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非線性動力學渾沌（I） 此為1993年稿，北大方正注解小樣 [KMB][AM] 〖SM(〗非線性動力學渾沌〖SM)〗 〖HT3,2H〗〖STHZ〗非線性動力學渾沌〖STBZ〗〖HT〗[ML] 〖HK22〗 〖HT4LB〗以卡姆定理為代表的渾沌理論揭示了決定論和隨機論之間、牛頓力學和統(tǒng)計力學之間沒有不可逾越的界線。渾沌理論宣告了玻爾茲曼在這方面比愛因斯坦高明些?！糎T〗 〖JY，1〗——朱照宣 〖HK〗 [LM] 〖DS(2。2W〗〖HT2SS〗宏〖DS)〗[HT]觀上粗略地看，非線性動力學渾沌好象是突然涌現(xiàn)于當代科學界的，一切好象從零做起。但是只要稍接觸渾沌研究史，就會發(fā)現(xiàn)不是這樣。如果拿“放大鏡”去考察科學史，會找到一種奇妙的、幾乎連續(xù)的思想發(fā)展過程。這又會使人走向另一個極端：以為所謂的渾沌新科學不過是諸多舊知識的整理或再發(fā)現(xiàn)。這兩種認識目前在學界都大有支持者，否定它們的唯一辦法是研究科學史中被忽視的部分，清楚地展示哪些思想“古已有之”，哪些思想“平地崛起”。 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.0〓世紀之交的非線性動力學渾沌思想〖STBZ〗[HTSS]〖ML〗 渾沌語義問題的討論包括從科學史角度對渾沌概念作歷史性的考察，這部分工作不是一般語言學家能做的。渾沌概念科學的、歷史的語義學考察對于渾沌研究，特別是渾沌理論向其它學科的滲透，以及對渾沌理論作哲學概括，有著關(guān)鍵性的意義。這里首先開列一張人物清單，作者考慮，清單上的人物至少應包括：阿達馬(J.S.Hadamard,1865-1963)、迪昂(P.M.M.Duhem,1861-1916)、麥克斯韋(J.C.Maxwell,1831-1879)、龐加萊、李亞普諾夫(?。瘰岌濮擐唰?1857-1918)、克雷洛夫(Nikolaǐ Sergeevich Krylov,1917-1947)、伯克霍夫、范德坡(B.von der Pol)和范德馬克(J.von der Mark)、杜芬(G.Duffing)、莫爾斯(H.M.Morse,1892-1977)、卡特賴特(M.L.Cartwright,1900-?)、李特爾伍德(J.E.Littlewood,1885-1977)、萊溫松(N.Levinson)、玻恩、布里淵(L.N.Brillouin,1889-1969)、麥堡(P. J.Myrberg)、KAM三人、薩可夫斯基(A.N.Sarkovskii)、埃農(nóng)(M.Henon)和海爾斯(C.Heils)、上田〖HT5,7SS〗目[KG-*4][HT5,7SS]完[HT]亮(Y.Ueda,1936-)、洛侖茲(E.N.Lorenz,1921-)、福特、梅、芒德勃羅(B.B.Mandelbrot,1924-)、李天巖和約克、費根鮑姆(M.Feigenbaum) …… 。 這張表還可以接下去寫很長，不過列到費根鮑姆就足夠了，后面的故事人們一般較熟悉些。我們在其它地方討論過的，〖ZW(B〗參見苗東升、劉華杰，《渾沌學縱橫論》第二章，中國人民大學出版社1993年。〖ZW)〗這里不再涉及；幾位尚未找到詳實材料的，暫時也不討論。由于研究難度非常大，我們的考察是相當初步的。 [HS2]〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTK〗1)麥克斯韋〖WTBZ〗〖STBZ〗〖HTSS〗 世人都熟悉麥克斯韋在電磁理論中的貢獻，其實在動力學、統(tǒng)計力學中他也有不少杰出的工作。對傳統(tǒng)力學的缺點，他有清醒的認識。早在1873年就說過從渾沌學角度看十分精辟的話，通過朱照宣先生在一本書中偶然找到如下一段論述。為了明晰起見，多處給出英文原文。 〖GK2!〗〖HTK〗 從〖ZZ(Q〗同樣的〖ZZ)〗(same)前件得出〖ZZ(Q〗同樣的〖ZZ)〗后件，這是一個形而上學教條。沒有人能否定這一點。但是，實質(zhì)上它并無很大用處，在這個世界上，同樣的前件從不再次出現(xiàn)，任何事物也不發(fā)生兩次，…… 物理學公設(shè)與此有類似之處：“從[ZZ(Q]類似的[ZZ)](like)的前提得出〖ZZ(Q〗類似的〖ZZ)〗的結(jié)果?！比欢?，在這里我們從〖ZZ(Q〗相同〖ZZ)〗(samness)過渡到了〖ZZ(Q〗相似〖ZZ)〗(likeness)，從絕對的精確性(absolute accuracy)過渡到了多少有些粗糙的近似(rough approximation)。對于某些類現(xiàn)象，數(shù)據(jù)中小的誤差在結(jié)果中只引起小的誤差。在這些情形中，事件的進程是穩(wěn)定的(stable)。也存在其它一些類型的現(xiàn)象，它們是很復雜的，在此諸情況下，可以出現(xiàn)不穩(wěn)定性(instability)，隨著變量數(shù)目的增加，這些情形的數(shù)量以極其快速的方式增長。［１］〖HT〗〖HK〗 〖HS2〗〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTK〗2)法國傳統(tǒng)：阿達馬、迪昂和龐加萊〖WTBZ〗〖STBZ 〗〖HTSS〗 在感性認識的層次，甚至幾千年前人們就知道，小的原因可以產(chǎn)生大的后果，系統(tǒng)的長期行為不可預測，但那與實證科學無關(guān)。事情的關(guān)鍵在于對于具體系統(tǒng)給出嚴格的證明，清楚地顯示初始條件的微小偏差使得隨后的演化極其不同，預測變得無用。 法國著名數(shù)學家阿達馬于1898年發(fā)表劃時代的論文“負曲率曲面上的測地流”(Les surface s à courbures opposées et leurs lignes géodésiques)，［２］當時他30歲。阿達馬考慮，在無摩擦情況下，質(zhì)點在扭曲的負曲率曲面上如何運動。質(zhì)點的軌跡形成所謂的“測地流”。從數(shù)學角度看，測地流還是比較好研究的，阿達馬證明負曲率曲面上的測地流存在“對初始條件的敏感依賴性”(具體含義見后文)。形象點說，阿達馬研究的具有定常負曲率的曲面的樣子為，剪一片羅巴切夫斯基平面，把它折起來，然后將邊緣用膠水粘上。70年代蘇聯(lián)學者西奈(Ya.G.Sinai)就凸障礙物的“臺球”系統(tǒng)給出類似定理的證明。相對比，阿達馬的證明難度要小得多。 法國科學史家、科學哲學家迪昂是較早領(lǐng)悟阿達馬上述結(jié)果的哲學含義的人物之一。在1906年出版的寫給普通讀者的書中，迪昂把其中一節(jié)的標題設(shè)為：“一個數(shù)學推演永遠失效的實例”，［３］他指的數(shù)學推演是，計算阿達馬曲面上臺球的一條軌線?！坝肋h失效”的意思是在初始條件中出現(xiàn)的微小不確定性，將導致很大的不確定性，使得對于足夠長時間的軌道預測來說，預測失去了根本意義。他說，考慮阿達馬曲面上的一質(zhì)點，給定它運動的速度，〖ZZ(Q〗從數(shù)學角度〖ZZ)〗思考，我們能夠確定這一點的軌跡，但是〖ZZ(Q〗物理上〖ZZ)〗則做不到，所以這種數(shù)學推斷沒用?！皩τ谖锢韺W家來說，這樣的推斷法永遠是無用的。因為，當已知數(shù)不再從幾何學的角度來考慮，而是由人們所需要的那樣精確的物理學的手段來確定，那么所提出的問題，現(xiàn)在和將來永遠沒有答案?！豹郏矗莳^“幾何學的角度”指“點”是無大小的，點的位置是無限精確的，刻畫該點一般至少需要一個無理數(shù)(因為隨便抓一點幾乎都是無理數(shù)!)。 龐加萊對渾沌研究的貢獻無論怎樣夸講都不算過分。杰克遜(E.Atlee Jackson)撰寫的兩卷本名著《非線性動力學展望》第一章標題為“〖ZZ(Q〗起初……〖ZZ)〗”，次級標題是“〖ZZ(Q〗……有個龐加萊〖ZZ)〗”，第一句為“現(xiàn)代非線性動力學倘若有位圣父，那就是龐加萊?！豹郏担莳髡呓芸诉d分明仿照《圣經(jīng)·創(chuàng)世紀》的語句，將龐加萊置于“上帝”的位置。定語“現(xiàn)代非線性”很重要，是絕對不能省略的。 龐加萊的遺產(chǎn)是多方面的，魏特曼(A.S.Wightman)認為至少包括四個方面：(1)定性動力學，整體上流的通有行為，相圖的分類；(2)遍歷理論，概率思想，回復性定理；(3)周期軌道的存在性，近周期軌處流的結(jié)構(gòu)的詳細分析；(4)分岔理論。［６］1887年布倫斯(Heinrich Bruns,1848-1919)證明，三體問題的9個二階微分方程只有10個代數(shù)積分，即3個動量積分、3個角動量積分、3個關(guān)于質(zhì)心運動的積分和1個能量積分。龐加萊1890年將上述定理推廣到有攝動參數(shù)的情形，證明了下述定理： 若系統(tǒng)的哈密頓量H用作用角度變量(J，θ)表示成如下形式 〓〓H(J，θ，λ)=H0(J)+λH1(J，θ)，〖JY〗(3.1.1) 其中H1(J，θ)是θi(i=1,…，N)的周期函數(shù)，并且海賽行列式不恒等于0，即 〓〓[JB(｜][SX(]ο2H0[]οJiοJk[SX)][JB)｜]0,〖JY〗(3.1.2) 則除了哈密頓量H(J，θ，λ)以外，不存在作為θ之周期函數(shù)的形如 〓〓I(J，θ，λ)=∑〖DD(X〗n〖DD)〗λnIn(J，θ)[JY](3.1.3) 的解析、單值運動積分。1892年，在三卷本《天體力學的新方法》(Méthodes nouvelles d e la mécanique céleste)的第一卷第四章里，他把這一定理作了一般表述： 在通常的保守問題中，經(jīng)典力學正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致 的積分。［７］ 此定理的重要性在于，它從一般原理的層次明確指出，可積系統(tǒng)是很少的；并且，許多行為 很規(guī)則的系統(tǒng)當受到擾動后，也可能出現(xiàn)不連續(xù)性，即參數(shù)或初始條件只要有微小的變化， 就可能引起復雜的、定性上的變化。龐加萊對渾沌其它有關(guān)研究的具體闡述見《渾沌學縱橫 論》一書，這里只引述龐加萊關(guān)于“對初始條件的敏感依賴性”的一段精彩論斷： 〖HTK〗 〖GK2!〗我們覺察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結(jié)果，于是我們說這 個結(jié)果是由于偶然性。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時刻的狀態(tài)，那么 我們就能夠正確地預言這個宇宙在后繼時刻的狀態(tài)。不過，即使自然定律對我們已無秘密可 言，我們也只能〖ZZ(Q〗近似地〖ZZ)〗知道初始狀態(tài)。如果情況容許我們〖ZZ(Q〗以同樣 近似度〖ZZ)〗預見后繼的狀態(tài)，這就是我們所要求的一切，那我們便說該現(xiàn)象被預言到了 ，它受規(guī)律支配。但是，情況并非總是如此；可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在 最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預言變得不可能 了，我們有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象。