對數(shù)（Logarithm 若 ）。則b叫做以a為底N的對數(shù)，記作 。當(dāng)a=10時稱作常用對數(shù)，當(dāng)a=e時，稱作自然對數(shù)。

對數(shù)的發(fā)明是16世紀末至17世紀初的事。當(dāng)時在自然科學(xué)領(lǐng)域特別是天文學(xué)方面經(jīng)常遇到十分復(fù)雜的數(shù)值計算，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱藢で蠡営嬎愕姆椒ǘl(fā)明了對數(shù)。一般認為，對數(shù)是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾和瑞士工程師比爾吉彼此獨立地發(fā)明的。但在此之前，在法國數(shù)學(xué)家許凱（15世紀）和德國數(shù)學(xué)家施蒂費爾（1487—1567）的工作中就孕育了對數(shù)的思想。他們研究等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的關(guān)系，特別是施蒂費爾將這兩種數(shù)列加以對比，指出，等比數(shù)列各項的乘、除、乘方、開方運算、相當(dāng)于等差數(shù)列相應(yīng)各項的加、減、乘、除運算。但是他們都沒有進一步發(fā)展這種思想。

比爾吉是瑞士的一位工程師，他曾擔(dān)任著名天文學(xué)家開普勒的助手，因此經(jīng)常接觸復(fù)雜的天文計算，于是產(chǎn)生了化簡數(shù)值計算的強烈愿望。他受施蒂費爾工作的影響，考慮等差數(shù)列

0，10，20，…，10n和與之對應(yīng)的等比數(shù)列

由此建立了一種對數(shù)體系，于1620年發(fā)表在《等差數(shù)列和等比數(shù)列表》中。不難看出，比爾吉所造的對數(shù)表，把對數(shù)的底取為 ，與現(xiàn)在自然對數(shù)的底e相差甚小。

比爾吉發(fā)明對數(shù)的時間大約在1610年，但他推遲了發(fā)表的時間，而 理就是用加減法來代替乘除法。納皮爾發(fā)明對數(shù)的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據(jù)一種非常獨特的與質(zhì)點運動有關(guān)的設(shè)想構(gòu)造出所謂對數(shù)方法，其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的《奇妙的對數(shù)表的描述》中闡明了對數(shù)原理（見[《奇妙的對數(shù)表的描述》]），后人稱他發(fā)明的對數(shù)為納皮爾對數(shù)，記為 ，它與自然對數(shù)的關(guān)系為

以10為底的常用對數(shù)，是由另一位英國數(shù)學(xué)家布里格斯首先采用的。在他1624年出版的《對數(shù)算術(shù)》中，載有14位的常用對數(shù)表。他還制作了正弦、正切對數(shù)表。荷蘭數(shù)學(xué)家兼出版商弗拉克補充了布里格斯的對數(shù)表，他出版的幾種對數(shù)表（包括三角函數(shù)對數(shù)表）很快在歐洲普及。弗拉克還最早闡明對數(shù)首數(shù)的意義。

關(guān)于以e為底的自然對數(shù)的準確涵義，是由英國一位數(shù)學(xué)教師斯佩德爾（J.Speiodell）首先指出的，他在1619年出版了關(guān)于對數(shù)的著作，包含1—1000的自然對數(shù)表。

對數(shù)傳到中國的時間是17世紀中葉，中國數(shù)學(xué)家薛風(fēng)祚和波蘭傳教士穆尼閣合作的《比例對數(shù)表》是我國最早的對數(shù)著作。

代數(shù)基本定理（fundamentaltheorem of algebra）關(guān)于多項式根的定理，即一個次數(shù)不小于1的復(fù)系數(shù)多項式f(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)有一根。由此推出，一個n次復(fù)系數(shù)多項式f(x)在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰有n個根（重根按重數(shù)計算）。

這個定理最早在荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾的論著《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》（1629）中給出，他推測并斷言n次多項式方程有n個根，但是沒有給出證明。歐拉在1742年在給朋友的信中斷定：任意次數(shù)的實系數(shù)多項式都能夠分解成一次和二次因式的乘積。達朗貝爾、拉格朗日和歐拉都曾給出代數(shù)基本定理的證明，但他們的證明都不完全。高斯在1799年給出了第一個實質(zhì)性的證明，但仍欠嚴格。后來他又給出另外三個證明（1814—1815，1816，1848—1850）。高斯研究代數(shù)基本定理的方法開創(chuàng)了探討數(shù)學(xué)中存在性問題的新途徑。20世紀以前，代數(shù)學(xué)所研究的對象都是建立在實數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的，因此代數(shù)基本定理在當(dāng)時曾起到核心的作用。

