的命名規(guī)則：

大于0的數(shù)，稱為正數(shù)；小于0的數(shù)，稱為負(fù)數(shù)。

由這個規(guī)則可知：負(fù)數(shù)，是根據(jù)數(shù)的大小，來分類的。

現(xiàn)在，把自然數(shù)和由自然數(shù)運算出的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱為有理數(shù)。這個有理，就是有規(guī)律，什么規(guī)律？來自自然數(shù)和自然數(shù)的運算。

由此，將有理數(shù)進(jìn)行分類，有兩種分類方式：

一是按大小分，分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。切記：0不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。（按大小分類，必然是三類，大于、等于、小于）

二是按形式分，分為整數(shù)（自然數(shù)加正負(fù)號）、分?jǐn)?shù)。（小數(shù)，是分?jǐn)?shù)便于比較大小的另一種形式）

兩種分類同時使用，又可分出更多的小類。

每一個共同種類的數(shù)，放在一起，就是“數(shù)集”（數(shù)的集合）?！凹稀币礁咭粫r正式學(xué)習(xí)，現(xiàn)在對集合的初步概念，可當(dāng)做“一種分類”或“一個范圍”。

集合的表現(xiàn)形式，有三種，分別對應(yīng)數(shù)學(xué)的“三種語言”：文字語言、符號語言、圖形語言。

文字語言，是由語文文字而來，是最基本的語言。為了“簡單化”、“直觀化”，數(shù)學(xué)創(chuàng)造了符號語言和圖形語言。

數(shù)集的純數(shù)學(xué)語言，要到高一學(xué)習(xí)，現(xiàn)在使用的兩種是，文字+符號、文字+圖形。

集合的符號，用“{ }”（大括號）；集合的圖形，用“橢圓”。分別用文字說明集合的名稱。

關(guān)于“三種語言”，我們在以后的學(xué)習(xí)中，要慢慢體會，細(xì)細(xì)口味，它們各自的作用和優(yōu)勢。

到此，我們把數(shù)的范圍，拓展到了有理數(shù)。其實，也就比小學(xué)的數(shù)，多了一個“-”。

既然有理數(shù)的拓展范圍，就是多了個“-”，那不是，只要把“-”的意義和作用搞明白，有理數(shù)、有理數(shù)的計算，不就全學(xué)會了嗎？

“-”的正式名稱，是“相反號”。在具體使用時，根據(jù)使用情況，使用相應(yīng)的具體名稱。如：

在正數(shù)前加個“-”，表示負(fù)數(shù)，此時，“-”是“負(fù)號”（表示與正數(shù)相反，正數(shù)的“+”號，根據(jù)“簡單化”，省略不寫）。如：-5，表示“5的相反數(shù)”。

在兩數(shù)相減時，“-”是減號（與加號相反）。

所以，“負(fù)號”只能在表示“數(shù)”時，稱為“負(fù)號，不能在表示“量”時，稱為“負(fù)號”。如：-2千米，就為“反向2千米”；-5攝氏度，讀作零下五攝氏度。

“相反號”，在以后要接觸的物理、化學(xué)中，有著更廣泛的應(yīng)用。

三、從數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、數(shù)的大小比較，看“數(shù)形結(jié)合”

請做填空題：

數(shù)軸是（）。（要求只能填一個名詞）

數(shù)軸是（）。（要求填加了一個定語的一個名詞）

數(shù)軸是（）。（填完整的定義）

通過這個填空題，我們要學(xué)會，學(xué)習(xí)時抓核心元素的方法和習(xí)慣。

我們之所以讓“形”的“直線”與“數(shù)”中的“數(shù)字”對應(yīng)，是因為二者具有共同的特征：

都具有“無限性”，直線沒有端點，數(shù)字沒有最大、也沒有最??；任意兩點之間，都有無限多個點，兩數(shù)之間，不是有無限多個數(shù)。

軸數(shù)的核心，是用直線與數(shù)對應(yīng)，所謂的數(shù)軸三要素，重要的是正方向（即數(shù)軸的箭頭），一般水平數(shù)軸，右為正方向。原點和單位長度，可以任意規(guī)定，在畫草圖時，這二者都可以不畫。

利用“形”，我們可以把“數(shù)”進(jìn)行直觀化，使我們的理解過程、思考過程，變得“簡單化”“直接化”。

用數(shù)軸可以很直觀地、很簡單地判斷出，兩個數(shù)的大小。課本上說“右邊的大”，多余老師要特別進(jìn)行糾正，應(yīng)該是“正方向一側(cè)的大”，因為數(shù)的正方向，并不是只能向右。