［８］〖HK〗〖HTSS〗 〖DM(〗3.1〓玻恩和布里淵對動力學不穩(wěn)定性的認識〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖WTHZ〗〖HTH〗3.1〓玻恩和布里淵對動力學不穩(wěn)定性的認識〖WTBZ 〗〖STBZ〗〖HTSS〗〖ML〗 玻恩對量子力學的研究作出了巨大貢獻，他最有說服力地證明，在量子力學里概率統(tǒng)計 的觀點具有根本意義。他將態(tài)函數(shù)ψ的模平方｜ψ｜2解釋為系統(tǒng)處于某態(tài)的概率(幾率) ，這一詮釋廓清了迷霧重重的量子力學，已成為正統(tǒng)解釋。這些情況人們一般是熟悉的，但 許多人并不曉得它們與“決定論”之間的關(guān)系。 玻恩有句名言：“粒子運動遵循幾率定律，而幾率本身按照因果律傳播?！豹郏梗莳@ 里的“因果律”相當于科學中的“決定論”(具體含義見第5章)。玻恩進一步思考經(jīng)典力學 中是否真的總是決定論的?！敖?jīng)典力學真的在所有情況下都使得預測可以進行嗎?當我將天 文學時間尺度與原子物理學的時間尺度相對比時，我的懷疑增加了?！豹郏保埃莳@是 玻恩在“經(jīng)典力學果真是決定論的嗎?”一文中說的話。我們將以此文為根據(jù)，闡述玻恩對 動力學系統(tǒng)“對初始條件的敏感依賴性”的認識。 文中也使用了“chaos”這個詞，不過是在一般意義上：“古人和中世紀的人看到的只是天 界的秩序和預定性，而在地上則發(fā)現(xiàn)充斥了任性和渾沌?！?玻恩堅信經(jīng)典力學有若干局限 性，表現(xiàn)出來的似乎無疑問的完全決定性是個假象，實際上它容許了非決定性，理由有三個 ： (1)牛頓力學并不足以解釋所有觀測事實，特別是原子物理學的事實。 (2)牛頓力學來自宏觀領(lǐng)域，如果對比天文學與原子物理學的時間尺度，會看到星體世界是 “短命的”，原子世界是“長命的”。由前者得到的經(jīng)驗定律，試圖使之對于后者永遠有效 ，這可能是危險的。 (3)動力學不穩(wěn)定性使得小偏差可以產(chǎn)生意想不到的大偏差，只要對系統(tǒng)的初始條件測量稍 有誤差，系統(tǒng)演化就可能違反決定論。 人們通常宣稱，在氣體動理論的討論中，系統(tǒng)原則上都是決定論的，之所以要引入統(tǒng)計學， 只是因為人們不知道大量數(shù)目分子的確切初始位置。玻恩認為，這一斷言極其可疑?？紤]一 運動的球形分子與其它數(shù)目眾多的固定的分子發(fā)生彈性碰撞。不難想象，初始速度的方向只 要有小小的變化就會導致方向的巨大改變，產(chǎn)生完全不同的曲曲折折的運動路徑。角度有小 小的偏差就將使得本該與某分子碰撞而錯過了機會。對于這類系統(tǒng)，若要維持決定論，就必 須要求對初始條件的測量誤差完全避免。這顯然不大可能，因而過程實際上是非決定論的。 為了進一步證明這一點，玻恩又討論了三個問題：(1)動力學穩(wěn)定和不穩(wěn)定的區(qū)別；(2)決定 論(determinism)的含義；(3)數(shù)學連續(xù)統(tǒng)(continnum)的意義。進入80年代，玻恩的討論已 被福特和則比黑里大大改進了，但回顧一下玻恩當年的分析還是值得的。 設(shè)x和v分別代表位置向量和速度向量。玻恩定義道，在初始狀態(tài)中小的偏差Δx0、Δv 0在終態(tài)中若僅僅引起小的變化Δx、Δv，則運動是穩(wěn)定的；否則運動是不穩(wěn)定的。上面 提到的分子碰撞系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的，這類系統(tǒng)顯然很多。那么行星運動是否穩(wěn)定呢?玻恩提 到了三體理論和多體問題。他說：“我不曉得現(xiàn)代研究的進展怎樣?！?“關(guān)鍵之處在于 ，存在一些系統(tǒng)(它們可以用作物理過程的模型)，首先它們是空間有界的，其次所有的運動 都是不穩(wěn)定的。容器中具有彈性壁的彈性球形氣體分子模型就是這類系統(tǒng)，但它太復雜了， 難以嚴格研究。”我們知道后來西奈對此嚴格證明了一個定理，證明過程極為復雜。 在闡述動力學不穩(wěn)定性的意義時他說，如果我們希望保留決定論，即初始狀態(tài)決定了所有 其它狀態(tài)，那么我們不得不需要x0、v0的絕對確切值，禁止有任何偏差Δx0、Δv0 。我們可以講“弱”決定性和“強”決定性。后者對應于動力學穩(wěn)定運動，對其預測是實際 可行的，不幸的是這僅僅是例外情形?？疾煲粋€簡單的例子，一個質(zhì)點在兩端有彈性壁的區(qū) 間［0，1］上來回運動，假設(shè)不受任何外來作用。實際情況是，到達某一臨界時間tc=1/ Δv0，不確定性Δx＞1。 于是幾乎可以在區(qū)間［0，1］的任何位置找見質(zhì)點，即質(zhì)點的 最終位置不確定。的確，當Δv0減小時，臨界時間tc增大，但只要Δv0不是無窮小， tc就僅僅是被推遲而已。只有Δv0=0時，tc才變得無窮大。這里已涉及到了連續(xù)統(tǒng)的 測量問題。玻恩正確地指出，類似于“量x有一完全確定的值(用一實數(shù)表示，或用數(shù)學連 續(xù)統(tǒng)的一點表示)”的陳述，“對我來說沒有物理意義”。他贊同布里奇曼(P.W.Bridgman) 的操作主義的方法論。順便一提，郝柏林提出的“自然科學的有限性原則”很類似于這種方 法論。玻恩并無意從物理學中清除實數(shù)概念，“實數(shù)概念對于分析的運用是必不可少的”。 他的意思是，在用實數(shù)描述物理過程時，必須考慮所有觀測中存在的天生的不確定性。玻恩 特別指出，在量子力學中，除了海森伯不確定性外，仍然存在剛才提到的動力學不確定性或 非決定性，否則量子統(tǒng)計力學不會誕生。玻恩的論斷為當今量子渾沌研究打下了伏筆。 布里淵熟悉龐加萊的動力學研究，也看過玻恩的眾多論述，1964年專門寫過一本書《科學的 不確定性與信息》。他從信息論的角度出發(fā)，天才地厘定了數(shù)學與物理科學之間必要的區(qū)別 ，“物理科學”在這里泛指所有經(jīng)驗科學。這種區(qū)分并不困難和費解，但在現(xiàn)在看來的確高 明。數(shù)學馳騁天界，物理則駐足人世。天界并不實存，只是人的構(gòu)想，數(shù)學就處于這樣的地 位。但正因為它是塵世中人的構(gòu)造，它必根植于現(xiàn)實，并抽象地、理想化地反映現(xiàn)實。 布里淵追隨龐加萊和玻恩關(guān)于經(jīng)典力學的看法，關(guān)于測量的極限，他舉過一個很有說服力的 例子。他斷言，我們絕對沒有辦法精確測量比10-15厘米更短的距離，僅僅因為沒有 合適的衡量標準(“尺子”)。如果人們硬要測量10-50厘米左右的距離，唯一可用的 “尺子”是波長與這個距離相當?shù)哪撤N光波或德·布羅意波(λ≈10-50厘米)。 可以估算一下單個量子的能量大約為 〓〓E〖ZK(〗=hυ=hc/λ =6.63×10-34×3×108／10-52 =2×1027(焦爾)。〖JY〗(3.1.4)[ZK)] 這個能量E大得驚人，足以把實驗室炸得粉碎。再利用愛因斯坦的質(zhì)能關(guān)系，可以估算 出瞬間湮滅掉的質(zhì)量為 〓〓〓〓M〖ZK(〗=E/c2 =2×1027/(9×1016) =2×1010(千克) =2000 (萬噸)。〖JY〗(3.1.5)[ZK)] 我們知道，為了進行測量，“尺子”(光波或物質(zhì)波)與物理系統(tǒng)之間的相互作用至少需要一 個這樣的量子，而此量子如此大的能量必然引起一場災難。因此，測量10-50厘米左 右的距離是不可想象的。既然如此，物理學家就不要侈談它!數(shù)學家并不受此限制，他們并 不在乎實際上能測量到何種水平。數(shù)學家可以很好地定義無理數(shù)，但物理學家從未遇見過這 種數(shù)(在嚴格意義上)。布里淵切中要害地說：“翻開一本純數(shù)學書，看一個定理，總會見到 這樣的敘述：給定某些條件A、B、C，假定它們被確切地滿足，則可以嚴格證明結(jié)論Q正確 。物理學家不禁要問，我們怎么知道條件A、B、C已被確切地滿足?” “我們所知道的唯一 東西是，A、B、C可以在一定范圍內(nèi)被近似地滿足。那么，定理證明了什么呢? 或者A、B、C 的很小的誤差可以導致結(jié)果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破壞了Q?！豹б虼宋锢韺W 家不但要看數(shù)學定理“形式上”說了些什么，還要了解“定理的穩(wěn)定性”狀況。 在《科學的不確定性與信息》一書第10章，布里淵討論了“經(jīng)典力學中不確定性的實例”， 開篇就引用龐加萊《天體力學的新方法》第1卷中的著名定理(詳見上節(jié))，并闡述它的意義 。他認為，對于多數(shù)保守的經(jīng)典力學系統(tǒng)，在用哈密頓雅可比方法表示中，除了能量積分 外不存在其它任何解析的、一致的積分這一結(jié)論，對應于實際的不穩(wěn)定性，將導致不確定 性。 當時已有了KAM定理(1954年首次提出KAM定理，60年代初給出嚴格證明)，他可能還不知 道。不過，他的討論在定性上與KAM定理一致。布里淵特別強調(diào)數(shù)學討論是一回事，物理學 事實是另一回事。在用哈密頓雅可比方法討論時，總是假定規(guī)律已知，初始條件完全給定 ，運動軌跡是單一的無厚度的數(shù)學曲線，涉及共振時采用數(shù)論區(qū)分一下“通約性”，把問題 進一步區(qū)分為“一般的”和“退化的”。而在物理學家看來，初始條件沒有“給定”，運動 定律也不確切知道?！盁o理數(shù)”和“可通約性”都不是物理概念；物理上不可能研究單個數(shù) 學軌道的性質(zhì)，物理學家只知道“軌道叢”。布里淵在書中還提到波萊爾在1944年作出的類 似見解及其關(guān)于不可預測性的估算。 〖DM(〗3.2〓由歐洲大陸到美國：莫爾斯與伯克霍夫的杰出工作〖DM)〗 [HS3]〓〓〖HTH〗〖STHZ〗3.2〖STBZ〗〓由歐洲大陸到美國：莫爾斯與伯克霍夫的杰出工 作〖ML〗 〖HTSS〗 眾所周知，現(xiàn)代科學的中心在世紀之交由歐洲舊大陸轉(zhuǎn)移到了美洲新大陸。由阿達馬、龐加 萊開創(chuàng)的法國動力系統(tǒng)研究傳統(tǒng)也傳到了美國，并在美國生根，最終結(jié)出豐碩的果實，令整 個世界為之驚嘆。 1921年美國哈佛大學數(shù)學家莫爾斯(Harold Marston Morse,1892-1977)在《美國數(shù)學協(xié)會匯 報》上發(fā)表重要論文“負曲率曲面上的回復測地流”(論文寫于1917年)，［１１］全 面論述了阿達馬(1898年)、伯克霍夫(1912年)和他本人(1920年)對“測地流”的研究。在文 章的導言里他特別強調(diào)，該文證明存在“〖ZZ(Q〗不連續(xù)型的回復性測地流〖ZZ)〗”(recu rrent geodesics of the discontinuous type，莫爾斯說這個詞組是伯克霍夫給出的)。這 種“不連續(xù)”流就是當今的渾沌曲線。如果要指出歷史上誰最先發(fā)現(xiàn)渾沌的話，莫爾斯肯定 要劃入考慮的人選之一。遺憾的是現(xiàn)在人們差不多把他忘記了。 我們仔細讀了莫爾斯的論文，還發(fā)現(xiàn)他很自然地把“有序符號集合”與“流”(運動系統(tǒng)的 運動)對應起來。