數(shù)（number）最基本的數(shù)學(xué)概念之一。通常包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)以及在它們的基礎(chǔ)上形成的其他概念，例如代數(shù)數(shù)、超越數(shù)、四元數(shù)、八元數(shù)等等。

數(shù)的觀念具有悠久的歷史，尤其是自然數(shù)觀念的產(chǎn)生當(dāng)在史前時期。在我國史前文化遺存的陶器刻符中就有數(shù)字，說明早已形成數(shù)的觀念了。數(shù)的觀念產(chǎn)生的詳情現(xiàn)在已無法追溯，但嚴謹?shù)臄?shù)的理論，尤其是自然數(shù)理論，卻直到19世紀末才建立起來。

一般認為，原始人在用匹配法計數(shù)及考察動作的順序時產(chǎn)生了自然數(shù)概念，與自然數(shù)概念產(chǎn)生的同時也產(chǎn)生了自然數(shù)的運算——算術(shù)四則運算，在一定程度上可以說，自然數(shù)概念的完善也依賴著數(shù)的運算。進行除法運算，即求解方程 ，a、b為自然數(shù)，方程未必有自然數(shù)解，要使它恒有解，即使除法運算得以順利運行，數(shù)的概念就要由自然數(shù)擴張到正有理數(shù)。巴比倫的泥板、古埃及的紙草書中就已有了自然數(shù)和分數(shù)，中國古代的《周髀算經(jīng)》給出了分數(shù)運算的方法。可見在人類進入文明之初就已有了自然數(shù)和分數(shù)（即正有理數(shù)的概念）。

中國人最先引進負數(shù)概念，《九章算術(shù)·方程》的“正負術(shù)”進一步給出了負數(shù)的加減運算法則。如果說《九章算術(shù)》還限于負整數(shù)的話，宋元時人們解高次方程就涉及到負有理數(shù)。印度人先提出零的概念（公元5世紀）和符號“0”（公元9世紀）。中國古人由于使用算籌記數(shù)從而形成了獨特的零的概念和記號（公元12世紀），其后，中國人開始了完整地認識整個有理數(shù)的過程。從解方程的角度看，中國古人一般不考慮負數(shù)解；第一個承認方程可以有負數(shù)解的是印度人婆什迦羅（12世紀），西方則是許凱在1484年給出二次方程的一個負根，后來才承認負數(shù)是數(shù)。

人們對（正）無理數(shù)的認識比對負數(shù)的認識早得多。當(dāng)然，開始認識的只是一部分無理數(shù)，首先是一些非平方數(shù)的（正的）平方根。最著名的是古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派（公元前6世紀）發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形直角邊和斜邊的長度不可公度，即直角邊長為1的等腰直角三角形的斜邊之長不是有理數(shù)。據(jù)說，他們還證明了這一點。這一點是嚴格的邏輯證明的結(jié)果。這是古希臘數(shù)學(xué)的一個特點。為了與畢達哥拉斯學(xué)派的“萬物皆數(shù)（整數(shù)及其比）”觀點相協(xié)調(diào)，他們有意避開了非平方數(shù)的開方計算問題。中國古人很早就會作開方（開平方、開立方）運算，三國時劉徽已認識到開方不盡數(shù)，并且認識到可從不足和過剩兩方面逼近開方不盡數(shù)，他的算法相當(dāng)于給出兩種開方近似公式： 和 ，并創(chuàng)用十進分數(shù)逐次逼近法。印度人也早就認識到開方不盡數(shù)，婆什迦羅等人把無理數(shù)視為與有理數(shù)一樣的數(shù)，統(tǒng)一進行處理，這是一大成就。中世紀后期，東方數(shù)學(xué)傳入歐洲，歐洲數(shù)學(xué)向代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，方程理論成為中心研究課題。16世紀中葉，塔爾塔利亞、卡爾達諾、費拉里等人解決了三次、四次方程的求解問題。這時，由于解高次方程的需要，人們經(jīng)常遇到開方不盡數(shù)，但對其認識卻較緩慢，施蒂費爾（16世紀）雖然運用過形式復(fù)雜的無理數(shù)，但認為它們不是真正的數(shù)，甚至帕斯卡、巴羅等數(shù)學(xué)家也認為不盡根 是“不可解釋的”，直到沃利斯、斯蒂文（17世紀）等人才承認無理數(shù)是一種實在的數(shù)。雖然如此，由于實際的數(shù)學(xué)工作的需要，在16～17世紀，人們在實際的數(shù)學(xué)計算中，已承認正數(shù)的任何次方根的存在，對某些無理數(shù)的研究已達到相當(dāng)充分的程度。

