ABC猜想到底在猜測什么？

果殼的讀者們，你們即將經(jīng)歷數(shù)學中最為抽象、仿佛起源于虛無的數(shù)論和代數(shù)幾何的結(jié)合體。這里的理論無法用圖示去說明，是在把解方程這件事情綜合分析得出“對稱”、“互質(zhì)”之流的結(jié)構(gòu)之后，進一步抽象得到的結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)。

簡單來說，就是有3個數(shù)：a、b和c =a+b，如果這3個數(shù)互質(zhì)，沒有大于1的公共因子，那么將這3個數(shù)不重復的質(zhì)因子相乘得到的d， “幾乎一定”會比c大。舉個例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。這3個數(shù)是互質(zhì)的，那么不重復的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。大家還可以實驗幾組數(shù)，比如：3+7=10，4+11=15，也都滿足這個猜想。

但是，上面所述之內(nèi)容，并非猜想的全貌，而且依照上面的算法去找a+b=c，還居然存在反例！著名的ABC@home 網(wǎng)站 就在用分布式計算尋找ABC猜想的反例，其中一個反例是3+125=128：其中125=5 ³ ，128=2 ⁷ ，那么不重復的質(zhì)因子相乘就是3*5*2=30<128。因為乘方的存在，這個反例顯得有點特殊，但這樣的反例還有無窮多個！ 然而，Masser和Oesterlé的狡猾之處就在于，將嚴格的語言“模糊化”。真正的猜想是說，d的1+ε次方比c大。一旦加入這個看似毫不起眼的條件，哪怕這個1+ε只比1大一點點，反例就從無窮多個變到僅僅有有限多個，而且1+ε比1大得越多，反例就會越少。

這就是ABC猜想的表述了，聽起來好像不如以前我們知道的數(shù)論中的猜想那樣精確直觀。比如費馬最后定理：a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ ，當n大于等于3時就沒有整數(shù)解了。又比如哥德巴赫猜想：一個數(shù)一定表示成兩個質(zhì)數(shù)之和。ABC猜想不但涉及加法（兩個數(shù)之和），又包含乘法（質(zhì)因子相乘），接著還模糊地帶有點乘方（1+ε次方），最坑爹的是還有反例存在？這實在有點山寨——如果你這樣想，那就太小瞧這個猜想了。實際上，除了尚未解決的涉及多個數(shù)學分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，與ABC猜想的影響力相比，其他數(shù)論中的猜想，諸如哥德巴赫猜想、孿生質(zhì)數(shù)猜想，以及已經(jīng)解決的費馬最后定理，都只能算是戰(zhàn)斗力只有5的渣滓。

ABC猜想為何如此重要？

首先，ABC猜想，對于數(shù)論研究者來說，是反直覺的。

歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論，數(shù)不勝數(shù)。一旦反直覺的理論被證實是正確的，基本上都改變了科學發(fā)展的進程。舉一個例子：牛頓力學的慣性定律，物體若不受外力就會保持目前的運動狀態(tài)，這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈?！拔矬w不受力當然會從運動變?yōu)橥Ｖ埂保@是當時的普通人基于每天的經(jīng)驗得出的正常思想。而實際上，這種想法，在任何一個于20世紀學習過初中物理、知道有種力叫摩擦力的人來看，都會顯得過于幼稚。但對于當時的人們來說，慣性定理的確是相當違反人類常識的！

ABC猜想之于現(xiàn)在的數(shù)論研究者，就好比牛頓慣性定律之于17世紀的普通人，更是違反數(shù)學上的常識。這一常識就是：“a和b的質(zhì)因子與它們之和的質(zhì)因子，應該沒有任何聯(lián)系?！?原因之一就是，允許加法和乘法在代數(shù)上交互，會產(chǎn)生無限可能和不可解問題，比如關(guān)于丟番圖方程統(tǒng)一方法論的希爾伯特第十問題，早就被證明是不可能的。如果ABC猜想被證明是正確的，那么加法、乘法和質(zhì)數(shù)之間，一定存在人類已知數(shù)學理論從未觸及過的神秘關(guān)聯(lián)。

質(zhì)數(shù)螺旋

再者，ABC猜想和其他很多數(shù)論中的未解問題有著重大聯(lián)系。

比如剛才提到的丟番圖方程問題、費馬最后定理的推廣猜想、Mordell猜想、Erd?s–Woods猜想，等等等等。而且，ABC猜想還能間接推導出很多已被證明的重要結(jié)果，比如費馬最后定理。從這個角度來講，ABC猜想是質(zhì)數(shù)結(jié)構(gòu)的未知宇宙的強力探測器，僅次于黎曼猜想。

其次，我們來看望月用了什么數(shù)學工具來解決ABC猜想。

望月開始埋頭研究ABC猜想的證明時，距猜想提出不過10年，而且?guī)缀鯖]有任何進展，望月可以說是幾乎從零開始的。之所以說 “幾乎”，是因為望月20多歲時，在“遠阿貝爾幾何”[1]領(lǐng)域中作出過超卓貢獻，還被邀請到4年一屆的國際數(shù)學家大會上演講。然而，1988年柏林的數(shù)學家大會結(jié)束之后，望月就從學術(shù)界消失，潛心于他自己的宇宙去證明ABC猜想了。他用的理論工具，正是“遠阿貝爾幾何”。

