［教學(xué)目標(biāo)］

  1. 了解圓的定義，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；理解等圓、等弧的概念和與圓有關(guān)的概念。

  2. 了解軌跡的意義，掌握五個(gè)基本軌跡。

  3. 圓的定義

    圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。

  4. 圓外部分、圓內(nèi)部分

  5. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

    點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上，圓外三種，設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P和圓心O的距離為d，則有：

    點(diǎn)在圓內(nèi)；

    點(diǎn)在圓上；

    點(diǎn)在圓外。

  6. 理解定理，不在一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，并掌握不在同一條直線上三點(diǎn)作圓的方法。

  7. 會(huì)用尺規(guī)作經(jīng)過不在同一直線上三點(diǎn)的圓。

  8. 了解三角形外心的概念。

  9. 過三點(diǎn)的圓

    確定一個(gè)圓有兩個(gè)基本條件：圓心（定點(diǎn)），確定圓的位置；半徑（定長），確定圓的大小。只有當(dāng)圓心和半徑都確定時(shí)，圓才能確定。

    此外，下列條件都可以確定圓心和半徑，因而都能確定圓：（1）經(jīng)過不在一直線上的三點(diǎn)的圓；（2）已知圓心和圓上一點(diǎn)的圓；（3）以已知線段為直徑的圓。

    特別要注意的是，過任意三點(diǎn)不一定能作圓，如果三點(diǎn)在同一直線上，則不能作圓。

  10. 反證法

    從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明命題成立，這樣的證明方法叫反證法。

二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：

    圓的概念及三點(diǎn)確定一個(gè)圓的方法。

【典型例題】

  例1. 如圖所示，已知矩形ABCD的邊。

    （1）以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點(diǎn)B、C、D與⊙A的位置關(guān)系如何？

    （2）若以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？

    點(diǎn)悟：要判定B、C、D與⊙A的位置，只須比較AB、AC、AD的長度與半徑4cm的大小。

    解：（1）∵AB＝3cm＜4cm

    ∴點(diǎn)B在⊙A內(nèi)

    ∵AD＝4cm

    ∴點(diǎn)D在⊙A上

    ∴點(diǎn)C在⊙A外

    （2）∵AB＝3cm，AD＝4cm，AC＝5cm

    也就是說，B點(diǎn)到圓心A的距離3cm是最短距離，C點(diǎn)到圓心A的距離5cm是最長距離。

    ∴使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，⊙A的半徑r的取值范圍是3cm＜r＜5cm。

    點(diǎn)撥：要判定平面上一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須比較該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小。

  例2. 畫圖說明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡。

    （1）經(jīng)過點(diǎn)A，且半徑等于2cm的圓的圓心軌跡；

    （2）邊，面積為的△ABC的頂點(diǎn)A的軌跡。

    點(diǎn)悟：（1）圓心是動(dòng)點(diǎn)，且圓要經(jīng)過點(diǎn)A，故圓心必須到定點(diǎn)A的距離等于2cm，屬軌跡1。

    （2）因?yàn)椤?/SPAN>ABC的面積為，底BC＝1cm，故BC邊上的高為1cm，動(dòng)點(diǎn)A必須到直線BC的距離等于1，屬軌跡4。

    解：（1）經(jīng)過點(diǎn)A，且半徑等于2cm的圓的圓心軌跡，是以A為圓心，2cm為半徑的圓。如圖所示（甲）：

    （2）邊，面積為的△ABC的頂點(diǎn)A的軌跡，是平行于邊BC，且到邊BC的距離等于1cm的兩條平行線。如圖所示（乙）：

    點(diǎn)撥：根據(jù)給定的條件，探求并確定符合條件的軌跡圖形，通常是轉(zhuǎn)化為五個(gè)基本軌跡。

  例3. 下圖中的五個(gè)半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時(shí)出發(fā)，以相同的速度從A點(diǎn)到B點(diǎn)。甲蟲沿路線爬行，乙蟲沿路線爬行，則下列結(jié)論正確的是（    ）

    A. 甲先到B點(diǎn)                    B. 乙先到B點(diǎn)

    C. 甲、乙同時(shí)到B點(diǎn)         D. 無法確定

（2002年吉林）

    解：設(shè)大圓的半徑為R，小圓的半徑分別為，則

    故大圓的半周長與四個(gè)小圓的半周長相等。

    因此，甲、乙兩蟲同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)。

    故選C。

  例4. ⊙O半徑為2.5，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離為2，動(dòng)點(diǎn)Q到P點(diǎn)距離為1，問P點(diǎn)、Q點(diǎn)和⊙O是什么位置關(guān)系？為什么？

    點(diǎn)悟：這是一個(gè)很有趣的問題。打一個(gè)比方，若把O點(diǎn)看作太陽，則P點(diǎn)好比是地球，Q點(diǎn)好比是月亮。P點(diǎn)到O點(diǎn)距離是2，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶著Q也運(yùn)動(dòng)，則PQ始終是1。