研究方程求解，免不了要遇到負數(shù)開偶次方的問題。1484年，許凱首先注意到這一問題，在解二次方程 時得到根 ，他認為這是不可能的。1545年，卡爾達諾認真研究了這種情況，他給出負數(shù)開平方的運算方法，并引入最早的虛數(shù)記號，但稱這種數(shù)為“詭辯量”，并懷疑其運算的合法性。1637年，笛卡兒在其《幾何學(xué)》中第一次給出“虛數(shù)”的名稱，和“實數(shù)”相對應(yīng)。但怎樣理解虛數(shù)，又產(chǎn)生了很大的爭議。1797年，韋塞爾給出虛數(shù)的幾何解釋；1799年，高斯提出“復(fù)數(shù)”概念并給出復(fù)數(shù)的幾何表示法；1801年，他系統(tǒng)使用i表示 （最先是歐拉采用的，但未流行），并用a+bi(a,b為實數(shù))表示復(fù)數(shù)。后來，高斯又提出用實數(shù)的有序?qū)Γ?I>a,b）表示a+bi，用純代數(shù)方法定義了復(fù)數(shù)的運算。這一思想由哈密頓于1837年發(fā)表出來。人們把數(shù)的概念擴張到復(fù)數(shù)。

哈密頓認真研究了從實數(shù)擴張到復(fù)數(shù)的過程。類比于此，他于1843年提出“四元數(shù)”的概念：把復(fù)數(shù)的有序?qū)Γé?，β）定義為一個四元數(shù)。其后不久，凱萊又用四元數(shù)的有序?qū)Χx了八元數(shù)。它們都被稱為“超復(fù)數(shù)”。于是產(chǎn)生了兩個問題：數(shù)的概念的擴張的準則是什么？數(shù)的概念能否無限制地擴張下去？人們深入研究了這個問題，1867年，漢克爾提出了數(shù)的擴張原則（“固本原則”），大意是：數(shù)的概念的擴張是為了滿足某種代數(shù)運算的需要；擴張的結(jié)果必須保持原來的運算都能繼續(xù)進行（保持各種算律）；擴張所得的新數(shù)集中必有一個子集與原來的數(shù)集同構(gòu)。他指出，復(fù)數(shù)是滿足固本原則進行擴張所能得到的最大的數(shù)集，六種代數(shù)運算可在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)自由實施，n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有n個根；再向超復(fù)數(shù)擴張，就不能滿足固本原則了：四元數(shù)的乘法不滿足交換律；八元數(shù)的乘法既不滿足交換律，又不滿足結(jié)合律。如果舍棄更多的運算性質(zhì)，超復(fù)數(shù)還可擴張到十六元數(shù)、三十二元數(shù)等等。

從自然數(shù)到復(fù)數(shù)構(gòu)成了通常所說的“數(shù)系”，即包括自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)和復(fù)數(shù)的系統(tǒng)，這些數(shù)之間有如下關(guān)系：

18世紀數(shù)學(xué)分析的大發(fā)展促使人們對分析基礎(chǔ)的研究，分析基礎(chǔ)問題最根本的就是實數(shù)理論的問題。19世紀初開始，人們開始努力于建立實數(shù)理論，而實數(shù)理論，本質(zhì)上就是無理數(shù)的定義問題。