他已經(jīng)相當自如地使用了“符號動力學”方法，而符號動力學被認為是研 究渾沌的少有的、最嚴格的工具之一。在第14小節(jié)里，莫爾斯在一個引理中嚴格構(gòu)造了一個 “非周期回復性測地流”：〖ZZ(Q〗存在由符號“1”和“2”組成的無窮集合，它構(gòu)成一個 非周期的回復集合〖ZZ)〗(The exists an unending set of symbols each of which is e ither 1 or 2, which forms a set that is recurrent without being periodic.)。 令n是正整數(shù)，引入下述定義： 〓〓a0=1,〓b0=2, 〓〓a1=a0b0,〓b1=b0a0， ……[JY](3.2.1) 〓〓an+1=anbn,〓bn+1=bnan. 可以看出，an若展成a0和b0，有2n項。設(shè)符號序列d0d1d2d3d4…d 2n-1表示an的展開式(有2n項)。現(xiàn)在考慮無限序列 〓〓… d-2d-1d0d1d2 … .[JY](3.2.2) 上式的右半部分含義已經(jīng)清楚了，只需把n推廣到無限即可。左半部分可定義為：d-m =dm-1(其中m為正整數(shù))?？梢宰C明(3.2.2)式所定義的集合是回復的且沒有周期性 。由d0開始的(3.2.2)式一部分可以確切寫作： 〓1221〓2112〓2112〓1221〓2112〓1221…〖JY〗(3.2.3) 周期運動是回復運動，這是毫無疑問的，那么是否存在非周期的回復運動呢?如果存在，則 它必是一種非常奇特的運動，長期以來人們并未注意到這種可能性。莫爾斯所舉的實例有力 地回答了這個問題。莫爾斯進一步證明，與非閉合(非周期)測地流相對應的有序符號集合的 “勢”(power)，是無窮大的，等于實數(shù)“連續(xù)統(tǒng)”的“勢”。 伯克霍夫是20世紀初少數(shù)幾個認識到龐加萊動力系統(tǒng)研究工作的重要性的人物之一。他仔細 研究過龐加萊的著作，正如數(shù)學家莫爾斯所說，“龐加萊是伯克霍夫的真正老師”，盡管他 并未師從于龐氏(龐氏去世時，伯氏28歲)。伯克霍夫的確不凡，真正繼承并發(fā)展了龐加萊開 創(chuàng)的事業(yè)。美國普林斯頓大學教授魏特曼評論道：“在龐加萊去世后的20幾年里，伯克霍夫 對于龐加萊開辟的動力學研究綱領(lǐng)，做出了最重要的貢獻，這樣講一點不過分?！豹郏?BR> ２］ 伯克霍夫?qū)恿ο到y(tǒng)研究的具體貢獻是多方面的，還需要做許多深入的考察才能作出好的總 結(jié)。首先，他于1913年證明了“龐加萊幾何定理”，名聲大震。不過，對他來說這只是一個 開端。此幾何定理不難理解，但它是其后續(xù)工作的起點。定理說：對于圓環(huán)的一個保面積映 射F，假設(shè)F在外環(huán)上角度增加，在內(nèi)環(huán)上角度減小，則此圓環(huán)內(nèi)至少存在兩個不動點。 這種映射習慣上稱“扭曲映射”(twist mapping)。伯克霍夫研究動力系統(tǒng)是有明確動機的 ，即用以解決經(jīng)典力學中的困難問題。他把龐加萊截面法(由龐加萊和他本人共同發(fā)展的)用 于探索哈密頓系統(tǒng)的一般行為。他發(fā)現(xiàn)微分方程解的性質(zhì)取決于正則級數(shù)的收斂性。如果收 斂，解位于N維不變環(huán)面(torus,復數(shù)tori)上。但是情況卻是，級數(shù)的收斂、發(fā)散與否 取決于振幅的大小。當考慮非線性作用時，橢圓不動點周圍的不變環(huán)面有些遭到破壞，有些 繼續(xù)存在但有點變形。 伯克霍夫花大精力分析不變環(huán)面的“生存”問題，特別是對于兩自由度的哈密頓系統(tǒng)。1932 年他證明，對應于不變環(huán)面的消失，存在不穩(wěn)定區(qū)域。這樣的一個不穩(wěn)定區(qū)可以被一條扭曲 映射下的不變曲線所包攏，但區(qū)域內(nèi)并無環(huán)繞原點的不變曲線。事實上他已證明，任意接近 外邊界的點在映射作用下可以任意接近內(nèi)邊界，反之亦然。 在研究不穩(wěn)定區(qū)結(jié)構(gòu)時他找到了我們今天稱之為“奇怪吸引子”的實例，當時他叫它“奇特 曲線”(remarkable curve)。他讓一個收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線之間的不穩(wěn)定 區(qū)域，結(jié)果不穩(wěn)定區(qū)域被映射到了更小的一個子區(qū)域中去了。此映射的迭代，最終把原區(qū)域 變成了一個面積為零，結(jié)構(gòu)極其復雜的極限集合。位于原區(qū)域中的點的軌跡都收斂到這個集 合中去，結(jié)果展示出我們今天所說的“渾沌行為”，更為不平凡的是，他已意識到這種渾沌 行為是動力系統(tǒng)的通有行為。1922年伯克霍夫在《數(shù)學行傳》([WTHX]Acta Mathmatica[WTB Z])上發(fā)表長達119頁的論文“面變換及其動力學應用”，較詳細地闡述了自己采用映射法對 兩自由度動力系統(tǒng)運動類型的研究。文中指出，他的研究已深深觸及可積性、穩(wěn)定性、各種 運動的分類以及相互關(guān)系等艱難問題。論文的第5章是“回復點群”，與渾沌有密切關(guān)系。 他使用了帶有“recurrent”字樣的一系列術(shù)語，如： 連續(xù)性回復點群(continous recurrent point groups)； 不連續(xù)性回復點群； 不穩(wěn)定的回復點群(unstable recurrent point groups)； 回復性的非周期點群(recurrent nonperiodic point groups)； 不連續(xù)型回復運動(recurrent motions of discontinous type)。 其中所說的“不連續(xù)”情形正好對應于今日廣泛研究的“渾沌”。這里的“連續(xù)”是從集合 的“連通性”來定義的，與直觀的理解不同，這是需要特別注意的。設(shè)Σ表示任意完備 點群集合的閉包，連續(xù)性的含義如下：對于Σ中的一點P，若Σ中所有充分接近P的點通過 Σ連通于P，則P是連續(xù)型的，反之P是不連續(xù)型的。最后，伯克霍夫把動力系統(tǒng)運動的類 型按由簡單到復雜順序劃分出7個大的類型，在現(xiàn)在看來也是相當高明的，值得轉(zhuǎn)述出來。 這7個類型是：［１３］ (1)通常的周期運動；雙周期運動(可通過兩個自變量的收斂三角級數(shù)解析表示)；三周 期運動(可通過三個自變量的收斂三角級數(shù)解析表示)； (2)漸近于雙曲型周期運動的運動；漸近于橢圓型周期運動的運動；漸近于(1)和(2)中 提到的運動的運動； (3)雙周期或三周期型回復運動(不可能用收斂三角級數(shù)表示)； (4)不連續(xù)型回復運動； (5)漸近于上述這些回復運動的運動(或漸近于同胚回復運動集合的運動)； (6)特殊的運動(即當時間趨于正、負無窮大時，不接近所有相的運動)； (7)一般的運動(general motions)。 這7類實際上還可以進一步約化成3類或4類。他把最復雜的一類運動稱為“一般的運動”， 我們想他是有特別考慮的。由(1)到(7)，除個別特殊的之外(如(6))，運動越來越復雜，“ 測度”越來越大，物理上的“真實性程度”越來越大，數(shù)學上研究的難度也越來越大。數(shù)學 上人們總是先研究周期運動，進而到回復運動、渾沌運動，最后是各種具體的、 與任何一種理想化的運動都不同但利用它們又都可以部分得到解釋的復雜運動。伯克霍夫并 不由此而認為已大功告成，他說，“許多最致命的問題仍然未有答案”，工作的進展很大程 度上取決于能否找到新的解析工具。 伯克霍夫第二個與渾沌有關(guān)的貢獻在于遍歷理論。1931年他和史密斯(P.Smith)共同引進 “度規(guī)傳遞性”(metric transitivity)概念，從而使遍歷理論有了堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，遍歷 問題有了統(tǒng)一的提法，即遍歷性指相平均等于時間平均，等價于度規(guī)傳遞性。與度規(guī)傳遞性 相對應還發(fā)展出拓撲傳遞性(topological transitivity)概念。如今，人們正在采用拓撲傳 遞性來精確定義渾沌，比如迪萬尼(R.L.Devaney,1948-)1986年的定義(見3.10節(jié))。 〖DM(〗3.3〓受迫范德坡方程：從物理現(xiàn)象到KLL的數(shù)學定理〖DM)〗 [HS3]〓〓〖HTH〗〖WTBZ〗〖STHZ〗3.3〓受迫范德坡方程：從物理現(xiàn)象到CLL的數(shù)學定理 〖HTSS〗〖STBZ〗〖WTBZ〗〖ML〗 早在本世紀20年代，德國物理學家范德坡(Balth.von der Pol)就已開始研究非線性電路的 弛豫振蕩(relaxation oscillations)問題，得出以他的名字命名的范德坡方程及受迫范德 坡方程。1927年范德坡與范德馬克發(fā)現(xiàn)了著名的“分頻”現(xiàn)象，論文刊登在英國的《自然》 雜志上，題目是“頻分”(Frequency Demultiplication)，［１４］全文包括兩個插 圖，一共只占了不到兩頁的篇幅(其實合起來正好是一頁!)。然而他們在這里卻報告了科學 史上的一個重大發(fā)現(xiàn)，半個世紀后的70年代中、后期，數(shù)學家們在研究一維的邏輯斯蒂映射 時以無比激動的心情再次發(fā)現(xiàn)類似現(xiàn)象。所不同的除了時間相差50年外，還有兩個方面：(1 ) 20年代時的順序是由物理到數(shù)學，70年代時是由數(shù)學到物理，盡管在兩個時代那些科學“ 團伙”對于物理和數(shù)學都有興趣；(2)20年代時的研究只是個別“先知”人物進行的，論文 發(fā)表后也未引起強烈反響，70年代后期則不然，結(jié)果一經(jīng)報導，不用振臂高呼，應者已云集 矣。 “頻分”一文對后來的渾沌學研究有兩個貢獻。第一，在物理系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了倍周期分岔。論 文明確指出，對于由電阻(在實驗中可用一只二級管代替)、可變電容、激勵源組成的非線電 路，當策動項為E0sinω[KG*6]t時，系統(tǒng)產(chǎn)生倍頻2ω、3ω等并不奇怪，這已是 人們熟知的事實。但是，他們發(fā)現(xiàn)，適當設(shè)計的此類電路還能產(chǎn)生分頻現(xiàn)象，比如系統(tǒng)可以 出現(xiàn)ω/2、ω/3、ω/4以及ω/40分頻，這是人們以前不知道的。分頻過程進行的結(jié)果是出 現(xiàn)“不規(guī)則噪聲”，即渾沌。第二，首次繪出“魔鬼階梯”圖象。范德坡和范德馬克測試了 響應頻率與電容值的關(guān)系，以測試到的時間周期T為縱軸，以可變電容值C為橫軸，繪出 了寬度參差不齊的階梯狀圖象。70年代末、80年初以來，人們在許多不同領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了同樣類 型的魔鬼階梯，可以統(tǒng)一用分形(fractal)等理論研究階梯的結(jié)構(gòu)。 