一、數(shù)學(xué)的應(yīng)用

    什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)。它的研究對象主要是“數(shù)”與“形”。一百多年前，恩格斯就曾給數(shù)學(xué)下過一個定義：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！币话俣嗄赀^去了，數(shù)學(xué)的發(fā)展使得數(shù)學(xué)的研究對象，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了“數(shù)”與“形”的范疇，于是出現(xiàn)了一些其他定義。但是，我依然認(rèn)為恩格斯的說法，是對數(shù)學(xué)的較好概括。這是因為，無論如何，數(shù)學(xué)首要的和基本的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，恩格斯的說法明確地指出了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。

    伽利略說過：“大自然，這部偉大的書，是用數(shù)學(xué)語言寫成的。”自然界中的一切事物，都有“數(shù)”與“形”兩個側(cè)面。因此，數(shù)學(xué)所描述的數(shù)量關(guān)系與空間形式，就自然成為物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)的重要基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)為這些科學(xué)提供了描述規(guī)律的語言和探索未知世界的一種工具。

    回顧科學(xué)發(fā)展的歷史，就會發(fā)現(xiàn)，物理學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)的任何重大發(fā)展無不與數(shù)學(xué)的進(jìn)步息息相關(guān)。比如，牛頓力學(xué)，特別是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，依賴于微積分創(chuàng)立；而愛因斯坦的相對論則以黎曼幾何為其基礎(chǔ)。著名數(shù)學(xué)家黎曼曾經(jīng)指出：“只有在微積分創(chuàng)立之后，物理才發(fā)展成為一門真正意義下的科學(xué)。”

    與其他基礎(chǔ)科學(xué)相比，數(shù)學(xué)最重要的特征是其研究對象的抽象性，它決定了數(shù)學(xué)的其他特征，并使它區(qū)別于自然科學(xué)。

    任何數(shù)字都是抽象的，它舍棄了觀察對象的一切其他屬性，而只關(guān)注其數(shù)量。數(shù)字“l(fā)”既可以代表一個蘋果，也可以代表一只羊，或一座山。數(shù)字“1”就是忽略了蘋果、羊、山等事物的差異，而只從數(shù)量上加以抽象。從具體數(shù)字再發(fā)展到一個代表量的文字“z”，是進(jìn)一步的抽象。至于函數(shù)y一廠(z)，則是更進(jìn)一步的抽象。在幾何中的點(diǎn)、直線、圓、平面同樣是對現(xiàn)實(shí)世界中事物的抽象，同樣是人們?yōu)槊枋霈F(xiàn)實(shí)生活中某些事物而創(chuàng)造的一種語言。比如，在世界地圖上，北京可以看成一個點(diǎn)，而在中國地圖中，天安門可以看成一點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”實(shí)際上就是我們所考察的事物位置的抽象，它沒有大小，沒有面積，只有位置的不同。

    數(shù)學(xué)研究對象的抽象性決定了它的應(yīng)用廣泛性。1+1—2不僅適用于蘋果、羊、山，而且適用于一切事物。一個函數(shù)y—Asin c衄可以代表電場的電流或電壓的變化規(guī)律，也可以代表某種波動的規(guī)律。許多完全不同事物提出的問題可以歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模型。

    數(shù)學(xué)研究對象的抽象性又決定了數(shù)學(xué)的演繹性。在生物學(xué)中，要斷言麻雀有胃并不難，只要解剖幾個麻雀就足夠了，而在數(shù)學(xué)中，要說明勾股定理成立，不能只靠驗證幾個直角三角形，而需要證明。當(dāng)然，數(shù)學(xué)研究中，在其探索階段或許會用到歸納的辦法。但是，歸納出來的結(jié)論，不能作為定論，而只能作為一種猜測，有待于將來的證明或者否定。這就是說，數(shù)學(xué)中要確立一條規(guī)律只能依靠嚴(yán)格的邏輯推理，而不能靠經(jīng)驗或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，更不能靠人們的直覺或想當(dāng)然。比如，許多大于2的偶數(shù)都可以表成兩個奇素數(shù)之和，但是不能因此而說一切偶數(shù)皆如此。又如，我們測量了很多三角形的三個內(nèi)角之和等于180。，但是不能因此而得出所有三角形都如此的結(jié)論，需要嚴(yán)格證明。

    數(shù)學(xué)的這種精神，早在2500多年之前就確定了——這是古希臘人的功勞。它一直被作為數(shù)學(xué)的基本精神沿承至今。古希臘人對數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)在于，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)中的每一個命題，都要根據(jù)明白無誤的假定和事先給定的公理與公設(shè)，由形式邏輯推演出來。正是由于有了這種精神，古希臘人才發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，并導(dǎo)致歐幾里得《幾何原本》的誕生，使得古希臘的數(shù)學(xué)成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了同時代的其他文明古國。后來在歐洲文藝復(fù)興時期，古希臘的這種精神在歐洲發(fā)揚(yáng)光大，并帶動了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的發(fā)展。比如，微積分的創(chuàng)立、萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)等。