1821年柯西用有理數(shù)序列的極限定義無理數(shù)，但依他的定義，該極限應(yīng)是預(yù)先確定的數(shù)，只不過要求它與序列中的項之差趨于零而已。這實際上是一個循環(huán)定義。無理數(shù)的算術(shù)定義，必須在邏輯上無矛盾才行?？低袪栐?872年用有理數(shù)的“基本序列”來定義無理數(shù)，把有理數(shù)基本序列的集合關(guān)于一種等價關(guān)系（具有同一極限）的等價類叫做實數(shù)，所有實數(shù)構(gòu)成的集合記為R。對有理數(shù)a，令序列{a,a,…}所在的等價類與之相對應(yīng)，就能在實數(shù)集中找到一個子集Q(－)與有理數(shù)，集Ｑ同構(gòu)，Q(－)的元素也稱為有理數(shù)，不是有理數(shù)的實數(shù)稱為無理數(shù)。同一年，戴德金采用了對有理數(shù)進行劃分的方法定義無理數(shù)，他還進一步證明了實數(shù)的連續(xù)性。外爾斯特拉斯于1860年提出了用遞增有界數(shù)列來定義實數(shù)的思想，在1872年，他的學(xué)生利薩克正式發(fā)表了他的定義。

1844年劉維爾開創(chuàng)了超越數(shù)研究。1874年，隨著康托爾引入“可數(shù)”概念，人們發(fā)現(xiàn)，作為代數(shù)方程的根的無理數(shù)只是無理數(shù)的極小的部分，“幾乎所有”的實數(shù)都是超越數(shù)。

由上述，人們在有理數(shù)的基礎(chǔ)上定義出無理數(shù)，有理數(shù)本身卻是未加嚴格定義的，定義無理數(shù)的需要無疑促進了對有理數(shù)的研究。1860年，外爾斯特拉斯在一次講課時，用自然數(shù)的有序?qū)Χx出正有理數(shù)，用另一類型的自然數(shù)對定義負整數(shù)，再用一對正負整數(shù)來定義負有理數(shù)，稍加改進，就是現(xiàn)代采用的有理數(shù)定義方法。外爾斯特拉斯認為，只要承認自然數(shù)，建立數(shù)的理論就不需要進一步的公理了。他認為，自然數(shù)的本質(zhì)和屬性不能再作邏輯分析了。持這種觀點的典型代表是克羅內(nèi)克，1886年，他曾說過：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余都是人做的工作?！钡?9世紀末數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中，人們還是要求證明自然數(shù)的無矛盾性的——即對自然數(shù)加以準確的邏輯分析和定義。1889年，皮亞諾運用集合論思想給出了自然數(shù)的一個定義。他的定義是所謂“序數(shù)”定義；康托爾等人還給出自然數(shù)的“基數(shù)”定義，當(dāng)然，二者是等價的。至此，人們對數(shù)的認識劃過了一個巨大的圓圈（從自然數(shù)到自然數(shù)），達到了新的層次。

三角函數(shù)（trigonometric function）亦稱圓函數(shù)。是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函數(shù)的總稱。在平面上直角坐標系O—XY中，與x軸正向夾角為a的動徑上取點P，P的坐標是（x,y），OP=r，則正弦函數(shù)sina=y/r，余切函數(shù)ctga=x/y,正割函數(shù)seca=r/x，正切函數(shù)tga=y/x,余切函數(shù)ctga=x/y,正割函數(shù)seca=r/x，余割函數(shù)cseca=x/y，歷史上還用過正矢函數(shù)vera=r-x,余矢函數(shù)coversa=r-y等等。這8種函數(shù)在1631年徐光啟等人編譯的《大測》中已齊備。正弦最早被看作圓內(nèi)圓心角所對的弦長，公元前2世紀古希臘天文學(xué)家希帕雷斯就制造過這種弦表，公元2世紀托勒密又造30°—90°每隔半度的正弦表。5世紀時印度最早引入正弦概念，還給出正弦函數(shù)表，記載于《蘇利耶歷數(shù)書》（約400）中。該書還出現(xiàn)了正矢函數(shù)，現(xiàn)在已很少使用它了。約510年印度數(shù)學(xué)家阿耶波多考慮了余弦概念，傳到歐洲后有多種名稱，17世紀后才統(tǒng)一。正切和余切函數(shù)由日影的測量而引起，9世紀的阿拉伯計算家哈巴什首次編制了一個正切、余切表、10世紀的艾布瓦法又單獨編了第一個正切表。哈巴什還首先提出正割和余割概念，艾布瓦法正式使用。到1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫斯在《三角學(xué)準則》中收入正、余弦，正、余切，正、余割6種函數(shù)，并附有正割表。他還首次用直角三角形的邊長之比定義三角函數(shù)。1748年歐拉第一次以函數(shù)線與半徑的比值定義三角函數(shù)，令圓半徑為1，并創(chuàng)用許多三角函數(shù)符號。至此現(xiàn)代形式的三角函數(shù)開始通行，不斷發(fā)展至今。