可以說，望月證明ABC猜想的目的之一，就是要把遠阿貝爾幾何發(fā)揚光大。遠阿貝爾幾何這個數(shù)學分支，由代數(shù)幾何教皇格羅騰迪克于上個世紀80年代創(chuàng)建，研究對象是不同幾何物體上的代數(shù)簇的基本群的結(jié)構(gòu)相似性。

在富有傳奇色彩的麗沃夫咖啡館，近代分析學之父巴納赫說：“數(shù)學家能找到定理之間的相似之處，優(yōu)秀的數(shù)學家能看到證明之間的相似之處，卓越的數(shù)學家能察覺到數(shù)學分支之間的相似之處。最后，究級的數(shù)學家能俯瞰這些相似之處之間的相似之處?！?格羅騰迪克，便落入了巴納赫分類的究級數(shù)學家之列，遠阿貝爾幾何便是一門研究“相似之相似”的數(shù)學分支： 16世紀，的卡爾達諾研究3次方程求根；19世紀，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)特殊高次方程解的群結(jié)構(gòu)；代數(shù)幾何中的代數(shù)簇，則是一大類方程的公共解；代數(shù)簇的基本群，則是對于已經(jīng)綜合了一大類理論的代數(shù)簇理論的再一次綜合，關(guān)心什么樣的結(jié)構(gòu)獨立于幾何物體的代數(shù)簇的表象之外。

球射影空間上的代數(shù)簇

于是乎，對于數(shù)學家來說，檢查望月的證明是否存在錯漏的另外一個難題就是：要透徹理解望月那512頁的ABC猜想的證明，需要先弄懂望月關(guān)于遠阿貝爾幾何的750頁的著作！全世界總共只有約50名數(shù)學家在這方面有足夠的背景知識去通讀望月這本遠阿貝爾幾何著作，更別提望月在證明猜想中建立起來的“宇宙際Teichmüller理論”了。目前為止，自稱“宇宙際幾何學者”的望月，是他自己創(chuàng)造出的宇宙中的獨行者。

之前提到的望月的好友、牛津大學教授金明迥說：“讀證明，對數(shù)學家來說，也是非常痛苦的。說服大多數(shù)代數(shù)幾何學者去閱讀需要如此之多基礎(chǔ)知識的證明，更是一件難事。” 當然，這并不代表沒有數(shù)學家在檢查望月的證明，2012年10月，斯坦福大學教授Akshay Venkatesh函至望月，指出第3篇和第4篇論文中的錯誤。望月也迅速答復，承認了錯誤，并說明該錯誤對整體理論并無影響。

證明發(fā)表之后，懷疑之聲不絕于耳。因為從直覺上來講，ABC猜想如果被證明正確，對于數(shù)論的影響之巨大，無異于相對論和量子物理之于現(xiàn)代物理學。有些人認為，要是ABC猜想被證明，世界就太美好了，仿佛身處幻境。

大多數(shù)數(shù)論工作者希望，望月能夠就他的證明寫出一個綜述，將整套理論的邏輯脈絡展現(xiàn)給大家，比如為什么要引入定理X和概念Y，怎么層層推進到最終猜想的證明。設(shè)立千禧年大獎的克雷數(shù)學研究所也在考慮邀請望月開辦一個討論班，邀請世界上最優(yōu)秀的數(shù)論和代數(shù)幾何學家參加，大家一同學習這個新理論。

不過，關(guān)于望月新一本人，他在發(fā)布證明之后拒絕了任何采訪，而且他不喜好社交。在Google上搜索關(guān)于望月新一的背景介紹，中文鏈接中可讀的，唯有盧昌海發(fā)布在他個人主頁上的 文章 ：“望月新一 1969 年 3 月 29 日出生于日本東京， 16 歲進入美國普林斯頓大學就讀本科， 三年后進入研究生院，師從著名德國數(shù)學家、 1986 年菲爾茨獎得主法爾廷斯， 23 歲 （即 1992 年） 獲得數(shù)學博士學位。 此后， 他先是 、‘海歸’ 成了京都大學 數(shù)理解析研究所 的研究助理，幾個月后又前往美國哈佛大學從事了近兩年的研究， 然后重返京都大學。 2002 年， 33 歲的望月新一成為了京都大學數(shù)理解析研究所的教授。 望月新一的學術(shù)聲譽頗佳， 曾獲得過日本學術(shù)獎章等榮譽?！?/p>

關(guān)于望月的這種出世的行事方法，金明迥作出的評價是：“當你沉浸在自己的理論宇宙中太久，你會察覺不到他人對于你的理論的困惑，因為你先入為主地假設(shè)了所有人都明白很多基礎(chǔ)知識。”

故事到此就告一段落了，大家都在見證歷史。