    反映這種科學(xué)精神巨大成功的一個典型事例是非歐幾何的誕生。歐幾里得《幾何原本》剛一誕生，人們就試圖用其他公設(shè)來證明歐幾里得第五公設(shè)即平行公設(shè)。相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家投入這種努力，然而統(tǒng)統(tǒng)都失敗了。兩千多年的失敗，迫使人們放棄這種努力，并從另一個角度考慮問題：放棄平行公設(shè)，并把一個與平行相反的命題作為新的公設(shè)，這就產(chǎn)生了非歐幾何。它從此打破了兩千多年來歐幾里得幾何的“一統(tǒng)天下”，是人類對空間認(rèn)識的一場革命。它的發(fā)展進(jìn)一步導(dǎo)致了黎曼幾何，而黎曼幾何成為愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

    從試圖證明平行公設(shè)開始，到非歐幾何的誕生，再到廣義相對論，充分說明了古希臘人所確立的數(shù)學(xué)精神的巨大意義。數(shù)學(xué)的這種精神，使人類擺脫了狹隘經(jīng)驗的束縛，促使人們理性地思考與認(rèn)識世界，并頑強(qiáng)地追求理性的完美。作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)當(dāng)全面認(rèn)識數(shù)學(xué)科學(xué)，反對實(shí)用主義。把數(shù)學(xué)分成“有用的數(shù)學(xué)”與“無用的數(shù)學(xué)”的提法，是完全錯誤的。

    中國的古代在數(shù)學(xué)上有重要貢獻(xiàn)，但并沒有形成一個演繹系統(tǒng)。在我國，人們認(rèn)識到科學(xué)以及科學(xué)精神的重要性，是很晚的事——五四時期。那是在屢遭失敗并付出巨大代價之后得出的結(jié)論。

    由于數(shù)學(xué)的結(jié)論是邏輯演繹的結(jié)果，所以數(shù)學(xué)的結(jié)論是永恒的，不會隨時代變遷而改變。數(shù)學(xué)是這樣一門科學(xué)，它的發(fā)展不是對于舊有理論的否定。非歐幾何并不是對歐氏幾何的否定．兩者都成立，只不過是在不同的公理體系下而已。

    人們或許會認(rèn)為，在歷史上數(shù)學(xué)是重要的，但今天是高科技時代，抽象數(shù)學(xué)已經(jīng)沒有那么重要了。恰恰相反，高科技的發(fā)展的基石是數(shù)學(xué)，而且高科技的發(fā)展才使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用達(dá)到空前的廣泛。

    在高科技時代，自然科學(xué)的各個研究領(lǐng)域都已進(jìn)入更深的層次和更廣的范疇，這時就更加需要數(shù)學(xué)。在這種情況下，一度被認(rèn)為沒有應(yīng)用價值的某些抽象的數(shù)學(xué)概念和理論，出人意料地在其他領(lǐng)域中找到了它們的原型與應(yīng)用。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的關(guān)系從來沒有像今天這樣密切，恩格斯過去所說“數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用是線性方程組，而在生物學(xué)中的應(yīng)用是零”的狀況早已成為歷史，數(shù)學(xué)中的許多高深理論與方法正在廣泛而深

人地滲透到自然科學(xué)研究的各個領(lǐng)域中去。例如，分子生物學(xué)中DNA結(jié)構(gòu)的研究與數(shù)學(xué)中的扭結(jié)理論有關(guān)，而理論物理中的規(guī)范場論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關(guān)。至于現(xiàn)代理論物理則用到了許多當(dāng)代純數(shù)學(xué)理論。20世紀(jì)80年代，美國自然科學(xué)基金會曾經(jīng)指出，當(dāng)代自然科學(xué)的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的趨勢。

    現(xiàn)在，我們要進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)是今天高科技的基礎(chǔ)。

20世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就首推電子計算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用，它改變了人們的日常生活的方方面面，并使人類進(jìn)入信息時代。然而，大家公認(rèn)電子計算機(jī)的發(fā)明應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)家：圖靈和馮·諾依曼。在電子計算機(jī)出現(xiàn)之前，數(shù)理邏輯中就有一種理想機(jī)(后來人稱圖靈機(jī))，它實(shí)際上是電子計算機(jī)的雛形。   