相反數(shù)，是一個“相對詞”，相對詞，在使用時，必須說明是相對與誰而言。

比如：“男同學(xué)”就是一個“絕對詞”，但“兒子”就是一個“相對詞”，你可以說“我是男的”，但你不能說“你是兒子”，你得說明你是誰的兒子。

同樣，對于-5，你只能說“5是-5的相反數(shù)”，而不能說“相反數(shù)是5”。這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語言的“嚴(yán)謹(jǐn)性”和“完整性”。數(shù)學(xué)用語，不能像語文用語，不能產(chǎn)生“歧義”、“多義”。一句數(shù)學(xué)用語，只能產(chǎn)生唯一的意思，而且是完整的，不能有省略語。

相反數(shù)，從符號語言說，就是只有正負(fù)號不同的兩個數(shù)，是互為相反數(shù)；從圖形語言說，數(shù)軸上關(guān)于原點（0）對稱的兩個點（數(shù)），是互為相反數(shù)。

在這里，更能體會到“-”是相反號的意義了。

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，叫做a的絕對值，記作|a|。

絕對值是“距離”，是“線段的長度”，所以，絕對值是“形”的用語，而不是“數(shù)”的用語。絕對值號，是“形”的符號，是性質(zhì)符號，而不是運算符號，求絕對值不是數(shù)的運算。

由此可知：

絕對值是非負(fù)數(shù)（大于等于0）；非負(fù)數(shù)的絕對值就是自己；負(fù)數(shù)的絕對值是其相反數(shù)。

絕對值的拓展：

|a-b|，表示a、b兩點間的距離。其結(jié)果=“大-小”（“正向一側(cè)的點”-“反向一側(cè)的點”）。

數(shù)的大小比較，在前面已經(jīng)說過了：

一是“形”的方法，看數(shù)軸，正方向一側(cè)的數(shù)大。

二是“數(shù)”的方法，兩數(shù)相減，差大于0，則是“大-小”，差小于0，則是“小-大”。

四、從有理數(shù)的四則運算和乘方，看數(shù)學(xué)知識的層次性和規(guī)則的通用性

在小學(xué)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過四則運算，我們知道：

一是先乘除，后加減，括號絕對優(yōu)先。

二是加法和乘法都有交換律、結(jié)合律；乘法和加法混合有分配律。

三是除以一個數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

四是乘法的0很特別，0乘任何數(shù)還是0。

五是能簡便運算就簡便運算，簡便運算的目的，一是消數(shù)，二是湊整。

這些規(guī)則，在現(xiàn)在仍然使用。

由于“除以一個數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”，于是，除法被乘法統(tǒng)一了，看到除號，就看成分?jǐn)?shù)線。那么，乘除可以統(tǒng)一，加減能統(tǒng)一嗎？當(dāng)然能，用了“相反號”后，減號就可以當(dāng)成負(fù)號，這樣，減法就被加法統(tǒng)一了?？吹健?SPAN lang=EN-US>-”，全是負(fù)號。

這樣，有理數(shù)的四則運算，就變成了加和乘兩種了

由于，有理數(shù)，就比小學(xué)多了一個“-”，所以，在有理數(shù)的計算時，處理“-”，就成了“優(yōu)先級”。

1、相乘時，先看0，有0得0；再看正負(fù)號，一個“-”反一次，再“-”，就正過來了，即“反反為正”（負(fù)負(fù)得正），擴(kuò)展后成為：正負(fù)號相乘，看負(fù)號，偶數(shù)個為正，奇數(shù)個為負(fù)。

2、相加時，能抵消的先抵消（互為相反數(shù)先抵消或正負(fù)數(shù)的整十整百等先抵消），再分類相加，正數(shù)相加得到一個正數(shù)，負(fù)數(shù)相加得到一個負(fù)數(shù)，最后，如是兩個異號相加，大-小為正，小-大為負(fù)。

在小學(xué)時，我們已知道：乘法是加法的升級版，即乘法是求幾個相同加數(shù)的和的運算。所以，加法是一級運算，乘法是二級運算。

現(xiàn)在，把乘法再來一個升級版。求幾個相同因數(shù)的積的運算，命名為乘方。乘方是三級運算，即計算時，先乘方，再乘除，最后加減。

而乘方的符號確定方法，與乘法符號確定方法一樣。

所以，有理數(shù)的運算，處理好符號，余下的就是小學(xué)數(shù)學(xué)了。

五、從科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字，看小數(shù)形式的優(yōu)點

前面，在說有理數(shù)時，已經(jīng)說過，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，可分?jǐn)?shù)的大小不便于直接比較，于是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)形式，就可以直接比較大小了。

而且，運用乘方，也能將整數(shù)改寫成小數(shù)形式。這就是科學(xué)計數(shù)法。

科學(xué)計數(shù)法，把整數(shù)和分?jǐn)?shù)，都統(tǒng)一成了小數(shù)形式。