英國數(shù)學家卡特萊特(女)和李特爾伍德(簡稱CL)1945年在《倫敦數(shù)學協(xié)會雜志》上發(fā)表論文 ，［１５］報告了他們對受迫范德坡方程研究的一些重要結(jié)果。論文在腳注中提到了 1927年范德坡和范德馬克在《自然》雜志上的文章。CL研究這些方程的動機在于，他們看到 了1938年科學與工業(yè)研究學部(DSIR)的無線電處(RS)所提交的一份備忘錄。［１６］ 備忘錄呼吁純數(shù)學家伸出援助之手，幫助解決某些電路中出現(xiàn)的困難問題，如確定可能的定 態(tài)(或穩(wěn)定振蕩)與頻率，并搞清頻率如何隨參數(shù)而變化。CL的興趣被喚起，于是花了大量時 間研究受迫振動。CL所研究的方程為 〓〓〖SX(〗d2x[]dt2[SX)]+k(x2-1)[SX(]dx[]dt[SX)]+x=bλkc os(λt),[JY](3.3.1) 其中k，λ和b為參數(shù)。當b=0時系統(tǒng)為非耦合的，參數(shù)k可以引起弛豫振蕩。兩位數(shù)學家的 高明之處在于沒有直接去解這個方程(也解不出來!)，當時也沒有實用的計算機，不可能象 今天這樣方便地采用數(shù)值計算，卻得出了非常深刻的結(jié)論。當然在現(xiàn)在看來論文中有些部分 寫得不夠簡練，或者不能切中要害。 論文在第一部分的結(jié)尾指出，從一般拓撲理論來看，極限集合K除了不動點、周期軌線，確 實還有其它可能性，即存在非?！皦摹钡那€，必須仔細研究。注意，原文中“bad”是 加了引號的，伯克霍夫1932年就用過“bad curve”這樣的描述語。在第三部分中指出， 當參數(shù)b處于某個區(qū)間時，存在由無窮多個周期構(gòu)成的集合Σ，此外還有一種集合X，它由非 周期的極限軌線構(gòu)成，具有連續(xù)統(tǒng)的勢。作者已認識到這就是伯克霍夫所說的“不連續(xù)型回 復運動”。 CL證明了當b屬于不同區(qū)間時，方程(3.3.1)的解具有不同的性質(zhì)。當b＞2/3時，所有解都 趨于穩(wěn)定的極限環(huán)；較有趣的是當0＜b＜2/3時，解的性態(tài)很復雜，可以把(0，2/3)開區(qū)間 分出兩類小的開區(qū)間來討論。兩類小區(qū)間是Ai和Bi(i=1,2,… )，它們分別被一些小的 間隙Gi所分隔。 (1)當b∈Ai時，存在一對周期解，一個穩(wěn)定一個不穩(wěn)定，它們的周期是(2ni±1)T，T 是策動力的周期。 (2)當b∈Bi時，存在三類軌線：1)存在一對穩(wěn)定的周期解，周期為(2ni±1)T；2)存在 周期為T的不穩(wěn)定極限環(huán)；3)存在解的一個“渾沌族”F (杰克遜的用語)，F(xiàn)的性質(zhì)見下文。 CL是熟悉伯克霍夫等人所做的先驅(qū)工作的，上述論文提到伯氏1922年、1927年和1932年的文 章和專著。另外還提到萊溫松(簡稱L)1945年的論文。 萊溫松在CL工作的基礎(chǔ)上研究了受迫范德坡方程，1949年他在《數(shù)學年刊》上發(fā)表論文“具 有奇異解的二階微分方程”。［１７］開篇就說，CL得出驚人的結(jié)果，但只給出了所 用方法的框架。他將討論如下方程 〓〓[SX(]d2y[]dt2[SX)]+p(y)[SX(]dy[]dt[SX)]+y=csint [JY ](3.3.2) 其中p(y)是y的多項式，c為常數(shù)。為了研究方便，他分析的是(3.3.1)的等價形式 〓〓ε[SX(]d2x[]dt2[SX)]+φ(x)[SX(]dx[]dt[SX)]+εx=bsin t [JY](3.3.3) 其中ε＞0，是小的常數(shù)，φ(x)的取值情況為 〓〓φ(x)=1, 當｜x｜＞1時；[JY](3.3.4) 〓〓φ(x)=-1, 當｜x｜＜1時。[JY](3.3.5) 其中b也是常數(shù)，取值范圍是(0，1)。萊溫松認為(3.3.2)式或(3.3.3)式比CL研究的( 3.3.1)式要簡單，但能出現(xiàn)同樣的奇異行為：方程(3.3.2)或(3.3.3)存在一個具有奇 異性的解族F。 他的研究方法是考察解曲線穿過x=±1截面的情況，即對t進行分類，分出“ 偶截點”和“奇截點”。設(shè)x(t)為解族F中一個解，x(t)從其最大值(約為3，每次是不同的) 遞減并首次穿過x=1截面的截點記為“偶截點”，從其最小值(約為-3，每次是不同的)遞增 并首次穿過x=-1截面的截點記為“奇截點”。隨著t增加，解曲線一次又一次從不同方向交 替地穿越x=1截面和x=-1截面。這樣，由所有偶截點形成一些小的區(qū)間，設(shè)其中的一個用M表 示，M=τ (mod2π)，τ＜τ1＜0.1，稱之為偶基區(qū)間(even base interval)； 所有奇截點也形成一些小的區(qū)間，其中的一個可用N表示，N=π+τ (mod2π)，τ＜τ 1＜0.1，稱之為奇基區(qū)間(odd ～)。 L經(jīng)過復雜的論證，得出結(jié)論：對于適當選擇的參數(shù)b，由一個奇基區(qū)間(比如說N)出發(fā)的 一族解曲線，在方程(3.3.2)的作用下，先增加然后減小，最后被映射到偶基區(qū)間上。要點 是，對于不同的初始值，映射后所落入的偶基區(qū)間可能有兩個，一個離N較近，一個離N較遠 ，更準確地說一個區(qū)間始于(2n-1)π，另一個區(qū)間始于(2n+1)π，這里n是某個正整數(shù)，只 由b和ε決定。 N中的一個點究竟被映射到哪一個偶基區(qū)間雖然是確定的，但非常不好判 斷。對于由偶基區(qū)間出發(fā)的解族，有類似的結(jié)論。上述論證顯然可以適用于未來所有時間的 解曲線演化。由奇基區(qū)間出發(fā)的軌道在演化中被移位到了(2n-1)π或(2n+1)π(可以分 別簡記為0和1)，這樣，任一軌道都對應于一條由“0”和“1”構(gòu)成的序列。反過來看，任 取一條由0和1組成的序列，也都能找到一條軌道與之對應。軌道的演化相當于伯努利移位。 由此可得出結(jié)論：存在解的一個渾沌族F，F(xiàn)具有連續(xù)統(tǒng)的勢，F(xiàn)之中還有一些是不穩(wěn)定的 周期軌道。由伯努利序列的周期性還不能立即得到軌道的周期性。還需要證明一種“連續(xù)性 ”，即當初始條件連續(xù)改變時，映射后的點也連續(xù)跨過相應的區(qū)間。L證明了這種連續(xù) 性，因而證明存在周期軌道。這些周期軌因為鑲嵌在渾沌族F中，小的攝動就可以使軌道喪 失周期性，因而它們是不穩(wěn)定的。 L文章另一個出色工作是，證明方程的多數(shù)軌道都“收斂”于解族F，這是一個關(guān)鍵，如 果在相空間中解很快就遠離F，那么F在實際物理過程中不起什么作用。L最終找到一個 奇特的集合K0，其中FK0。 若T是龐加萊映射，則K0在T作用下不變。K0是具有0 面積的閉集。K0中包含兩個穩(wěn)定極限環(huán)，在龐氏截面上分別對應于(2n-1)和(2n+1)個點。 除了單個不穩(wěn)定不動點外，K0是一個“吸引”集合。由于它包含了F，K0又是“奇怪” 集合。合起來K0就是后來所說的“奇怪吸引子”! K0中的點也恰好是伯克霍夫定義的 “不連續(xù)型回復點群”。 大數(shù)學家斯美爾受CLL文章的影響，于1959年抽象出“馬蹄”概念。［１８］如今馬 蹄已成了出現(xiàn)渾沌的重要判據(jù)。 〖DM(〗3.4〓近可積保守系統(tǒng)的一般行為〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.4〓近可積保守系統(tǒng)的一般行為〖STBZ〗〖HTSS〗〖ML〗 保守經(jīng)典力學中真正可解的可積問題并不多，但許多情況可用攝動理論圓滿地處理。在天體 力學中，攝動理論發(fā)展得尤為成熟。比如要計算太陽系行星繞太陽運行的軌道，用攝動理論 考察1000年內(nèi)的行為，不會產(chǎn)生根本性的困難。龐加萊的《天體力學的新方法》討論了各種 各樣的攝動方法，是攝動理論的一個光輝的典范。但是要想確知系統(tǒng)的長期的、定性的行為 特征，攝動理論就不靈了。因為隨著時間的增加，擾動量可以累積到很大，足以產(chǎn)生定性性 質(zhì)的變化。比如說，行星可能落到太陽上，可能逃離太陽系，也可能彼此相撞。而且非常長 的時間后，運動方程的解的行為，也許并不能很好地說明真正的運動過程，因為在幾百萬年 的間隔里，非保守的效應可能變得更加重要。人們真正感興趣的是時間比較長，但不是無限 長的情況。采用計算機數(shù)值模擬是必然的選擇，但也有一定的局限性，它并不是十分嚴格的 方法。 攝動方法遇到的一個致命問題是級數(shù)的斂散性問題。一旦級數(shù)發(fā)散，整體上就不知道運動的 長期行為如何。級數(shù)發(fā)散性問題也叫“小分母”問題。當未攝動時的頻率可通約時，對應于 精確共振，有些級數(shù)的分母為0，對應的項為無窮大。在接近共振處，級數(shù)的這些項也很大 。小分母問題是本質(zhì)性的，因為有理數(shù)集合是稠密集，在一個未擾動問題的相空間里，滿足 共振條件的初始值，構(gòu)成一稠密集合，因而使小分母為0的初始值形成稠密集合。于是由攝 動理論的級數(shù)給出的函數(shù)含有的奇點數(shù)構(gòu)成稠集。而且事情并不僅限于天體力學，凡涉及近 可積的問題都面臨著同一個困難。龐加萊自己稱研究條件周期運動的攝動是“動力學的基本 問題”。 用作用角度變量表示的哈密頓函數(shù)經(jīng)過某種變換，若能化成只依賴于作用變量，與角度變 量無關(guān)，即 〓〓H(I,φ)=K(I)[JY](3.4.1) 則系統(tǒng)是可積的。設(shè)初值為I0,φ0∈[WTHX]R[WTBZ]N, 則方程的解可立即求 出為 〓〓Ik(t)=I0k;〓φk(t)=ωkt+φ0k〓(k=1,…，N)[JY](3.4.2) 如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統(tǒng)是不可積的。事實上，對于 多數(shù)保守系統(tǒng)，無法找到這樣的(正則)變換，因而是不可積的。直觀上容易理解這一點， 因為一旦找到這樣的正則變換，就意味著系統(tǒng)的行為可以化簡，歸約為N維環(huán)面上的條 件周期(conditionally periodic)運動。條件周期運動包括周期運動和準周期(quasiperi odic)運動。設(shè)N個自由度近可積攝動系統(tǒng)的哈密頓量是 〓〓H=H0+εH1(I,φ),〓ε1,[JY](3.4.3) I和φ是作用變量和角度變量，H0是未攝動時的哈密頓量，εH1是小的擾動(攝動)， 它為角變量φ1,…，φn的2π周期函數(shù)。哈密頓方程為 〓〓〖AKI·〗k=-〖SX(〗οH〖〗οφk〖SX)〗； 〖AKφ·〗k=〖SX(〗ο H〖〗οIk〖SX)〗〓(k=1,…，N) [JY](3.4.4) 近可積意味著ε很小，且在一定條件下可以保證有關(guān)的級數(shù)收斂。著名的KAM定理就是 關(guān)于近可積系統(tǒng)的一個重要的、一般性的結(jié)論。此定理是自牛頓以來物理學、數(shù)學領(lǐng)域最大 的突破之一，有十分重要的意義。KAM指證明此定理的三個人，K是柯爾莫哥洛夫，B是前者 的大弟子阿諾德(В．Я．Арнолд, V.I.Arnold或Arnold，1937- ），C是莫澤(J. Moser,1928-)。