幾何作圖問題（problem of geometric construction）指只允許有限次地使用某種特定的工具，畫出適合所給條件的圖形的問題。由于幾何作圖所使用的工具受一定的限制，因此按指定的方法不一定能畫出所求的圖形。若按指定方法能畫出所求圖形時，稱這個問題為作圖可能問題。如果雖然所求的圖形實際是存在的，但按指定的方法畫不出圖形，則稱該問題是作圖不可能問題。又所求圖形實際上不存在，則稱該問題是不成立的。

在幾何作圖問題中，最古老、最重要的是尺規(guī)作圖問題，即作圖只允許使用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規(guī)，亦稱為初等作圖問題。歷史上最早明確提出尺規(guī)限制的是古希臘數(shù)學(xué)家伊諾皮迪斯，以后逐漸成為一種公約。到公元前300年左右，歐幾里得在《幾何原本》中用公設(shè)的形式規(guī)定下來，沿用至今。最著名的幾何作圖問題是古希臘雅典智人學(xué)派提出的三大問題：①三等分任意角；②倍立方，求作一立方體，使其體積是一已知立方體體積的兩倍；③化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。2000多年來，許多數(shù)學(xué)家為了解決這些問題投入了大量精力，但收效甚微。直到17世紀建立解析幾何學(xué)后，尺規(guī)作圖的可能性才有了準則。尺規(guī)作圖問題歸結(jié)為通過兩點作直線和以一點為圓心作通過另一點的圓，從而歸結(jié)為確定若干個點的問題。因此把問題用解析方法表示可以明確作圖的可能性與不可能性。1837年法國數(shù)學(xué)家旺策爾證明了三等分任意角和倍立方問題是尺規(guī)作圖的不可能問題。1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率π的超越性，同時證明了化圓為方問題是尺規(guī)作圖不可能問題。1895年德國數(shù)學(xué)家克萊因總結(jié)了前人的研究結(jié)果，出版了《幾何三大問題》一書，給出三大問題不可能用尺規(guī)作圖的簡明證法，徹底解決了這三個問題。對于幾何作圖，人們追求用最少的工具畫出盡可能多的圖形，因此許多人研究只用直尺或只用圓規(guī)的幾何作圖，得到一系列結(jié)果，其中有代表性的有：丹麥數(shù)學(xué)家莫爾1672年證明了，如果把作直線解釋為求直線上的兩個點，則僅用圓規(guī)就可以解決一切尺規(guī)作圖問題。1797年意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼重新發(fā)表了這一結(jié)果，流傳開來，后人稱為馬斯凱羅尼圓規(guī)問題。1822年法國數(shù)學(xué)家龐斯列指出，給出一個圓與其圓心時，只用直尺就可以解決任何尺規(guī)作圖問題。1833年瑞士數(shù)學(xué)家施泰納完成了該定理的證明，后人稱為施泰納直尺問題。還有一些數(shù)學(xué)家研究限定其他條件的尺子和圓規(guī)的幾何作圖，例如1952年德國數(shù)學(xué)家比貝爾巴赫用直角尺和圓規(guī)解決了三等分任意角和倍立方問題；1979年美國數(shù)學(xué)家佩多提出“生銹圓規(guī)”（即開口固定的圓規(guī)）的兩個作圖問題，我國數(shù)學(xué)工作者張景中等人在這方面得到一系列成果。此外，有時圖形雖是作圖可能的，但作圖法非常復(fù)雜。因此不實用，所以有許多種具有相當(dāng)精度的近似作圖法可以使用，如等分圓周等。

