二. 重點難點：

（一）銳角三角函數(shù)

  1. 銳角三角函數(shù)的定義

    如圖1，在中，為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作；把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作；把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作；把銳角A的鄰邊與對邊的比叫做的余切，記作。

圖1

    即；

  2. 互余角的三角函數(shù)間的關系

  3. 同角三角函數(shù)間的關系

  4. 三角函數(shù)值

    （1）特殊角的三角函數(shù)值

    （2）用計算器求的任意角的三角函數(shù)值。

    （3）銳角三角函數(shù)值的性質：

    ①銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，并且當時，，。

    ②當角度在間變化時：

    正弦、正切隨角度增大而增大，減小而減?。?/SPAN>

    余弦、余切隨角度增大而減小，減小而增大。

（二）解直角三角形

  1. 解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的兩個已知元素（其中至少有一條邊），求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。

  2. 解直角三角形相關的知識

    如圖2，在中，，

圖2

    （1）三邊之間的關系：。

    （2）銳角之間的關系：。

    （3）邊與角之間的關系：

    ，

    。

    （4）如圖3，若直角三角形ABC中，斜邊上的高于點D，設，，則

    。

圖3

    （5）如圖4，若CD是直角三角形ABC中斜邊上的中線，則

    ①；

    ②點D是的外心，外接圓半徑。

圖4

    （6）如圖5，若r是直角三角形ABC的內切圓半徑，則。

圖5

    （7）直角三角形的面積

    ①如圖3，。

    ②如圖5，。

  3. 直角三角形的可解條件及解直角三角形的基本類型

  4. 測量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、傾斜角等。

【典型例題】

  例1. 如圖6，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.46米，測得斜坡的傾斜角是，求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是多少米？（精確到1米，用計算器求值）

圖6

    分析：此問題歸結為中，米，求AB的長。

    米，

    斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是6米。

  例2. 已知：如圖7，在菱形ABCD中，于點E，，求四邊形ABCD的面積S。

圖7

    分析：在中，，已知，就相當于給了的對邊AE與斜邊BA的比是5：13。

    解：在中，，

    設  由勾股定理得

    ，即

    。

  例3. 如圖8，在中，，求AB和BC的長。

圖8

    分析：由已知條件和三角形內角和定理，可知；過點C作，則是可解三角形，可求出CD的長，從而可解，由此得解。

    略解：過點C作于D

    想一想，若例3改為：

    ①中，，如何求AB和BC的長？

    ②已知中，，，，如何求BC邊及的面積？

  例4. 如圖9，已知在中，，求的四個三角函數(shù)值。

圖9

    解：在中，

  例5. 如圖10，已知在中，。求。

圖10

    解法1：在中，

    設

    由勾股定理，可得

    解法2：在中，，，

    ；

    又

    小結：已知一個角的某個三角函數(shù)值，求同角的其它三角函數(shù)值時，常用的方法有兩個：利用定義（根據三角函數(shù)值，用比例系數(shù)表示三角形的邊長）或同角的三角函數(shù)之間的關系。

  例6. 解答下列各題：

    （1）化簡求值；

    （2）若（為銳角），求的值；

    （3）在中，，化簡。

    解：（1）

    （2）

    （3）

    小結：由第（3）題可得到今后常用的一個關系式：

    例如，若設，則。

  例7. 如圖11，在中，，，求的值。

圖11

    分析：為求，需將分別置于直角三角形之中，另外已知的鄰補角是，若要使其充分發(fā)揮作用，也需將其置于直角三角形中。所以應分別過點B、C向CA、BA的延長線作垂線段，即可順利求解。

    解：過點B作的延長線于點D，過點C作的延長線于點E。

    ；

    。

    又，由勾股定理，

    同理可求得

  例8. 如圖12，直升飛機在跨河大橋AB的上方P點處，此時飛機離地面的高度米，且A、B、O三點在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為。求大橋AB的長（精確到1米）。

圖12

    解：依題意，

       （米）

    答：大橋的長度約為120米。

    說明：如圖12，一般地，。

  例9. 如圖13，某船向正東航行。在A處望見燈塔C在東北方向，前進到B處望見燈塔C在北偏西，又航行了半小時到D處，望見燈塔C恰在西北方向，若船速為每小時20海里，求A、D兩點間的距離。（結果不取近似值）