1954年在阿姆斯特丹舉行的國際數(shù)學會議上，K宣讀了論文“在具有小改變 量的哈密頓函數(shù)中條件周期運動的保持性”，［１９］正是在這篇簡短的論文里，K 提出了最早形式的KAM定理，后來A(1961，1963)和M(1962，1966)嚴格證明了此定理。根據(jù) 阿諾德(1974，1978，1989)，［２０］KAM定理的非形式化敘述為： 〖ZZ(Q〗〖WTHZ〗KAM定理〖WTBZ〗〖ZZ)〗〓如果一個未攝動的系統(tǒng)是非退化的，則對于 充分小的保守哈密頓攝動，多數(shù)非共振不變環(huán)面不消失，只是有輕微變形，以致于在攝動了 的系統(tǒng)相空間中仍然有不變環(huán)面，它們被相曲線稠密地充滿著，相曲線條件周期地環(huán)繞著環(huán) 面。環(huán)面的獨立頻率的個數(shù)等于自由度的數(shù)目。當攝動很小時，這些環(huán)面的測度很大，而它 們的并集的補集的測度很小。 KAM定理的比較形式化的敘述為：［２１］ 令Q是〖WTHX〗R〖WTBX〗N〖WTBZ〗的一個開集，令H(I，φ，ε)是(I，φ，ε)的實 解析函數(shù)，對于所有I∈Q,0≤φ≤2π,和接近ε=0的ε。再假設(shè)H(I，φ，ε)是φ1，… ，φN的2π周期函數(shù)，并且H0(I)≡H(I,φ,0)獨立于φ。進一步假定對于所有I∈Q , 〓〓[JB(｜]〖SX(〗ο2H0(I)[]οIkοIl〖SX)〗[JB)｜]≠0[JY](3.4. 5) 并且對應的頻率ω(I)≡οH0/οI滿足｜k·ω｜≥C｜k｜-N，對于所有整向 量｜k｜=｜k1｜+…+｜kN｜≥1. 則對于充分小的ε，方程 〓〓 H=H0+εH1(I,φ)[JY](3.4.6) 在不變環(huán)面上存在解，不變環(huán)面的定義為 〓〓 φ′=φ+F(φ，ε)，[JY](3.4.7) 〓〓I′=I+G(φ，ε)，[JY](3.4.8) 其中F和G是φ和ε的實解析函數(shù)，并且是φ1，…，φN的2π周期函數(shù)，當ε=0時二 者都為0。 進而，在這些環(huán)面上的流滿足于 〓〓〖AKφ·〗k=ωk≡〖SX(〗οH0〖〗οIk〖SX)〗〓(k=1,…，N).[JY]( 3.4.9) 最后，當ε→0時，位于這些不變環(huán)面上的、能量面上的狀態(tài)的測度，趨于1。換句話說， 對于充分小的ε，不變環(huán)面上的狀態(tài)的測度很大。 總括起來看，KAM定理有三個條件：(1)H解析；(2)系統(tǒng)非退化，并且離開共振一定距離 ；(3)擾動ε足夠小。正如上面所見，每一條都有明確的數(shù)學含義。后來證明，其中第一 條的“解析”要求過強，可以用一定程度的“可微性”來代替，定理仍成立。 自覺運用KAM定理是后來的事，在70年代以前很少有人曉得它。不過時代的發(fā)展已到了必須 尋找和使用這樣的理論的時候了。1964年法國天文學家埃農(nóng)和他的學生海爾斯通過計算機數(shù) 值計算，作出了重要發(fā)現(xiàn)。論文發(fā)表在《天體物理學雜志》上，題目為“第三運動積分的適 用性：一些數(shù)值實驗”。［２２］他們研究問題的出發(fā)點是，出于天文學的考慮，對 于某個 哈密頓系統(tǒng)，尋找可能存在的第三個孤立、光滑、整體運動積分。已經(jīng)知道第一個積分是哈 密頓量本身，相當于能量；第二個積分是角動量。一個系統(tǒng)存在的整體積分越多，運動受到 的約束越多，規(guī)則性也就越強。因此能否找到新的運動積分不變量，是天文學中一直有人在 研究的問題，前文已提到龐加萊早已從定性上研究清楚，對于多數(shù)不可積系統(tǒng)，除了能量積 分外不存在其它的不變積分。那么，由可積到不可積，系統(tǒng)的行為是不是截然過渡的昵?回 答是二者有本質(zhì)的不同，但二者又是有密切聯(lián)系。傳統(tǒng)攝動理論正是靠著這種聯(lián)系才獲得諸 多成功的，但也正是由于過分依賴于這種一定范圍內(nèi)的有限的聯(lián)系而失去威力的。在似是而 非的情況下，KAM定理起到了原則性的廓清作用。在科學史上，理論與實踐交叉發(fā)展，不斷 碰撞，生根、開花以至結(jié)果，再在新的水平上交替前進，循環(huán)往復以至無窮。 埃農(nóng)與海爾斯研究的哈密頓系統(tǒng)為 〓〓H=[SX(]1[]2[SX)](p21+p22)+[SX(]1[]2[SX)](q21+q22+2q21q 2-[SX(]2[]3[SX)]q32)[JY](3.4.10) 此系統(tǒng)的勢函數(shù)具有三角對稱性，用極坐標表示，勢函數(shù)為 〓〓V=[SX(]1[]2[SX)]r2+[SX(]1[]3[SX)]r3 sin3θ， 〓〓q1=r cosθ,q2=r sinθ.〖JY〗(3.4.11) 在(q1,q2)平面上，系統(tǒng)的等勢面當V=1/6時，是一正三角形，在此三角形內(nèi)等勢面是 一系列同心的圓環(huán)。正三角形的邊是“勢脊”，當能量小于V=1/6,三角形內(nèi)的運動是有界的 ；當能量大于V=1/6，若運動始于三角形之外，則運動是無界的，將沿“勢谷”跑向無窮遠 。埃農(nóng)和海爾斯取q1=0作為龐加萊截面，考察截面上的映射(取p1＞0)。研究的方法是 ，取不同的能量水平，分別在(q2,p2)面上觀察計算機運算所投下的狀態(tài)點的分布。當 能量為E=V=1/12時，所有點都位于一條光滑曲線上。能量稍增加一些，曲線變得復雜起來。 當能量E=0.125＜1/6時，奇跡發(fā)生了，雖然此時能量還低于逃逸能量E=V=1/6=0.167， 但出 現(xiàn)了新的現(xiàn)象：有些軌線仍然位于光滑曲線(實際上是曲面!)上，而另外一些軌線則似乎是 無規(guī)則地運動。而且這些似乎隨意分布的點竟是一條軌線生成的。這種現(xiàn)象表明除了H之 外，系統(tǒng)并不存在新的光滑整體運動積分。由計算機作出的圖上可看出，一些小的由圓環(huán)包 圍著的“島嶼”，對應于低能水平時的規(guī)則行為，這些“島嶼鏈”很象海上的環(huán)礁，每一組 實際上都是由單條軌線在映射過程中生成的。埃農(nóng)和海爾斯發(fā)現(xiàn)了多組島數(shù)不同的島嶼。當 島數(shù)增加時，島嶼的尺度迅速減小。當能量為0.1667(剛好小于逃逸能量E=1/6=0.167) ，由無規(guī)軌線構(gòu)成的“渾沌?！辈畈欢喟阉袓u嶼和其上的環(huán)礁都淹沒掉了。 采用KAM定理，可以很好地理解上述計算機實驗中出現(xiàn)的一系列現(xiàn)象。所謂的島嶼對應于近 可積哈密頓系統(tǒng)中仍然保持下來、但有稍許變形的KAM環(huán)面的二維投影(也可簡稱KAM環(huán)面)。 能量增大，相當于KAM定理中的小擾動ε逐步增加，系統(tǒng)由近可積(當然也是一種不可積 )到更加不可積方向的發(fā)展。不過當時埃農(nóng)他們也許還不知道KAM定理。到了1969年，沃爾克 (G.H.Walker)與福特合著“保守非線性振子系統(tǒng)的振幅不穩(wěn)定性與遍歷行為”一文，［ ２３］才成功地利用KAM定理解釋這些計算機實驗結(jié)果。特別值得指出的是，福特熟悉蘇 聯(lián)科學家的研究狀況，對KAM定理意義的認識明顯早于其他人。在1969年這篇論文里，他們 已把KAM定理與龐加萊定理、統(tǒng)計物理學的基礎(chǔ)、簡單非線性系統(tǒng)中復雜性的起源、埃農(nóng)和 海爾斯實驗、FPU實驗等等聯(lián)系在一起進行思考，顯示了驚人的科學悟性。 在KAM定理首次提出的同時，在美國的洛斯阿拉莫斯，F(xiàn)PU所作的計算機實驗也遇到了奇特的 現(xiàn)象(1952年開始，1955年完成第一篇研究報告，提交報告時費米已去世)，［２４］ 二者有密切聯(lián)系，但彼此都不知道對方的工作。這里F指大名鼎鼎的費米(E.Fermi)，P指帕 斯塔(J.Pasta)，U指烏拉姆(S.M.Ulam)。他們的發(fā)現(xiàn)后來一般稱“FPU現(xiàn)象”。二戰(zhàn)后費米 對當時剛剛使用的電子計算機產(chǎn)生濃厚興趣，他與烏拉姆等經(jīng)常討論用計算機可以做哪些物 理學研究工作。因為許多非線性問題不容易求出解析解，或者根本就不存在解析解，采用計 算機可以做些數(shù)值模擬。當時的機器是“MANIAC I”機，比起今日的計算機要笨重得多、速 度慢得多。不過在那時它已屬于最高級的東西了。 FPU所設(shè)計的實驗直接與費米長期以來對統(tǒng)計力學基礎(chǔ)的研究有關(guān)。1923年費米就根據(jù)龐加 萊定理證明了費米定理，他認為多數(shù)攝動系統(tǒng)應當是遍歷的，這也是統(tǒng)計物理學所要求的。 然而他實際上引入了不正確的光滑性假設(shè)。他誤以為相空間兩個不變集之間的分界線是光滑 的運動積分曲線。［２５］所以在做FPU實驗之前，他覺得已從理論上證明了非線性 不可積系統(tǒng)的遍歷性，做這個計算機實驗，不過是驗證一下理論而已。然而實驗結(jié)果是出人 意料的。他們并未觀察到所期望的“能均分性”、“混合性”、“遍歷性”、“熱力學化” 。費米稱此為“一個小的發(fā)現(xiàn)”。 現(xiàn)在看來，F(xiàn)PU試圖觀測到系統(tǒng)弛豫到平衡態(tài)的不可逆過 程，然而所依據(jù)的卻是可逆的動力學方程。從邏輯上看這也是不大可能做到的(可是在科學 史上一直有人在做這種似乎勞而無功的嘗試。當然，不能簡單地認為他們過分固執(zhí)，愚蠢到 了極點)。如果僅從可逆的動力學定律出發(fā)，考慮保守的哈密頓系統(tǒng)，必然遇到KAM定理所刻 劃的圖象：有序不變環(huán)面與隨機的渾沌海洋共存于一體，二者的測度可在很大范圍內(nèi)變動。 KAM定理一般地描繪了復雜系統(tǒng)的大致圖景，從此經(jīng)典力學進入了一個新階段，有了KAM定理 ，人們就好象在黑暗中擁有了引路的明燈。 〖DM(〗3.5〓同宿軌道與斯美爾馬蹄〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.5〓同宿軌道與斯美爾馬蹄[STBZ][HTSS]〖ML〗 同宿運動最早是在保守系統(tǒng)中引入的，但它同樣適合于耗散系統(tǒng)。在今日渾沌研究中，尋找 橫截同宿點(軌道)已成為發(fā)現(xiàn)渾沌運動的一種最嚴格的方法，甚至在一維邏輯斯蒂映射里 也能找到同宿軌道?！巴蕖币辉~是龐加萊在《天體力學的新方法》中引進的，用 以說明動力學系統(tǒng)相空間的復雜結(jié)構(gòu)。“同宿”，顧名思義，指軌道在演化中有共同的歸宿 。雙曲不動點的不變流形可以分解出穩(wěn)定流形Ws和不穩(wěn)定流形Wu，在不動點附近，當 時間增加時，位于不穩(wěn)定流形上的點，一般來說不斷遠離此雙曲不動點。但當時間趨于無窮 大時(t→+∞)，此不穩(wěn)定流形也可以返回來，又成為雙曲點的穩(wěn)定流形。這樣此雙曲點就 成了流形的共同的歸宿，叫作同宿點(homoclinic point)。這是一種特殊的同宿點，較普通 的是，同一或同一類雙曲點的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形相交(又有“相切”和“交叉”(橫截) 兩種)，交點就是一個同宿點。 