操作中建構(gòu)  想象中提升

-----《展開與折疊》的二次教學(xué)實(shí)踐與思考

【案例背景】

構(gòu)建“優(yōu)質(zhì)高效”課堂是深化課堂教學(xué)改革的目標(biāo)之一，我校圍繞這一主題開展了形式多樣的校本研究。數(shù)學(xué)組在“空間與圖形”領(lǐng)域進(jìn)行重點(diǎn)探索，嘗試用“做數(shù)學(xué)”的方式，讓學(xué)生在操作中構(gòu)建，想象中提升，提高動(dòng)手實(shí)踐能力，發(fā)展空間觀念?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在闡述“空間與圖形”的內(nèi)容時(shí)，大量使用“探索……性質(zhì)”這樣的句型，要求學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)中，通過(guò)自主探索認(rèn)識(shí)和掌握?qǐng)D形性質(zhì)，掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法,積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念和推理的能力。那么如何引導(dǎo)學(xué)生有效操作，構(gòu)建新知的認(rèn)識(shí)，又如何借助適當(dāng)想象來(lái)幫助學(xué)生建立相應(yīng)的空間觀念呢？我們教研組選擇《展開與折疊》這課進(jìn)行了磨課研討。

《展開與折疊》是一節(jié)實(shí)踐活動(dòng)課，在本單元中位于長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)和長(zhǎng)方體表面積之間，起著承上啟下的作用。經(jīng)過(guò)對(duì)教材的分析和對(duì)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗(yàn)的了解。我們確定了這樣的教學(xué)目標(biāo)：

1．通過(guò)動(dòng)手操作的探索活動(dòng)，了解“什么是展開，什么是折疊”，掌握長(zhǎng)方體和正方體展開圖的特點(diǎn)。

2．通過(guò)探索活動(dòng)感受立體圖形和平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，建立長(zhǎng)方體或正方體立體圖中的面與展開圖中的面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)空間想象力，發(fā)展空間觀念。

3．在展開與折疊、展示交流與匯報(bào)活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)的對(duì)應(yīng)思想。在操作的過(guò)程中學(xué)會(huì)與人合作，學(xué)會(huì)交流自己的思維方法。

【案例描述與分析】

第一次教學(xué)：

根據(jù)以上教學(xué)目標(biāo)，我在教研組內(nèi)進(jìn)行了第一次教學(xué)，教學(xué)過(guò)程如下：

一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題：

1、欣賞包裝盒圖片。

2、包裝盒都見過(guò)嗎？一般是什么形狀的呢？

（設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從生活中的問(wèn)題入手，引起學(xué)生探究的需要，發(fā)揮其學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，為本節(jié)課探索活動(dòng)的展開做鋪墊。）

二、動(dòng)手探索，總結(jié)規(guī)律

（一）認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體、正方體的展開圖：

1、 師生共同展開長(zhǎng)方體包裝盒。

教師向?qū)W生揭示什么是展開圖：請(qǐng)看，像這樣沿著棱剪開（放下其中一個(gè)面），使這個(gè)長(zhǎng)方體完全的展開，得到一個(gè)六個(gè)面互相連接的平面圖形，我們叫做長(zhǎng)方體的展開圖。

（設(shè)計(jì)意圖：教師展開長(zhǎng)方體，是為學(xué)生指出前進(jìn)的方向，也是為學(xué)生展開想象，把立體圖形轉(zhuǎn)化成平面圖形積累初步表象。）

2、引導(dǎo)學(xué)生理解展開圖中面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3、活動(dòng)一：剪一剪

（1）組內(nèi)剪開學(xué)具。

（2）匯報(bào)并展示展開圖。

（3）引出問(wèn)題：長(zhǎng)方體或正方體的展開圖是唯一的嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷展開的過(guò)程，同學(xué)的合作和要求展開的結(jié)果盡量不相同給了學(xué)生展開過(guò)程中思考的空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。）

（二）正方體的展開與折疊：

1、活動(dòng)二：折一折

（1）學(xué)生用6個(gè)相同的正方形拼、擺，再折疊。體驗(yàn)展開圖的多樣性。

（2）匯報(bào)交流。

（3）教師小結(jié)：正方體（長(zhǎng)方體）的展開圖具有不唯一性。

（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境，給予學(xué)生折疊的需要。學(xué)生經(jīng)歷把平面圖形折疊成立體圖形的過(guò)程，感受立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化。）