函數(shù)（function）函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本最重要的概念之一。在歷史上，函數(shù)概念的出現(xiàn)與解析幾何的產(chǎn)生有密切聯(lián)系。14世紀的法國數(shù)學(xué)家奧雷姆用圖線表示依時間t而變化的量x為“緯度”，在平面上建立了點與點之間的對應(yīng)。在16世紀，英國數(shù)學(xué)家哈里奧特用直角坐標的概念求出曲線的代數(shù)方程。后來費馬取兩相交點直線，并以到兩直線的距離來規(guī)定點的位置，從而導(dǎo)出圓錐曲線的方程。17世紀上半葉，笛卡兒把變量引入了數(shù)學(xué)，他指出了平面上的點與實數(shù)對（x,y）之間的對應(yīng)關(guān)系。當(dāng)動點作曲線運動時，它的x坐標和y坐標相互依賴并同時發(fā)生變化，其關(guān)系可由包含x、y的方程式給出。相應(yīng)的方程式就揭示了變量x和y之間的關(guān)系。以上這些工作都孕育了函數(shù)的思想。

“函數(shù)”作為數(shù)學(xué)術(shù)語是萊布尼茨首先采用的。他在1692年的論文中第一次提出函數(shù)這一概念。起初他用函數(shù)一詞表示x的冪（即x,x²,x³,…），后來他又用函數(shù)表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等幾何量?，F(xiàn)在一般把萊布尼茨引用的函數(shù)概念的最初形式看作是函數(shù)的第一個定義。把函數(shù)理解為冪的同義語，可以看作是函數(shù)概念的解析的起源；用函數(shù)表示某些幾何量，可以看作是函數(shù)概念的幾何的起源。

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，函數(shù)的定義不斷地改進和明確。以下按時間順序列舉一些有代表性的函數(shù)概念的原始定義，從中我們可以看出函數(shù)的概念是如何隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴張的。

約翰·伯努利（1718）：“一個變量的函數(shù)是指由這個變量和常量以任意一種方式組成的一種量?！?o:p>

歐拉（1748）：“一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達式?！?o:p>

歐拉（時間不詳）：“在xy平面上徒手畫出來的曲線所表示的y與x間的關(guān)系?！?SPAN lang=EN-US>

歐拉（1775）：“如果某些量以如下方式依賴于另一些量，即當(dāng)后者變化時，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一些量是后一些量的函數(shù)。”

拉格朗日（1797）：“所謂一個或幾個量的函數(shù)是指任意一個適于計算的表達式，這些量以任意方式出現(xiàn)在表達式中。表達式中可以有（也可以沒有）其它一些被視為具有給定和不變的值的量，而函數(shù)的量值可以取所有可能的值。因此，在函數(shù)中，我們僅考慮那些假定是變化的量而不去關(guān)心可能包含在其中的常數(shù)?！话愕?，我們用字母f或F放在一個變量的前面以表示該變量的任意一個函數(shù)，即表示依賴于這個變量的任何一個量，它按照一種給定的規(guī)律隨著那個變量一起變化。”

傅立葉（1822）：“一般地，函數(shù)f(x)代表一系列的值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的。對于無限多個給定的橫坐標x的值，有同樣多個縱坐標f(x)。所有的縱坐標都有具體的數(shù)值，或是正數(shù)，或是負數(shù)，或是零。我們不假定這些縱坐標要服從一個共同的規(guī)律；它們以任意一種方式一個接一個地出現(xiàn)，其中的每一個對象是作為單獨的量而給定的?！?o:p>

柯西（1823）：“如果在一些變量之間有這樣的關(guān)系，使得當(dāng)其中之一的值被給定時，便可得出其它所有變量的值。此時，我們通常認為這些變量由它們之中的一個表出，于是這一個量稱為獨立變量，其它被獨立變量所表示的量就稱為這個變量的函數(shù)?！?o:p>

狄利克雷（1837）：“讓我們假定a和b是兩個確定的值，x是一個變量，它順序變化取遍a和b之間所有的值。于是，如果對每個x，有唯一的一個有限的y以如下方式與之對應(yīng)：即當(dāng)x連續(xù)地通過區(qū)間從a到達b時，y=f(x)也類似地順序變化，那么y稱為該區(qū)間中x的連續(xù)函數(shù)。而且，完全不必要求y在整個區(qū)間中按同一規(guī)律依賴于x；確實沒有必要認為函數(shù)僅僅是可以用數(shù)學(xué)運算表示的那種關(guān)系。按幾何概念講，x和y可想象為橫坐標和縱坐標，一個連續(xù)函數(shù)呈現(xiàn)為一條連貫的曲線，a和b之間的每個橫坐標，曲線上僅有一個點與之對應(yīng)?！?o:p>