有趣的是，〖ZZ(Q〗有一個橫截同宿點則必有無窮多個同宿點〖ZZ)〗。因為同宿點在映射 或流的作用下，依然能生成軌道，此軌道叫同宿軌道(不是物理上的真實軌道!)，它由同宿 點組成。顯然每一個同宿點都在雙曲點的不變流形上，因而同宿軌道在映射或流的作用下是 不變的。應當注意的是，單純有同宿軌道還不足以證明系統(tǒng)的復雜的動力學行為，同宿軌道 的直接含義是形成一個邊界線，把定性上不同的運動分離開。只有當簡單的閉合的同宿軌道 受到攝動時，才出現(xiàn)復雜現(xiàn)象：分界線不閉合，不是簡單的曲線，使得定性上不同的運動犬 牙交錯，這時候出現(xiàn)了橫截同宿點和同宿分岔(homoclinic bifurcation)。因此橫截性(tra nsversality)是十分關(guān)鍵的。 當年龐加萊正是通過橫截同宿點(軌道)洞悉了動力系統(tǒng)的復雜性。在雙曲點附近，同宿軌道 來回穿梭，形成縱橫交錯的相圖，連接兩個不同雙曲點的分界線(separatrices)在強攝動系 統(tǒng)里不再是簡單的光滑曲線，分界線發(fā)生分裂(splitting)。在當時的條件下，還沒有數(shù)值 計算機，還不能象今天這樣容易地畫出來，當時能在頭腦中構(gòu)想出這幅圖象實屬不易。龐加 萊1894年說道，分界線的“橫截形成了一種具有無窮精細網(wǎng)絡(luò)的格子、組織或格柵的形狀。 兩條曲線中任何一支自身都不會相交，但它們又必須以很復雜的方式彎曲回來，無窮多次地 對直穿過格柵中所有的網(wǎng)格。人們必驚詫于這幅圖象的復雜性，我甚至不便于把它畫出來(O ne will be struck by the complexity of this figure, which I shall not even attem pt to draw)?！豹郏玻叮莳?BR> 在現(xiàn)代微分動力系統(tǒng)理論以及整體分析(global analysis)中，同宿點(軌道)是其中重要 的研究內(nèi)容之一，只要翻看斯美爾、古根海姆(J.Guckenheimer)和霍姆斯(P.Holmes)、韋金 斯(Stephen Wiggins)、紐豪斯(Sheldom E.Newhouse)的著作，不難發(fā)現(xiàn)“同宿點(軌道)” 在研究渾沌等復雜問題時的關(guān)鍵性作用。在微分動力系統(tǒng)中同宿點可作如下定義：設(shè)M是 一流形，Diff(M)表示M的所有微分同胚群。f∈Diff(M)的一個同宿點是橫截點x∈W s(p)∩Ws(q)。 其中p和q是同一類的、同一個周期的雙曲點(p可以等于q)。如果p和q是 不同類的雙曲點，則x是異宿點(heteroclinic point)。同宿點與下文的移位自同構(gòu)(shif t automorphisms)有密切聯(lián)系，而斯美爾構(gòu)造的馬蹄對應于一個移位映射。因此尋找渾沌的 步驟是：同宿點→橫截同宿點→馬蹄→數(shù)學渾沌+收縮性→奇怪吸引子→耗散系統(tǒng)的物理渾 沌。正如韋金斯所說，“我們感到，徹底領(lǐng)會斯美爾馬蹄，對于搞清“渾沌”一詞用于特別 的物理系統(tǒng)動力學過程時意味著什么，是絕對必要的?！豹郏玻罚莳?BR> 1956年斯美爾在密執(zhí)安大學完成拓撲學方面的博士論文，那年夏天他首次出席一個國際數(shù)學 會議，在會上結(jié)識了托姆(Rene Thom)和芝加哥大學的兩位研究生希爾茨(Moe Hirsch )與利馬(Elon Lima)。當時托姆來芝加哥大學訪問，斯美爾也開始在那執(zhí)教。斯美爾聽了托 姆關(guān)于橫截理論的講座，托姆和希爾茨也開始對斯美爾的浸入理論產(chǎn)生興趣。當時斯美爾主 要興趣還在于拓撲，對微分方程剛剛開始涉獵。芝加哥大學的帕雷斯(Dick Palais)和斯滕 伯(Shlolmo Sternberg)幫助他了解了動力系統(tǒng)理論。 大約在1958年斯美爾首次遇見皮克索 托(Mauricio Peixoto)。皮氏通過萊弗席茲(Solomon Lefschetz)，正在研究“結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 ”。皮克索托向斯美爾介紹了自己工作。皮克索托見過蘇聯(lián)振動學派主要人物、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性 (粗狀性)概念創(chuàng)始人之一的龐特里亞金(L. Pontryagin)，聽說龐特里亞金不相信二維以上 系統(tǒng)有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。斯美爾得知這一情況，對微分方程很著迷，經(jīng)過一番研究，寫了一篇關(guān) 于莫爾斯不等式的論文。這篇論文導致如今人們熟知的“莫爾斯斯美爾動力系統(tǒng)”(托姆 起的名)。但該文也犯了一個過分樂觀的錯誤?，F(xiàn)在看來多虧有那個錯誤，否則就不會有后 來的斯美爾馬蹄!斯美爾回憶說：“我的過分樂觀引導我在那篇論文里認為，幾乎所有常微 分方程系統(tǒng)都是這樣一些(結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的)系統(tǒng)(構(gòu)成一個開的稠集)!我若是多少熟悉些(龐加萊 、伯克霍夫、卡特賴特李特爾伍德的)文獻，我會發(fā)現(xiàn)這種思想是多么愚蠢?！豹郏?BR> ８］ 1958年夏斯美爾從芝加哥到了普林斯頓高等研究院，皮克索托與利馬邀請他去秘魯?shù)睦锛s完 成第二年的NFS博士后基金項目，1959年12月全家4口到了里約。到里約不久(1960年)，斯美 爾的那篇論文“一個動力系統(tǒng)的莫爾斯不等式”，發(fā)表在《美國數(shù)學學會會刊》上。［ ２９］萊溫松寫信告訴斯美爾，說斯美爾的猜想是錯誤的，并告知自己關(guān)于受迫范德坡方 程的 研究已提供了一個反例。斯美爾當時半信半疑，他花很長時間研究萊溫松的文章，最后確信 萊溫松是對的。由此導致斯美爾在動力系統(tǒng)方面的第二個杰出貢獻：構(gòu)造斯美爾馬蹄。馬蹄 其實是萊溫松、卡特賴特李特爾伍德通過分析發(fā)現(xiàn)的復雜相空間結(jié)構(gòu)的一種幾何化，因而 馬蹄可以完全定性地加以分析，斯美爾證明馬蹄是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的。 馬蹄映射f是對區(qū)域D(不妨假設(shè)為正方形)的一種變換，變換的過程如下：先把D沿垂直方 向均勻拉伸α倍(α＞2)，相應地水平方向收縮為原來的β倍(β＜1/2)。將此矩形折成U 型(即馬蹄形)，再放回原來的區(qū)域D上，所關(guān)心的是重合部分D∩f(D)，不相交部分無關(guān)緊 要。重復上述操作，可以定義D∩f2(D)，D∩f3(D)，…。類似地還可以定義f的逆f- ，以及D∩f-2，D∩f-3，…。從動力系統(tǒng)角度看，重要的是極限集合的特征， 經(jīng)f和f-無限次作用、每次都與D重迭一下能得到無極限集合Λ： 〓〓Λ〖WB〗=Λ-∩Λ+ 〖DW〗=( ∩[DD(]∞[]n=0[DD)] f-n(D)) ∩ ( ∩[DD(]∞[]n=0[DD)] fn(D)) 〖DW〗= ∩[DD(]+∞[]n=-∞[DD)] fn(D)[JY](3.5.1) 其中f0(D)=D. 顯然，ΛD； f(Λ)=Λ，Λ中的點在f作用下展示回復性或非游蕩行為， 那些不屬于Λ但屬于D的點，在f的作用下必跑到D的外面去了，一般不去管它們。所有關(guān)鍵 問題都出在不變集合Λ上。 Λ中的所有點都可以用雙邊無窮符號序列進行非常有效的一一編號。雙邊無窮序列s的一般 形式是 〓〓s={…a-3a-2a-1a0.a+1a+2a+3a+4…} [JY](3.5.2) 其中ai∈P={0,1}, i=0,±1，±2，…。上述類型的雙邊無窮序列唯一確定了Λ中每一點 在D中的位置，ai的值定義為：對于任一點x∈Λ，若fi(x)落在D的上半部，則ai=1, 若落在D的下半部，則為0。這樣序列中“.”右端的符號確定了x點所在的“行”；“.”左 端的符號確定了x點所在的“列”。一旦做到動力學過程的符號表示，f的作用就可以通過考 察符號序列的變化很容易地觀察到。給定Λ中的一點x，它必有唯一的雙邊無窮序列與之對 應，f每作用一次僅相當于雙邊無窮序列的小數(shù)點“.”向右移動一位!假如x對應的序列為(x )=…01011.010011…，則f(x)對應的序列為(f(x))=…010110.10011…，f2(x)對應的序列 為(f2(x))=…0101101.0011…。由此知存在一個移位(shift)映射σ，σ的行為精確 反映了f的行為。設(shè)Σ表示所有由兩個符號0和1構(gòu)成的雙邊無窮序列s的集合，稱為符號序列 空間。在Σ中引入距離d如下： 〓〓d(s,[AKs-D5])=〖DD(〗∞〖〗i=-∞〖DD)〗[SX(]δi[]2｜i｜[SX)]，其中 δi=[JB({]0,若ai=[AKa-D5]i;1,若ai≠[AKa-D5]i.[JB)][JY](3.5.3) 于是Σ上有了度量結(jié)構(gòu)，如果考察Λ中任意兩條軌道在演化中它們之間距離的變化，就可以 使用上述定義。σ對序列s的作用表現(xiàn)為 〓〓σ(s)[ZK(]=σ{…a-3a-2a-1a0.a+1a+2a+3a +4…} ={…a-3a-2a-1a0a+1.a+2a+3a+4… }.[ZK)][JY](3.5.4) 斯美爾馬蹄定理可大致敘述為，設(shè)f是滿足上述拉伸、折疊操作的D→f(D)的一個同胚，則f 以Σ(P)(其中P={0,1})上的移位自同構(gòu)σ為其子系統(tǒng)，即存在Σ到D的子集Λ上的一個同胚 τ，使得 〓〓fτ=τσ[JY](3.5.5) 其中Λ是f的不變集，是D的閉子集，是一個康托集。 斯美爾馬蹄有幾條重要性質(zhì)：(1) 對f而言，Λ中有可數(shù)無窮多個周期軌道，并且都是不穩(wěn) 定的；(2)Λ中存在不可數(shù)無窮多個非周期軌道；(3)Λ中至少存在一點y，它的軌道可以任 意接近Λ中的每一點，這說明Λ是不可分解的；(4)馬蹄映射的回復行為是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即 對f的小擾動并不影響上述諸性質(zhì)。［３０］正是這些性質(zhì)，決定了它非常適合于刻 劃被稱為“渾沌”的復雜動力學現(xiàn)象。但有一點要注意，斯美馬蹄并沒有說到任何“吸引” 性質(zhì)。如果以馬蹄為標準判斷是否有渾沌運動的話，應當注意：斯美爾馬蹄意義上的渾沌在 物理上未必都能看得到。 〖DM(〗3.6〓杜芬方程與上田吸引子〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.6〓杜芬方程與上田吸引子〖HTSS〗〖STBZ〗〖ML〗 古根海默和霍姆斯1983年在名著《非線性振動、動力系統(tǒng)與 向量場的分岔》中，［３１］ 作為渾沌的導引(introduction)分析了四個具有驚人 特征的 經(jīng)典非線性模型，一個是三維自治微分方程(洛侖茲方程)，兩個是單自度周期激勵(策動， 受迫)振動的二維非自治微分方程，另一個是二維映射。范德坡方程屬于第二類，另一個與 其相似但沒有它復雜的經(jīng)典實例是杜芬方程。