2、小結(jié)探索過(guò)程。

小結(jié)：通過(guò)前面的活動(dòng)，我們認(rèn)識(shí)了正方體的展開圖，經(jīng)過(guò)反復(fù)的展開與折疊（板書課題），知道了展開圖上的面與正方體上的面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、練習(xí)應(yīng)用，鞏固提高

1、課本上16頁(yè)，17頁(yè)的練一練第1題，第2題。（投影出示）

先想想下面的展開圖，能不能折疊成正方體，為什么？

2、看圖找相對(duì)的面（投影出示），并請(qǐng)介紹“你是怎么想的？”

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)第一題讓學(xué)生經(jīng)歷再次折疊、判斷的過(guò)程，并且感受長(zhǎng)方體的展開圖與正方體展開圖的區(qū)別，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體展開圖的特點(diǎn)。通過(guò)第二題，請(qǐng)學(xué)生描述自己想的過(guò)程，感受正方體中的面與展開圖中的面的對(duì)應(yīng)關(guān)系。）

四、課堂總結(jié) 暢談感受

   教師問(wèn)：“學(xué)習(xí)到這里，你有什么發(fā)現(xiàn)，有什么收獲，心中還有什么疑問(wèn)？”

五、課外探索 發(fā)散思維

1、看立體圖想展開圖

2、設(shè)計(jì)并制作：運(yùn)用本節(jié)課的知識(shí)，發(fā)揮想象設(shè)計(jì)一個(gè)立體圖形，并制作出來(lái)。

（設(shè)計(jì)意圖：這兩道練習(xí)題的設(shè)計(jì)，是給學(xué)生一個(gè)開放的思考空間，把已經(jīng)初步形成的空間觀念進(jìn)一步鞏固加深。）

第一次教學(xué)后的辯課與思考

評(píng)課中，老師們對(duì)學(xué)生是否掌握了一個(gè)平面圖形能否折疊成長(zhǎng)方體、正方體的方法進(jìn)行了爭(zhēng)辯。

有的老師認(rèn)為本節(jié)課通過(guò)剪一剪、折一折、比一比、畫一畫等環(huán)節(jié)，用邊操作邊講解的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生經(jīng)歷了反復(fù)的展開與折疊的過(guò)程，建立體與面的轉(zhuǎn)換模型，感悟并初步認(rèn)識(shí)立體圖中的面與展開圖中的面的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而培養(yǎng)其空間觀念。通過(guò)一系列的操作活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)建立起展開圖與立體圖形之間的關(guān)系。

可大多數(shù)老師卻認(rèn)為本節(jié)課內(nèi)容對(duì)學(xué)生的空間觀念要求比較高，許多學(xué)生感到困難，盡管充分利用附頁(yè)中的材料與實(shí)際的包裝盒，學(xué)生確實(shí)也經(jīng)歷了操作，但僅有操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，要在操作中不斷地引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較并想象，找準(zhǔn)立體圖形與平面圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，只有安排適當(dāng)?shù)南胂蟓h(huán)節(jié)，才能讓學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上有所提升。否則讓人覺得浮于表面，沒有進(jìn)行深層次的研究，因?yàn)闆]有在操作的基礎(chǔ)上有所提升，形成相應(yīng)的空間觀念，學(xué)生掌握的不到位，也就達(dá)不到優(yōu)質(zhì)高效課堂的要求。

經(jīng)過(guò)辯課，大家認(rèn)為像這種空間與圖形的課，不僅要讓學(xué)生充分操作，體驗(yàn)并構(gòu)建表象的認(rèn)識(shí)，更要引導(dǎo)在想象中提升空間觀念與推理能力。另外。操作是十分耗時(shí)的，且正方體的展開與折疊比長(zhǎng)方體更要抽象更難一些。我們可以把剪正方體的展開圖放到課前，讓學(xué)生先去剪一剪。

第二次教學(xué)

根據(jù)大家的討論意見，再次設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，在保持原有精彩的環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，我們重新調(diào)整了導(dǎo)入與正方體的展開與折疊的教學(xué)環(huán)節(jié)。