    解：∵PO＜2.5

    ∴P點(diǎn)在⊙O內(nèi)部

    Q點(diǎn)和O點(diǎn)的距離較復(fù)雜，當(dāng)Q點(diǎn)在OP延長線上時(shí)，Q點(diǎn)和O點(diǎn)距離最大，最大距離是3；當(dāng)Q點(diǎn)在OP上時(shí)，Q點(diǎn)和O點(diǎn)的距離最小，最小距離是1；當(dāng)Q點(diǎn)處在點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，。如圖所示：

    ∴Q點(diǎn)既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，⊙O內(nèi)。

  例5. 求證：菱形四條邊中點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一圓上。

    已知：如圖所示，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。

    求證：E、F、G、H四個(gè)點(diǎn)在以O為圓心的同一圓上。

    點(diǎn)撥：判定E、F、G、H四個(gè)點(diǎn)在同一圓上，根據(jù)圓的定義，它們應(yīng)到定點(diǎn)距離都等于定長。因?yàn)?/SPAN>E、F、G、H是菱形各邊的中點(diǎn)，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直，以及直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，得出E、F、G、H到O點(diǎn)距離都等于定長，因此命題得證。

    證明：連結(jié)OE、OF、OG、OH

    ∵四邊形ABCD為菱形

    ∴AB＝BC＝CD＝DA，且BD⊥AC

    ∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)

    ∴E、F、G、H四點(diǎn)在以O為圓心的圓上

    點(diǎn)撥：本題為文字?jǐn)⑹鲱}，所以應(yīng)先寫出已知和求證并畫出圖形；證點(diǎn)共圓，只須證這些點(diǎn)與定點(diǎn)的距離相等即可。

  例6. 如圖所示，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，它們的半徑都是1，順次連結(jié)五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是（    ）

    A.             B.          C.           D.

    解：

    故選B

    常見錯(cuò)誤：誤以為五邊形內(nèi)角和為360°，而錯(cuò)選A；或誤以為五邊形內(nèi)角和為720°，而錯(cuò)選C。

  例7. 如圖所示，是一塊圓形砂輪破碎后的部分殘片，試找出它的圓心。

    點(diǎn)悟：若求出所在的圓的圓心和半徑問題則解決了。又知道不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。故應(yīng)在弧AB上找三個(gè)點(diǎn)，即可通過作弦的垂直平分線方法找到圓心。

    作法：（1）在上任取一點(diǎn)C。

    （2）連結(jié)AC、BC。

    （3）分別作AC、BC的垂直平分線a、b，a與b相交于點(diǎn)O。

    則點(diǎn)O即為所求的圓心。

    點(diǎn)撥：此題是已知三點(diǎn)作圓的運(yùn)用，它是已知圓找圓心。

  例8. 如圖所示，在△ABC中，D、E分別在AC、AB上，BD、CE相交于點(diǎn)O，證明BD和CE不可能互相平分。

    點(diǎn)悟：結(jié)論帶否定詞“不”的問題適合于用反證法證明，我們不妨一試。

    證明：假定BD和CE互相平分，則四邊形EBCD是平行四邊形。

    ∴BE∥CD，這與已知BE和CD相交于A相矛盾

    ∴BD和CE不可能互相平分

    點(diǎn)撥：應(yīng)用反證法時(shí)，敘述要科學(xué)規(guī)范。

  例9. 用反證法證明：三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°。

    證明：假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于60°，則這個(gè)三角形的內(nèi)角和小于180°，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾。

    所以，三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°。

  例10. 如圖所示，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OB，OC＝OD。

    證明：四邊形ABCD一定有外接圓。

    點(diǎn)悟：如果能證明四邊形的三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)就是了，由題設(shè)可以證明AB、CD有公共的垂直平分線，這樣問題就不難解決了。

    證明：∵∠AOB＝∠COD

    ∴等腰△AOB和等腰△COD的頂角相等

    ∴它們的底角也相等

    ∴∠CDO＝∠ABO

    AB∥CD，過O作OM⊥AB，則OM是AB的垂直平分線，也是CD的垂直平分線。

    設(shè)DA的垂直平分線交OM于P，則P點(diǎn)到A、B、C、D的距離相等，即四邊形ABCD有外接圓，其圓心是P點(diǎn)。

【模擬試題】（答題時(shí)間：45分鐘）

  1. AB是⊙O的弦，OQ⊥AB于Q，再以OQ為半徑作同心圓，稱作小⊙O，點(diǎn)P是AB上異于A、B、Q的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P的位置是（    ）