1918年德國科學家杜芬在研究具有立方非線性 項的受迫振動時，提出著名的杜芬方程。方程的最初形式為 〓〓〖AKx¨D5〗+2n[AKx·D5]+ω20x+εx3=F cosωt[JY](3.6.1) 其中x表示位移，ω是策動力頻率，F(xiàn)是策動力的振幅，t為時間。 n,F和ε都是小量。ε ＜0代表漸軟的彈簧特性，ε＞0代表漸硬彈簧特性，杜芬研究的是后一種。杜芬方程在提出 后的半個多世紀里，得到廣泛研究，但其奧妙尚未全部揭示出來。標準化后各種杜芬方程可 以分出如下四個類型：［３２］ 〓〓(1) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗+x+x3=F cosωt，漸硬型[JY](3.6.2) 〓〓(2) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗+x-x3=F cosωt，漸軟型[JY](3.6.3) 〓〓(3) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗〓〓+x3=F cosωt，日本型[JY](3.6.4) 〓〓(4) 〖AKx¨D5〗+δ〖AKx·D5〗-x+x3=F cosωt，霍姆斯型[JY](3.6.5) 其中共有三個參量δ，F(xiàn)和ω，δ是阻尼系數(shù)，F(xiàn)和ω是強迫力的振幅和頻率。以上各種類 型的杜芬方程都可用KBM平均化方法進行研究，但這有一定局限性，因為在強非線性情況下 ，用平均化方法得出的結(jié)果可能與實際情況相去甚遠，即定性上就與實際有差別。不過由平 均化方法已能在轉(zhuǎn)動平面上分析龐加萊意義上的雙重漸近的同宿軌道。同宿軌道發(fā)生分岔， 就將產(chǎn)生復雜的運動，系統(tǒng)對初始條件具有敏感依賴性。杜芬方程與范德坡方程一樣，能產(chǎn) 生次諧波分岔，即在一定時段內(nèi)輸入了多個波形卻只輸出一個波形。 早在60年代初，以林千博(Chihiro Hayashi)為首的日本非線性振動學派對杜芬方程已有深 入研究。特別是林千博的大弟子上田皖亮(Yoshisuke Ueda,1936- )青出于藍而勝于藍。模 擬計算機的計錄紙上清楚地記著1961年11月27日這一天，當時上田是京都大學三年級的研究 生，在林千博的指導下研究頻率鎖定(frequency entraiment)現(xiàn)象。所謂頻率鎖定就是指電 子線路的自振頻率與外部策動源的驅(qū)動頻率發(fā)生同步(synchronization)。那一天，上田利 用模擬計算機繪出了范德坡方程的渾沌圖——“一只破碎的蛋”。［３３］ 上田在Hiroshi Shibayama(他不是京都大學教授，當時正到京都大學的該實驗室訪問)的直 接指導下工作，他與林千博不同，對上田做什么具體研究，管得并不嚴，他與上田關(guān)系一直 甚密。上田先把二維非自方程化成三維自治方程，采用KBM平均化法，在轉(zhuǎn)動平面上考察穩(wěn) 定平衡點和穩(wěn)定極限環(huán)。前者對應于相空間中同步的頻率鎖定；后者對應于非同步的飄移運 動。實際上有兩種非同步振蕩，一種是準周期振蕩，另一種是渾沌振蕩。當時并不知道渾沌 運動。已知的(穩(wěn)定)定態(tài)行為只有(穩(wěn)定)不動點和極限環(huán)。因而非同步狀態(tài)被統(tǒng)統(tǒng)歸入準同 期振蕩。上田起初以為是模擬計算機出了問題，但不久就發(fā)現(xiàn)不是這樣。他花很長時間認識 到，在非同步區(qū)，出現(xiàn)“破碎的蛋”的機會比出現(xiàn)規(guī)則的光滑曲線的機會更多，他并不能解 釋點為什么會在蛋上極其無規(guī)則地運動?？墒钱斊鋵煖蕚溲芯繄蟾鏁r，林千博并沒有提到 上田發(fā)現(xiàn)的“破碎的蛋”，［３４］教授顯然做了“技術(shù)性處理”，用光滑曲線代替 了亂七八糟的“蛋”。實驗室雖產(chǎn)生了一大堆真正的渾沌數(shù)據(jù)，但當時不是被當作準周期運 動就是暫態(tài)運動。上田對這種處理感到非常吃驚，也從此認識到，讀這類論文時，應當小心 些。1962年左右，上田的導師林千博正為McGrawHill出版公司撰寫英文專著《物理系統(tǒng)的 非線性振動》，讓他承擔許多具體計算工作，對他要求甚嚴。上田在模擬計算機上得到很多 渾沌數(shù)據(jù)，但保存下來的甚少，他怕導師見到后不滿意，再讓他重做計算。上田回憶說，林 千博有極強的個性，“他是其實驗室的皇帝，而在外表上他是態(tài)度溫和、舉止得體的紳士。 我確信，那時候他是世界上任何實驗室里最封建的人物，他的權(quán)威絕對不可動搖?！豹?BR> ３５］ 在長期用模擬機做研究的過程中，上田的體會是，渾沌完全是自然的，幾乎每天都能見到。 “人們稱渾沌為一種新現(xiàn)象，但是它總是到處都在，沒什么稀奇的，只是人們沒有注意它罷 了?！豹郏常叮莳?BR> 從1963年起，上田等三人(另兩人一個比他小三年級，一個比他小四年級)每周都花時間讀斯 米爾諾夫的《高等數(shù)學教程》，據(jù)上田講此舉對他幫助很大，沒有這個訓練他不可能讀懂伯 克霍夫的論文。不過林千博對他們讀數(shù)學書不以為然，甚至覺得花時間讀書還不如多做些計 算。多虧這些學生沒有全聽老師的話。林千博對當時剛起用的晶體管KDCⅠ數(shù)值計算機持 懷疑態(tài)度，但上田卻發(fā)現(xiàn)KDCⅠ高效實用，用它對杜芬方程采用龍格庫塔吉爾(Runge KuttaGill)法進行積分，時間從t=0到2π，約需60秒(積分步長為2π/60)。在當時 看來這是相當了不起的。 在研究杜芬方程的過程中，林千博實驗室在方法上經(jīng)歷了由調(diào)和平衡法(harmonic balance method)到映射法(mapping method)的轉(zhuǎn)變。約在1966年，上田看到萊溫松的論文，茅塞頓 開。上田讓Minoru Abe做了一個自動映射裝置，它完成的工作是靠模擬計算機每隔一定時 間在記錄紙上畫點，即做出龐加萊映射圖，通過這種方法畫出了一系列不變曲線圖以及非常 出名的日本吸引子和上田吸引子。在60年代末70年代初，上田等研究小組已能熟練使用動力 系統(tǒng)中的最小集、α集、ω集、回復點等概念分析非線性振動問題了。 上田吸引子的作圖方法如下。杜芬方程的解曲線穿過所取的龐加萊截面M(x,y)，在M上取杜 芬方程的解所經(jīng)過的任一點P0. 定義M到自身的微分同胚(龐加萊映射)，令Pn=P(t，x n,yn)，t=t0+n·T， xn和yn由積分求得， 〓〓xn=x(t0+nT;t0,x0,y0), 〓〓yn=y(t0+nT;t0,x0,y0)〖JY〗(3.6.6) T為策動力的周期，等于2π/ω，ω為策動力的頻率。取t0=0，則 〓〓Pn=P(n·〖SX(〗2π〖〗ω〖SX)〗，xn,yn).[JY](3.6.7) 顯然P0=P(0,x0,y0)，P1=P(2π/ω，x1,y1)，…，于是在M上有點集 〓〓P={P0,P1,P2,P3,…}〖JY〗(3.6.8) 獲得P的技術(shù)也叫頻閃采樣(stroboscopic observation)。數(shù)學上用離散動力系統(tǒng)語言 定義這一過程：fλ是M到M的微分同胚 〓〓fλ： 〖WTHX〗R〖WTBX〗2→〖WTHX〗R〖WTBX〗2，〓λ為參數(shù)集[JY](3.6.9) 〓〓〓〓P0｜〖KG-*2〗→P1 上田吸引子就是一個P集合，特殊的是它是奇怪吸引集合。 雖然上田的工作在國際上已廣泛得到承認，但在日本國內(nèi)知道上田吸引子的卻不多。上田 和李天巖都講過，［３７］在日本研究非線性振動的屬于基礎(chǔ)電子工程或應用數(shù)學領(lǐng) 域。在科學界其社會地位是很低的，無論是搞數(shù)學的還是搞工程的都不買他們的賬。前者常 常問：“你說的經(jīng)過嚴格證明了嗎?”，后者常常問：“你研究的東西有用么?” 〖DM(〗3.7〓MSS序列與DGP定理〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗〖WTHZ〗3.7〓MSS序列與DGP定理〖HTSS〗〖WTBZ〗〖STBZ〗[ML ] 1973年《組合理論雜志》發(fā)表MSS的論文“論單位區(qū)間上變換的有限極限集”，［３８ ］MSS指在美國新墨西哥州洛斯阿拉莫斯國立實驗室任職的三位數(shù)學家(N.Metropolis,M.L .Stein,P.R.Stein)。他們采用符號動力學方法，證明單峰的非線性區(qū)間變換(映射)存在普 適序列(也稱U序列和MSS序列)。若干年后該實驗室的費根鮑姆研究同樣的迭代過程，發(fā)現(xiàn)了 另一種普適性——費根鮑姆常數(shù)δ和α。前一種普適性是結(jié)構(gòu)普適性；后一種是測度普 適性。 MSS的貢獻有兩個：1.系統(tǒng)地引入了符號動力學方法，盡管在他們之前阿達馬、莫爾斯、伯 克霍夫、CLL等都一定程度上用到過符號動力學。MSS構(gòu)造了符號序列的諧波和反諧波算法， 對U序列進行了合理排序。2.發(fā)現(xiàn)了周期窗口，以及在窗口右側(cè)的倍周期分岔過程。單位區(qū) 間上“一對一”的變換已有許多人研究過，它的一般特征業(yè)已十分清楚，但對于“多對一” 的變換，已知結(jié)果很少，以前只有尤利亞(G.Julia)、馮·諾伊曼、烏拉姆以及斯坦因(P.R .Stein)等人作了一定程度的研究。MSS考慮的變換為 〓〓Tλ(x):〓x→λf(x)〖JY〗(3.7.1) 其中λ是參數(shù)，在一個開區(qū)間上取值。f(x)至少應具有兩個性質(zhì)：(1) f(x)在［0，1］ 上是連續(xù)、單值、分段一次可導的。其中f(0)=f(1)=0，在開區(qū)間上f(x)嚴格為正。(2) f(x )具有唯一極大值fmax≤1，可以在單個點或一個小區(qū)間上取得極大值。在極值點(或 小區(qū)間)左和右，函數(shù)f(x)分別是嚴格遞增和遞減的。 為了討論方便并不失一般性，可以假設(shè)f(x)在x=1/2處取得極大值。在迭代的過程中若x落在 區(qū)間的左半部，即x∈(0,1/2)，則稱x是L型的；若x落在右半部，即x∈(1/2,1)，則稱x是R 型的；相應地若x恰好落在1/2處，則稱x是C型的，在這里引入自然序關(guān)系L＜C＜R，在后文 可以看到這種“序”很重要，由它可以引出符號序列的“序”。這樣，對于適當選擇的參數(shù) λ，任給區(qū)間上的一個初始點，由它迭代生成的軌道序列對應于由L和R(或者C)組成的一個 符號序列。而且第n次迭代后軌道的特征正好與符號序列的第n個符號有密切關(guān)系，它告訴了 軌道在第n次迭代后相對于極值點的位置(左或右)。 MSS討論了四個實例，其中第一個就是后來被廣泛研究的邏輯斯蒂映射。這幾個實例具體形 式為 (1)Q:x→λ x(1-x)，〓x∈(3,4),[JY](3.7.2) (2)S:x→λ sinπx，〓λ∈(0.71,1),[JY](3.7.3) (3)C:x→λW(3-3W+W2), [JY](3.7.4) 〓〓〓W≡3x(1-x)，〓λ∈(0.872,64/63) (4)L:x→[JB({]〖SX(〗λ〖〗e〖SX)〗x,〓x∈［0，e］λ，〓x∈［e,1-e］〖SX(〗 λ〖〗e[SX)],〓x∈［1-e,1］,λ∈(1-e,1)[JB)]〖JY〗(3.7.5) MSS指出，對于上述四個變換，有限極限集是吸引的周期軌道。