……

一、   活動(dòng)1：看一看、想一想。

（課前讓展開與折疊的動(dòng)畫過(guò)程進(jìn)行自動(dòng)播放）

師：剛才我觀察到很多同學(xué)都被課件上的動(dòng)畫吸引了，誰(shuí)能用描述一下這個(gè)正方體的狀態(tài)。(展開與折疊)對(duì)了，象這個(gè)正方體可以展開、又可以重新折疊，那其它正方體是不是也可以這樣呢？它的展開與折疊又有什么規(guī)律嗎？這就是我們這節(jié)課要研究的問(wèn)題。(引入課題)

二、活動(dòng)2：折一折、想一想、標(biāo)一標(biāo)、示一示。

折一折

師：為了讓我們的課堂有更多時(shí)間交流探討問(wèn)題，老師讓你們?cè)谡n前找出正方體，并剪出了它們的展開圖?，F(xiàn)在請(qǐng)你們拿出來(lái)，準(zhǔn)備好。

師：現(xiàn)在，請(qǐng)你們拿出一個(gè)正方體的展開圖，觀察一下：展開圖的各個(gè)面是什么形狀？為什么？各個(gè)面的邊與正方體的棱有什么聯(lián)系？

想一想

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們拿著正方體展開圖，重新折疊起來(lái)，再慢慢展開，想象著：正方體的每個(gè)面跑到哪去了？相對(duì)的面跑到哪里去了？要注意，這里的操作不要太快，要認(rèn)真地想象。你是否在認(rèn)真地想象，老師是可以從你的狀態(tài)看出來(lái)的。自己的操作完畢與同桌互換再進(jìn)行操作。

標(biāo)一標(biāo)

師：把相對(duì)應(yīng)的面用相同的符號(hào)標(biāo)出來(lái)。

示一示

剛才是邊操作邊想象，現(xiàn)在老師要提高要求了，讓你看著展開圖想象折疊的過(guò)程，看著正方體想象展開的過(guò)程。(學(xué)生看、想--課件演示。重復(fù)兩遍)

課前同學(xué)們準(zhǔn)備了各種正方體的展開圖，現(xiàn)在我們?cè)谛〗M里進(jìn)行分享。

請(qǐng)注意：

1、檢查這些展開圖是否均是正方體的展開圖。

2、選擇兩個(gè)其他同學(xué)的展開圖進(jìn)行展開與折疊的過(guò)程。

3、統(tǒng)計(jì)出小組里共有幾種正方體的展開圖（重復(fù)的不算），評(píng)選出優(yōu)秀作品。學(xué)生小組里交流，師巡視參與。

各小組推薦優(yōu)秀作品進(jìn)行展評(píng)，注意把學(xué)生的作品作為考驗(yàn)學(xué)生觀察能力及空間觀念的載體。師：請(qǐng)觀察這些展開圖是否都能折疊成正方體？有沒有重復(fù)的情況？

活動(dòng)3:比一比、思一思。

比一比

師：老師這里還有兩個(gè)作品，跟這里面的都不同，也放到這里吧，行嗎？

讓學(xué)生分析思考后發(fā)現(xiàn)，不能折疊成正方體，通過(guò)對(duì)比知道并不是6個(gè)正方體連在一起就一定能折成正方體的，從而充實(shí)感性認(rèn)識(shí)，提高理性認(rèn)識(shí)。

思一思

師：看著同學(xué)們這么多的優(yōu)秀作品，老師很高興，同時(shí)也產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題。這些正方體的展開圖中，它們是否存在什么規(guī)律呢？

 (學(xué)生思考后回答，學(xué)生不一定說(shuō)得很完整，只要能用自己的語(yǔ)言表述即可。在操作想象后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性的觀察與分析。)

“第一行最多一排都有四個(gè)正方形的情況等”分類方法，在師生共同探討中將展開圖歸類為“141型（6種）”“231型（或132型3種）”“33型（1種）”“222型（1種）”。