    A. 在大⊙O上

    B. 在大⊙O的外部

    C. 在小⊙O的內(nèi)部

    D. 在小⊙O外且在大⊙O內(nèi)

  2. 下列命題正確的是（    ）

    A. 經(jīng)過點(diǎn)A且半徑等于a的圓心O的軌跡，為以O為圓心，a為半徑的圓

    B. 如果一個(gè)圖形上的每一點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊距離都相等，那么這個(gè)圖形一定是這個(gè)角的角平分線

    C. 到直線AB的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡是平行于直線AB，且到AB的距離等于5cm的一條平行線

  3. 下列命題正確的是（    ）

    A. 三點(diǎn)確定一個(gè)圓

    B. 圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形

    C. 三角形的外心是三角形三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)

    D. 三角形的外心是三角形任意兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)

  4. 下列說法錯(cuò)誤的是（    ）

    A. 三角形的外心不一定在三角形外部

    B. 圓的兩條非直徑的弦不可能互相平分

    C. 兩個(gè)三角形可能有公共的外心

    D. 任何梯形都沒有外接圓

  5. 下列命題中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（    ）

    （1）三角形只有一個(gè)外接圓；

    （2）鈍角三角形的外心在三角形外部；

    （3）等邊三角形的外心也是三角形的三條中線、高、角平分線的交點(diǎn)；

    （4）直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)。

    A. 0個(gè)           B. 1個(gè)           C. 2個(gè)           D. 3個(gè)

  6. 用反證法證明，“若⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離d大于r，則點(diǎn)P在⊙O的外部”首先應(yīng)假設(shè)（    ）

    A.                     B.

    C. 點(diǎn)P在⊙O外         D. 點(diǎn)P在⊙O上或點(diǎn)P在⊙O內(nèi)

  7. 在一個(gè)圓中任意引兩條直徑并順次連結(jié)它們的四個(gè)端點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，則這四邊形一定是（    ）

    A. 等腰梯形                B. 菱形         C. 矩形         D. 正方形

二. 填空題。

  8. 已知AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC交AC于D，AC＝6cm，則DC＝_________。

  9. 直角三角形外接圓的圓心在_________上，它的半徑等于_________的一半。

  10. P點(diǎn)到⊙O上的點(diǎn)的最小距離是6cm，最大距離是8cm，則⊙O的半徑是_________。

  11. P是⊙O內(nèi)與O不重合的點(diǎn)，則在經(jīng)過P點(diǎn)的所有弦中，最長的弦是_________。

  12. 若一個(gè)圓經(jīng)過梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)梯形是_________梯形。

  13. 用反證法證明“一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是直角”時(shí)，第一個(gè)步驟是_________。

三. 解答題。

  14. 已知△ABC中，∠C＝90°。求證：AB＞AC，AB＞BC。

  15. 如圖所示，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，并且E、F、G三點(diǎn)共線，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓。

  16. 如圖所示，AC、BD是⊙O的兩條直徑，求證：四邊形ABCD是矩形。

  17. 如圖所示，四邊形ABCD的一組對(duì)角∠B、∠D都是直角，求證：A、B、C、D四點(diǎn)在同一圓上。

  18. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-3），以C為圓心，5個(gè)單位長為半徑畫圓，求⊙C與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)并判斷點(diǎn)P（-3，0）是否在⊙C上。

【試題答案】

一. 選擇題。

  1. D           2. D        3. D        4. D        5. A        6. D        7. C

二. 填空題。

  8. 3cm

  9. 斜邊中點(diǎn)，斜邊長

  10. 1cm或7cm

  11. 此圓的直徑

  12. 等腰

  13. 假設(shè)一個(gè)三角形中有兩個(gè)角是直角

三. 解答題。

  14. 證明：作△ABC的外接圓⊙O，如圖所示，根據(jù)直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半知斜邊AB的中點(diǎn)O，即為外接圓的圓心，連結(jié)OC，則

    ∵在△AOC中有

    ∴AB＞AC

    同理可證：AB＞BC

  15. 假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)不共圓，則：

    ∵DE⊥BC，DF⊥AC

    ∴∠DEC＋∠DFC＝180°

    故D、E、C、F四點(diǎn)共圓

    同理，D、E、G、B四點(diǎn)共圓

    ∴∠DCF＝∠DEF＝∠DBG

    從而∠BDG＝∠CDF

    ∴∠GDF＝∠BDC

    故∠GDF＋∠A＝∠BDC＋∠A≠180°

    ∵DG⊥AB，DF⊥AC

    ∴∠AGD＋∠DFA＝180°

    故四邊形AGDF的內(nèi)角和＝∠GDF＋∠A＋∠AGD＋∠DFA≠360°，矛盾

    ∴A、B、D、C四點(diǎn)共圓

  16. 證明：∵OA＝OC，OB＝OD

    ∴四邊形ABCD是平行四邊形

    又∵AC＝BD

    ∴平行四邊形ABCD是矩形

  17. 連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO、BO

    在Rt△ACD中，∵O為斜邊AC中點(diǎn)

    ，即

    同理可證：

    ∴A、B、C、D四點(diǎn)在以O為圓心，AC為直徑的圓上

    注：目前，證四點(diǎn)共圓只有一種證法：那就是證明A、B、C、D四點(diǎn)到某一點(diǎn)的距離都相等，可猜想這一點(diǎn)就是AC的中點(diǎn)。

  18. 交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-4，0）、（0，-8）、（4，0）、（0，2），P點(diǎn)在⊙C內(nèi)