圖13

    解：作，垂足為E。設海里。

    在中，，

    即。解得

    （海里）。

    答：A、D兩處間的距離為海里。

  例10. 某型號飛機的機翼形狀如圖14所示，AB//CD，根據圖中數(shù)據計算AC，BD和CD的長度（精確到0.1米，）。

圖14

    解：如圖15所示，過C作交BA延長線于E，過B作，交CD延長線于F。

圖15

    在中，

    （）

    在中，

    答：AC約為7.1米，BD約為5.8米，CD約為3.4米。

  例11. 如圖16，，，求四邊形ABDC的面積。

圖16

    分析：只需分別求出和的面積，就可求出四邊形的面積。問題的關鍵是如何求出中BC邊上的高。

    略解：作于H

    在中，

    四邊形ABDC的面積為平方單位。

    小結：已知一個角的三角函數(shù)值就可以得到它余角的余弦函數(shù)值，同時還可以得到已知角和它的余角的其它的三角函數(shù)值。

  例12. 如圖17，在四邊形ABCD中，，，，求CD的長。

圖17

    分析：由已知，為了構造可解的直角三角形，可分別延長DC、AB，設交點為E，得；再利用，則，通過設參數(shù)、列方程即可求解。

    略解：如圖17所示，，

    設

    在中，，解得

    ，則。

    此例題還有其它幾種添加輔助線的方法，請自己研究。

    解此類問題的基本思路是將四邊形轉化成解直角三角形的問題。轉化的目標主要有兩個，一是構造可解的直角三角形；二是利用已知條件通過設參數(shù)，列方程。在解直角三角形時，常用的等量關系是：勾股定理、三角函數(shù)關系式、相等的線段、面積關系等。

  例13. 如圖18，D是AB上一點，且于C，，，，求的值和AB的長。

圖18

    略解：作DE//AC交CB于E。則。

    ，

    設，則

    即

    ，解得

  例14. 如圖19，正三角形ABC的邊長為2，點D在BC的延長線上，。

    （1）動點P在AB上由A向B移動，設，的面積為，求與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍。

    （2）在（1）的條件下，設，求z與t之間的函數(shù)關系式。

圖19

    略解：作于E

    （1），

    又，

    （2）由（1）不難得出，

【模擬試題】

  1. 填空題：在中，，分別為的對邊，

    （1）若，則________，_________，_______。

    （2）若，，則__________，_________。

    （3）若，則_________。

    （4）若，則________，_________。

    （5）若，b與斜邊的中線相等，則_________，_________。

    （6）若，則_________。

    （7）若的周長為，則______cm，_____cm。

  2. 在中，分別是的對邊，，，求。

  3. 中，分別是的對邊，若，，試求BC邊的長及的面積。

  4. 已知：四邊形ABCD中，，，求四邊形ABCD的面積。

  5. 在中，，D是BC延長線上一點，，求的度數(shù)和AB的長。

  6. 如圖20，水庫大壩的橫斷面為梯形，壩頂寬6米，壩高24米，斜坡AB的坡角為，斜坡CD的坡度，求壩底AD的長。

圖20

  7. 如圖21，一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東。40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東。已知以小島C為中心，周圍10海里以內為我軍導彈部隊軍事演習的著彈危險區(qū)。問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進入危險區(qū)域的可能？

圖21

  8. 如圖22，一起重機的機身高21m，吊桿AB長36m，吊桿與水平線的夾角可從升到，求起重機起吊的最大高度（吊鉤本身的長度和所掛重物的高度忽略不計）和當起重機位置不變時使用的最大水平距離（精確到0.1米）。

圖22

  9. 如圖23，在小山的東側A處有一熱氣球，以每分鐘28米的速度沿著與垂直方向夾角為的方向飛行，半小時后到達C處，這時氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點B，5分鐘后，在D處測得著火點B的俯角是，求熱氣球升空點A與著火點B的距離。（結果保留根號，參與數(shù)據：，）

圖23

【試題答案】

  1. （1）

    （2）

    （3）           （4）

    （5）

    （6）           （7）

  2.

  3. 當時，

    當時，

  4.

  5. ，

  6. 78米

  7. 這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群不會進入危險區(qū)域。

  8. 最大高度約56.5米，最大水平距離約31.2米。

  9. 米。