黎曼（1851）：“我們假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。若對它的每一個值，都有未定量W的唯一的一個值之對應(yīng)，則稱W為Z的函數(shù)，……?！?o:p>

漢克爾（1870）：“f(x)稱作x的一個函數(shù)，如果對于某個區(qū)間內(nèi)的每一個x的值都是唯一的和確定的f(x)的一個值與之對應(yīng)。而且，f(x)從何而來，如何確定，是否由量的解析運算或其它什么方式得到，這些都無關(guān)緊要，所需的只是f(x)的值在各處都是唯一確定的。”

戴德金（1887）：“系統(tǒng)S上的一個映射蘊含了一種規(guī)則，按照這種規(guī)則，S中每一個確定的元素s都對應(yīng)著一個確定的對象，它稱為s的映象，記作Φ（s）。我們也可以說，Φ（s）對應(yīng)于元素s，Φ（s）由映射Φ作用于s而產(chǎn)生或?qū)С觯?I>s經(jīng)映射Φ變換成Φ（s）?！?o:p>

皮亞諾（1911）：“函數(shù)是一種特殊的關(guān)系。根據(jù)這種關(guān)系，變量的每一個值都對應(yīng)著唯一的一個值。我們可以用符號來定義它：定義：函數(shù)=關(guān)系 這就是說，一個函數(shù)是一個關(guān)系u，使得當(dāng)兩對數(shù)y;x和z；x（第二個元素相同）滿足u時，必然有y=z，無論x,y,z可能是什么?！?o:p>

凱里（1917）：“一般而論，兩類數(shù)之間的一個對應(yīng)可稱做一個函數(shù)關(guān)系，如果第一類中的每一個數(shù)都有第二類中的一個數(shù)與之對應(yīng)。跟第一類中的數(shù)相應(yīng)的變量稱為獨立變量，跟第二類中的數(shù)相應(yīng)的變量稱為應(yīng)變量。因此，我們可以說，獨立變量和應(yīng)變量之間存在一個函數(shù)關(guān)系，或象通常所說，稱應(yīng)變量是獨立變量的函數(shù)……”

庫拉托夫斯基（1912）：“集合（a,b）={{a},{a,b}}稱為一個序偶。設(shè)f是一個序偶的集合，如果當(dāng)（x,y）∈f且（x,z）∈f時y=z，則f稱為一個函數(shù)?！?o:p>

布爾巴基（1939）：“設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的一個變元x和F中的變元y之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足跟x的給定關(guān)系。”

微分中值定理（mean value theorem for derivatives）微分中值定理在微積分理論中具有重要作用，它有許多不同的形式。

1691年，法國數(shù)學(xué)家羅爾在關(guān)于代數(shù)方程解法的論著中，證明了：在多項式方程f(x)=0的兩個相鄰的實根之間，f′(x)=0至少有一個實根。后來人們把這個定理推廣到可微函數(shù)，并稱為羅爾定理。

微分學(xué)中最重要的中值定理是拉格朗日定理：可微函數(shù)y=f(x)的平均變化率，必定等于變化區(qū)間的某個中間點處的瞬時變化率。1797年，法國數(shù)學(xué)家

拉格朗日在研究泰勒級數(shù)時，得到下述形式的中值定理

f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)  （a<c<b）。

然后他用這個定理來推導(dǎo)泰勒定理。柯西在他的《無窮小分析教程概論》（1823）中定義導(dǎo)數(shù)時也利用這個結(jié)果，他稱之為平均值定理，形為

Δf=f(x+Δx)-f(x)

  =f′（x+θΔx）Δx（0<θ<1）后人把這個定理推廣到更一般的情形：對于[a、b]上連續(xù)，（a、b）內(nèi)可微的函數(shù)f(x)、g(x)，存在a<ξ<b，使得

f′（ξ）[g(b)-g(a)]= g′（ξ）[f（b）-f(a)],稱為柯西中值定理。

現(xiàn)代微積分中的洛必達法則和泰勒公式都屬于不同形式的微分中值定理，前者由法國數(shù)學(xué)家洛必達在他的《無窮小分析》（1696）中給出，但來源于約翰·伯努到，后者由英國數(shù)學(xué)家泰勒在1712年得到。