周期軌道的序級是k=2,3, …. k=1的情況不考慮。變換T的k周期點的含義為，對于變換 〓〓Tλ(xi)=xi+1，〓i=1,2,…，n〖JY〗(3.7.6) T的k次冪，即T的第k次迭代，返回到初始值，也就是說 〓〓T(k)λ(xi)=xi,〖JY〗(3.7.7) T的k周期點相當于T的k次冪T(k)的不動點。 若變換T(k)的斜率的絕對值小于1(由微分計算的鎖鏈法則可知，這相當于說對于周期 集合P中的每一點，其導數(shù)的絕對值都小于1)，則對于任一點xi∈P，它對其鄰域N(xi) 都有吸引作用，即對于任意x∈N(xi)，T(k)都收斂于xi. 不滿足斜率絕對值小 于1這個條件的周期點沒有吸引鄰域，稱之為不穩(wěn)定點或排斥點。MSS認為，“〖ZZ(Q〗這些 點屬于‘例外點集’，其測度為0，在討論極限集時不起作用?！糧Z)〗” 上面的劃線部分的論斷基本上是錯誤的。我們分析MSS出錯的原因有：第一，正如論文的 標題中所說的，他們關(guān)心的是“有限集”。導言中也說：“至于無窮極限集合，我們沒有說 什么?！钡诙?，那時幾乎無人知道區(qū)間映射還能出現(xiàn)比周期運動更復雜的運動行為?，F(xiàn)在人 們知道，當參數(shù)改變時，原來穩(wěn)定的周期運動，幾乎都要失去穩(wěn)定性。同時可能有些新的穩(wěn) 定周期軌道誕生出來。因而不穩(wěn)定點集就不應該稱為“例外點集”。對于研究渾沌軌道而言 ，周期軌道(無論穩(wěn)定與否)是一具人們熟悉的“骨架”，透過它可以揭示非周期運動。問題 的另一個關(guān)鍵是，非周期運動也可以是穩(wěn)定的，而且測度不為0。 MSS發(fā)現(xiàn)，參數(shù)軸可以分成許多小的段，對于每一小段，極限周期軌道都是相似的，可用小 區(qū)間中的(不一定是正中間)某一參數(shù)情況下的迭代來代表。當參數(shù)改變時，原來穩(wěn)定的軌道 失穩(wěn)，產(chǎn)生新的穩(wěn)定軌道，新的穩(wěn)定軌道逐漸變成超穩(wěn)定軌道，然后又變?yōu)橐话愕姆€(wěn)定軌道 ，最后軌道又失穩(wěn)，出現(xiàn)別的穩(wěn)定軌道。由極值點1/2(對應的符號是C)開始的軌道恰好對 應于超穩(wěn)定軌道。MSS用包含極值點的超穩(wěn)定軌道代表參數(shù)軸小區(qū)間上的穩(wěn)定周期軌道 。這樣軌道對應的特征符號集至少包含一個C. 通常為了簡潔，不寫出C. 比如對于周期5 軌道，一共有三種可能： 〓〓C→R→L→R→R→C→… 〓〓C→R→L→L→R→C→…〖JY〗(3.7.8) 〓〓C→R→L→L→L→C→… 上述三種周期5軌道可以分別簡記為RLR2，RL2R和RL3?？梢钥闯?，每個符號序列中 符號的個數(shù)僅比其周期數(shù)k小1。 只要方程 〓〓T(k)λ(C)=C〓(C代表臨界點)〖JY〗(3.7.9) 有解，就存在形式如(3.7.8)的普適符號序列(U序列或MSS序列)，而且k級U序列的個數(shù) 與方程的實數(shù)解的個數(shù)是一致的。(3.7.8)式的三個序列就對應于方程T(5)λ(C) =C的三個實數(shù)解。 這些解在參數(shù)軸上顯然不是任意出現(xiàn)的，而是有一定的順序。周期的級不高于6的所有周期 軌道一共有12個，它們在參數(shù)軸上的排列順序見表3-1。 [HT] 〖JZ〗〖WTHX〗〖HT6H〗表3-1〓不高于6級的12個周期軌道在λ參 〖JZ〗數(shù)軸上由小到大的出現(xiàn)順序 〖HT6SS〗〖WTBZ〗 〖BG(!〗 〖BHDFG1*2，F(xiàn)K4，K4，K6ZQ，F(xiàn)K4，K4，K6ZQF〗順序號〖〗周期〖〗〓U序列〖〗順序號 〖〗周期〖〗〓U序列 〖BH〗1〖〗2〖〗[WTBX]R〖〗7〖〗5〖〗RL2R 〖BH〗2〖〗4〖〗RLR〖〗8〖〗6〖〗RL2R2 〖BH〗3〖〗6〖〗RLR3〖〗9〖〗4〖〗RL2 〖BH〗4〖〗5〖〗RLR2〖〗10〖〗6〖〗RL3R 〖BH〗5〖〗3〖〗RL〖〗11〖〗5〖〗RL3 〖BH〗6〖〗6〖〗RL2RL〖〗12〖〗6〖〗RL4[WTBZ] [BG)F] [HT5SS] 〓〓周期級k不超過7的所有周期軌道個數(shù)有21個，k不超過10時周期軌道共有116個，k不 超過15時共有2370個不同的周期軌道!這些解都可以通過方程(3.7.9)求出來，只要分別令k= 2,3,4,…，14，15即可。 一旦給定參數(shù)λ的值，通過迭代立即可以求出對應的普適模式——U序列(如果存在的話， 有時可能不存在。MSS的論文沒有特別強調(diào)這一點)。反過來，已知了U序列，也能求出對應 的各個參數(shù)λ的值，不過要采用一點小技巧：二次映射的逆函數(shù)有兩支L(y)和R(y)，代入 方程時要對號分別代入，然后化等式為迭代關(guān)系，迭代過程收斂很快，因而可以迅速得到所 求的λ值。［３９］ 若對于某個λ值，存在U序列，因為U序列對應的軌道是超穩(wěn)定的，則由連續(xù)性，存在 充分小的正數(shù)ε (實際上有時并不是很小!當時MSS沒有畫出分岔圖譜，可能不知道還 有非常寬的周期窗口)，對于任意[AKλ-3]∈［λ-ε,λ+ε］，也將存在具有同樣結(jié)構(gòu) 的周期極限集合。換言之，每一(穩(wěn)定)周期都有一有限的λ寬度。并且顯然存在兩個臨界值 m1(λ)和m2(λ)，當[AKλ-3]＜λ-m1或〖AKλ-3〗＞λ+m2時，迭代后生成的由R ，L或C構(gòu)成的序列(可能有限，也可能無限)，將不是原來T[AKλ-3](x)的吸引周期。 窗口左側(cè)極限集的情況MSS認為很難研究，窗口右側(cè)(〖AKλ-3〗=λ+m2+δ，δ是小的 正數(shù))已搞清楚，對應于解的一個無窮序列，從左到右表現(xiàn)出“諧波”的性質(zhì)。一個給定解 的諧波序列是一系列周期分別為2mk(m=1,2,…)的解，所對應的參數(shù)分別是 〓〓λ＜λ(1)＜λ(2)＜λ(3)＜λ(4)＜…＜λ(∞)， 極限點λ(∞)顯然存在，并且有“許多”個，DGP后來證明這樣的聚點有不可數(shù) 無窮多個，等于連續(xù)統(tǒng)的勢。 MSS發(fā)明的“諧波擴張”和“反諧波擴張”現(xiàn)在雖已被發(fā)展，但在歷史上仍有其重要性。初 看起來這些構(gòu)造似乎十分別扭，但的確是高明的、最終也是自然的。令P=RLα1R α2Lα3…是對應于方程(3.7.9)的解的一種模式。P的(一級)諧波是H=Pμ P，其中 〓〓μ=[JB({]L,〓當P中包含奇數(shù)個R； R，〓其它情形。[JB)〗[JY](3.7.10) 模式P的反諧波A的定義類似于諧波H，只需把上式的R與L互換。例如，若P=RL2R，則H=RL 2R3L2R，A=RL2RLRL2R. 可見H在構(gòu)造中不保持R的奇偶性，而A在構(gòu)造中奇偶性不 變。構(gòu)造H對應于實際的倍周期分岔，構(gòu)造A則純粹是形式的。H也叫P的H擴張，A也叫P的反 擴張。關(guān)于一定層次上相鄰模式之間的下一級模式，MSS證明了一個定理： 令K是一整數(shù)?？紤]方程(3.7.9)的解的完備有序系列及其對應的模式(0≤k≤K)。令λ1是 任一解，對應的模式是P1，長度為k1(有k-1個字符)；又令λ2＞λ1是(K水平上)“ 毗鄰的”下一個解，模式為P2，長度是k2. 構(gòu)造P1的H擴張和P2的A擴張。H(P1) 和A(P2)將有一個最大公共主子模式P*，其長度為k*，使得我們可以把H(P1)和A(P 2)分別寫作 〓〓H(P1)=P*μ1…， 〓〓A(P2)=P*μ2…，〓μ1≠μ2，[JY](3.7.11) 其中μi代表R或L. 這時有兩種情形： (1)k*≥2k1，則滿足λ1＜λ*＜λ2 的最低階解λ*是P1的諧波； (2)k*＜2k1，則滿足λ1＜λ*＜λ2 的最低階解λ*對應于長度為k*的模式 P*. 由此可得出一個推論：令｜k1-k2｜=1，則滿足λ1＜λ*＜λ2 的最低階 解λ*具有長度k*=1+max(k1,k2)。 舉例來看，設(shè)P1=RLR4,P2=RLR4LR，則k1=7,k2=9,H(P1)=RLR4LRLR4…， A(P2)=RLR4LRL…，于是P*=RLR4LRLR，長度k*=11. DGP的工作發(fā)表于1978年，［４０］當時對一維映射的研究已經(jīng)熱鬧起來，費根鮑姆 已發(fā)現(xiàn)了普適常數(shù)δ，薩可夫斯基定理也已被世人知曉。 DGP證明了兩件事： (1)已排序的所有U序列集合，擁有內(nèi)部自相似的性質(zhì)。即整個MSS序列集合可以與其子集一 一對應。 (2)對于識別一個序列是否為容許的，給出了一個簡單的判據(jù)；對于給定的兩個序列，能確 定它們出現(xiàn)的順序?！叭菰S的”之含義為：若某序列對應于MSS意義上的真實的穩(wěn)定周期軌 ，則是容許的。比如以L開始的序列肯定不是允許的。 DGP在MSS工作的基礎(chǔ)上正式定義了MSS序列的大小關(guān)系，其實也很好定義，兩個 MSS序列S1，S2所對應的參數(shù)分別為λ1，λ2，若λ1＜λ2，則S1＜S2. 這樣，最小的序列是b(即穩(wěn)定不動點，也可用C表示)，第二小的是R，第三小的是RL，…， 最大的是RL∞. 中間有多少MSS序列呢? 有無窮多個，但卻是可數(shù)的(countable, 或叫“可列的”)。只考慮到k=7的水平，MSS的排序如下： 〓〓b＜R＜RLR＜RLR3＜RLR2＜RL 〓〓〓＜RL2RL＜RL2R＜RL2R2 〓〓〓＜RL3＜RL3R＜RL3＜RL4＜RL∞.[JY](3.7.12) 在b和R之間不可能再插入任何序列，但在其它每兩個中間可插入一些容許的序列。設(shè)所有 MSS序列所對應的參數(shù)λ組成集合M. M顯然有許多聚點，M的所有聚點(也是參數(shù)軸上所考 慮的區(qū)間內(nèi)的點)也構(gòu)成一個無窮集合M*，而且M*比M要大得多，M*的勢為連續(xù)統(tǒng)的勢 20=1. 當然，不是任給一個λ值就一定有對應的MSS序列，否則M的勢也 是1了!發(fā)現(xiàn)渾沌的關(guān)鍵就在于認識到，對于某些λ值，不存在穩(wěn)定的周期運動(不穩(wěn)定 的周期運動還是存在的，這一點務(wù)必注意)，卻存在有界的非周期運動，當然，它也是“穩(wěn) 定的”。 DGP找到了一種奇妙的“*復合”法則，借此能建構(gòu)出所有MSS序列。也正是通過這 種方法，他們證明了內(nèi)部自相似性：令A=b,B=RLn，P和Q是任意容許序列，A＜P＜Q＜B。 設(shè) 〓〓A′=Q*A,B′=Q*B,P′=Q*P， 則對于任一點(嚴格應稱序列，下同)P，都有對應的一點P′。反過來，對于任一點P′，滿 足Q*A=A′＜P′＜B′=Q*B,都存在對應的一點P，滿足A＜P＜B，P′=Q*P。這就是所謂的內(nèi) 部自相似性，映射φ: P→Q*P 具體定義了自相似，這一拓撲結(jié)構(gòu)普適性的發(fā)現(xiàn)是后來發(fā)現(xiàn) 測度普適性的基礎(chǔ)。 〖DM(〗3.8〓洛侖茲的確定性非周期流與李約克渾沌〖DM)〗 [HS3]〓〓〖STHZ〗〖HTH〗3.8〓洛侖茲的確定性非周期流與李約克渾沌〖STBZ〗〖HTSS |
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