【要點綜述】：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個重點內(nèi)容，也是學(xué)生今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

在沒講一元二次方程的解法之前，先說明一下它與一元一次方程區(qū)別。根據(jù)定義可知，只含有一個未知數(shù)，

且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式為：。

一元二次方程有三個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2；(3)是整式方程。

因此判斷一個方程是否為一元二次方程，要先看它是否為整式方程，若是，再對它進(jìn)行整理，

如能整理為的形式，那么這個方程就是一元二次方程。

下面再講一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”，將它化為兩個一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四種：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：

【舉例解析】

例1：已知，解關(guān)于的方程。

分析：注意滿足的的值將使原方程成為哪一類方程。

解：由得：或，

        當(dāng)時，原方程為，即，解得.

        當(dāng)時，原方程為，即，

        解得，.

說明：由本題可見，只有項系數(shù)不為0，且為最高次項時，方程才是一元二次方程，

才能使用一元二次方程的解法，題中對一元二次方程的描述是不完整的，應(yīng)該說明最高次項系數(shù)不為0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更為簡明，即形如的方程叫作關(guān)于的一元二次方程。

若本題不給出條件，就必須在整理后對項的字母系數(shù)分情況進(jìn)行討論。

例2 ：用開平方法解下面的一元二次方程。

（1）；        （2）

（3）； （4）

分析：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如的方程，

其解為。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)第（1）、（2）兩小題中的方程顯然用直接開平方法好做；

第（3）題因方程左邊可變?yōu)橥耆椒绞?/SPAN>，右邊的121＞0，所以此方程也可用直接開平方法解；

第（4）小題，方程左邊可利用平方差公式，然后把常數(shù)移到右邊，即可利用直接開平方法進(jìn)行解答了。 

解：（1）

∴（注意不要丟解） 

由得，

由得，

∴原方程的解為：，

（2）

由得，

由得

∴原方程的解為：，

（3）  

∴，

∴

∴，

∴原方程的解為：，

（4）

∴，即

∴，

∴，

∴原方程的解為：，

說明：解一元二次方程時，通常先把方程化為一般式，但如果不要求化為一般式，

像本題要求用開平方法直接求解，就不必化成一般式。用開平方法直接求解，應(yīng)注意方程兩邊同時開方時，

只需在一邊取正負(fù)號，還應(yīng)注意不要丟解。

例3 ：用配方法解下列一元二次方程。

（1）；（2）

分析：用配方法解方程，應(yīng)先將常數(shù)移到方程右邊，再將二次項系數(shù)化為1，

變?yōu)?/SPAN>的形式。第（1）題可變?yōu)?/SPAN>，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方，

即：，方程左邊構(gòu)成一個完全平方式，右邊是一個不小于0的常數(shù)，即：，

接下去即可利用直接開平方法解答了。第（2）題在配方時應(yīng)特別注意在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半的平方。

解：（1）

二次項系數(shù)化為1，移常數(shù)項得：，

配方得：，即

直接開平方得：

∴，

∴原方程的解為：，

（2）

二次項系數(shù)化為1，移常數(shù)項得：

方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方得： 

即

直接開平方得：

∴，

∴原方程的解為：，

說明：配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握。

配方時應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項系數(shù)化為1，并把常數(shù)項移到一邊；

再在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_平方法即可完成解題任務(wù)。

例4：用公式法解下列方程。

（1）；（2）

分析：用公式法就是指利用求根公式，使用時應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，

然后計算判別式的值，當(dāng)≥0時，把各項系數(shù)的值代入求根公式即可得到方程的根。

但要注意當(dāng)＜0時，方程無解。第（1）小題應(yīng)先移項化為一般式，再計算出判別式的值，

判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式；第（2）小題為了避免分?jǐn)?shù)運算的繁瑣，

可變形為，求出判別式的值后，再確定是否可代入求根公式求解。 

解：（1），

化為一般式：

求出判別式的值：＞0

代入求根公式：， 

∴，

（2）

化為一般式：

求出判別式的值：＞0

∴

∴，

說明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到簡單方法時，即考慮化為一般形式后使用公式法。

但在應(yīng)用時要先明確公式中字母在題中所表示的量，再求出判別式的值，解得的根要進(jìn)行化簡。

例5：用分解因式法解下列方程。

（1）；（2）

分析：分解因式法是把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，

讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，

就是原方程的兩個根。第（1）題已經(jīng)是一般式，可直接對左邊分解因式；

第（2）題必須先化簡變?yōu)橐话闶胶笤龠M(jìn)行分解因式。

解：（1）

左邊分解成兩個因式的積得：

于是可得：，

∴，

（2）

化簡變?yōu)橐话闶降茫?/SPAN>

左邊分解成兩個因式的積得：

于是可得：，

∴，

說明：使用分解因式法時，方程的一邊一定要化為0，這樣才能達(dá)到降次的目的。

把方程一邊化為0，把另一邊分解因式的方法可以用于解今后遇到的各類方程。因為這是把方程降次的重要手段之一。

從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，

轉(zhuǎn)化的方法主要為開平方法和使方程一邊為0，把方程另一邊分解因式，配方，或利用求根公式法。

另外，在解一元二次方程時，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡單方法，找不到簡單方法時，

即考慮化為一般形式后使用公式法。 

例6：選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠獭?/SPAN>

（1）；  （2）

（3）；  （4）

分析：第（1）題可變形為，而后利用直接開平方法較為簡便；

第（2）題移項后利用分解因式法較為簡便；第（3）題化為一般式后可利用求根公式法解答；

第（4）題采取配方法較為簡便。

解：（1）

整理得：

直接開平方得：

∴，

（2）

分解因式得：

∴，

（3）

整理得：

求出判別式的值：＞0

∴，

∴，

（4）

配方得：

直接開平方得：

∴，

總結(jié)：直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程，在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計算出判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一。最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般式，同時應(yīng)使二次項系數(shù)化為正數(shù)。因此在解一元二次方程時，首先觀察是否可以應(yīng)用開平方、分解因式等簡單方法，找不到簡單方法時，即考慮化為一般形式后使用公式法。通常先把方程化為一般式，但如果不化為一般式就可以找到簡便解法時就應(yīng)直接求解。

【附訓(xùn)練典題】 

1、用直接開平方法解下列方程：

（1）；          （2）；

（3）；  （4）.

2、用配方法解下列方程：

（1）；   （2）；

（3）； （4）.

3、用公式法解下列方程：

（1）；        （2）；

（3）； （4）.

4、用因式分解法解下列方程：

（1）； （2）；

（3）；       （4）. 

5、選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/SPAN>

（1）；         （2）；

（3）；       （4）；

（5）；          （6）；

（7）； （8）