【思考】

一、在操作中構(gòu)建對(duì)應(yīng)關(guān)系

 “展開與折疊”這節(jié)課主要目的是通過(guò)動(dòng)手操作，讓學(xué)生知道長(zhǎng)方體、正方體的展開圖，加深對(duì)長(zhǎng)方體、正方體的認(rèn)識(shí)；在想象、操作等活動(dòng)中，找到立體圖形與平面圖形中的面對(duì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)展其空間觀念，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。教學(xué)中，教師充分利用教材附頁(yè)中的材料與長(zhǎng)方體的實(shí)物，讓學(xué)生剪一剪、折一折，幫助學(xué)生操作、思考、判斷，逐步構(gòu)建起對(duì)長(zhǎng)方體、正方體展開圖的認(rèn)識(shí)，從而建立表象。學(xué)生的操作也不是盲目地動(dòng)手做，而是有目的的在教師合理地引導(dǎo)下操作，如學(xué)生在剪、拆盒子時(shí)，很容易把盒子拆散了，無(wú)法形成完整的展開圖。教師就先示范剪成展開圖，再讓學(xué)生模仿著剪。無(wú)論是長(zhǎng)方體的展開，還是正方體的折疊，每個(gè)學(xué)生都親歷整個(gè)操作過(guò)程，在操作中感悟到“什么是展開”， “什么是折疊”。由于剪的方法不同，展開的形狀也可能是不同的。

操作是學(xué)習(xí)這一內(nèi)容的基礎(chǔ)，它是構(gòu)建知識(shí)最原始的方法，但學(xué)習(xí)的最終目的是脫離實(shí)物操作，能通過(guò)觀察、想象來(lái)判斷平面圖形是否是某個(gè)立體圖形的展開圖，或某個(gè)展開圖能否折疊成長(zhǎng)方體、正方體。因此，在教學(xué)中，建立長(zhǎng)方體或正方體中的面與展開圖中的面的對(duì)應(yīng)關(guān)系是十分關(guān)鍵與重要的。在第二次教學(xué)中，教師用“標(biāo)一標(biāo)”的方式，讓學(xué)生把相對(duì)應(yīng)的面用相同的符號(hào)標(biāo)出來(lái)，在操作中有效地突破了這一難點(diǎn)，更好地幫助學(xué)生構(gòu)建起立體圖形與平面圖形之間的對(duì)應(yīng)對(duì)策。

二、在想象中形成空間觀念

操作的目的是促進(jìn)學(xué)生建立表象，幫助學(xué)生理解并發(fā)展空間觀念。因此，在實(shí)物操作的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)“觀察想象實(shí)物展開或折疊的過(guò)程”，甚至“閉上眼睛想象”都是十分必要的。學(xué)生只有不斷地經(jīng)歷想象、驗(yàn)證的過(guò)程，才能建立起表象，形成空間觀念。

在第二次教學(xué)中，教師就十分重視想象的過(guò)程，如：“想一想”中，要求想象：正面跑到哪里去了？相對(duì)的面跑到哪里去了？還要求操作要慢，但要認(rèn)真想象。在操作想象的基礎(chǔ)上，進(jìn)行“示一示”，讓學(xué)生看著展開圖想象折疊的過(guò)程，和展開的過(guò)程，并借助課件的展示強(qiáng)化空間觀念的形成。

三、在分類中提升規(guī)律性認(rèn)識(shí)

在第二次教學(xué)中，教師在展示學(xué)生作品的基礎(chǔ)上，分類出示了11種正方體的展開圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律地認(rèn)識(shí)。這是一個(gè)值得商榷的環(huán)節(jié)。首先我們要正確地理解并運(yùn)用這一分類。因?yàn)椋@里的展開圖只是用于發(fā)展學(xué)生空間觀念的載體，在學(xué)生交流時(shí)，可以通過(guò)展示圖讓學(xué)生觀察想象。但不宜把它作為一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)教學(xué)，更不宜讓學(xué)生去記憶。因?yàn)樾问缴系挠洃?、識(shí)別并不能真正起到學(xué)生發(fā)展空間觀念的作用，背離了本課的教學(xué)目標(biāo)。其次，我們要站在學(xué)生的角度去看，學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，當(dāng)分類呈現(xiàn)后，能否從中得一些啟發(fā)，來(lái)幫助學(xué)生更好、更準(zhǔn)確地判斷一個(gè)展開圖與立體圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。再次，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的定位必須十分慎重，不能讓發(fā)現(xiàn)規(guī)律、熟記規(guī)律成為這節(jié)課的主線，操作與想象的過(guò)程仍應(yīng)該是這節(jié)課中牢牢把握的重點(diǎn)過(guò)程，這是他們空間觀念形成的重要途徑。