今天，IT技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于人類生活，使我們無處不感到它的存在。然而，享用這些成果的人們卻往往只看到技術(shù)成果，而看不到這些技術(shù)背后起到關(guān)鍵作用的數(shù)學(xué)。

    這樣的例子很多。醫(yī)學(xué)上的CT技術(shù)，中文印刷排版的自動化，波音777的計算機(jī)模擬設(shè)

計，指紋的識別，石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)安全技術(shù)等，在這些形形色色的成就背后，數(shù)學(xué)都扮演著十分重要的不可缺少的角色。數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域內(nèi)不是一種可有可無的參考，而常常是問題的關(guān)鍵。

    1985年，美國國家研究委員會在一份報告中指出：數(shù)學(xué)是推動計算機(jī)技術(shù)發(fā)展和促進(jìn)這種技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)科學(xué)，還強(qiáng)調(diào)指出，數(shù)學(xué)是一個大有潛力的資源，有待人們?nèi)ゴ罅﹂_發(fā)。該委員會把數(shù)學(xué)與能源、材料等并列為必須優(yōu)先發(fā)展的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。

    前美國總統(tǒng)科學(xué)顧問艾德華·大衛(wèi)說過一句重要的話：很少人認(rèn)識到當(dāng)今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。這句話不是要否定各種硬件技術(shù)發(fā)展的意義，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在高技術(shù)中的關(guān)鍵性，是要強(qiáng)調(diào)高技術(shù)中數(shù)學(xué)的不可或缺性。從這個意義上講，他的見解無疑是正確的，并且是富有遠(yuǎn)見的。

    現(xiàn)在，讓我們談?wù)剶?shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)及管理科學(xué)之間的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)模型研究宏觀經(jīng)濟(jì)與微觀經(jīng)濟(jì)，用數(shù)學(xué)手段進(jìn)行市場調(diào)查與預(yù)測，用數(shù)學(xué)理論進(jìn)行風(fēng)險分析和指導(dǎo)金融投資，在發(fā)達(dá)國家已被廣泛采用，在我國也開始受到重視。在數(shù)學(xué)中，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)、優(yōu)化與決策、實(shí)驗設(shè)計、隨機(jī)微分方程等，都是專門針對這些問題的數(shù)學(xué)理論。中國科學(xué)院從過去的一個數(shù)學(xué)研究所發(fā)展成現(xiàn)在的五個所，越來越多的數(shù)學(xué)工作者從事跟經(jīng)濟(jì)、管理、金融有關(guān)的研究。他們在國家的糧食產(chǎn)量預(yù)報、外匯管理等一系列問題上，為國家的決策提出了重要參考意見。近年來，我國的許多高等院校都增設(shè)統(tǒng)計系，乃至金融數(shù)學(xué)系。這些現(xiàn)象都反映了數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)的深刻聯(lián)系，也反映了社會對于這方面的數(shù)學(xué)人才的需求。

    在經(jīng)濟(jì)與金融的理論研究上，數(shù)學(xué)的地位更加特殊。大家知道數(shù)學(xué)沒有諾貝爾獎。但數(shù)學(xué)家卻從經(jīng)濟(jì)學(xué)獲得了諾貝爾獎。在諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的獲得者當(dāng)中，數(shù)學(xué)家占了相當(dāng)大的比例(21世紀(jì)初的統(tǒng)計數(shù)字為17／27)。美國電影《美麗的心靈》就是描述了這樣一位數(shù)學(xué)家——納什。

二、數(shù)學(xué)教育的價值

    下面讓我們談?wù)剶?shù)學(xué)教育的價值，主要是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的價值。

    我認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的目的有以下三個方面：傳授初等數(shù)學(xué)知識；進(jìn)行邏輯推理訓(xùn)練；培育科學(xué)精神。

    這里所謂的初等數(shù)學(xué)，是相對于高等數(shù)學(xué)而言的。通常，人們把微積分以后的數(shù)學(xué)稱作高等數(shù)學(xué)，而把此前的數(shù)學(xué)稱作初等數(shù)學(xué)；其內(nèi)容應(yīng)當(dāng)主要是：初等代數(shù)，歐幾里得幾何，三角函數(shù)，解析幾何初步等等。目前，許多國家在高中階段講一點(diǎn)微積分、概率與統(tǒng)計。盡管如此，中學(xué)所講的數(shù)學(xué)基本上是以初等數(shù)學(xué)為主。

    中學(xué)所講的這些數(shù)學(xué)知識是學(xué)生在未來的工作與學(xué)習(xí)所必須的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，沒有一個堅實(shí)的初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，要學(xué)好高等數(shù)學(xué)是不可能的。而沒有高等數(shù)學(xué)知識，又怎么學(xué)習(xí)近代的其他科學(xué)的知識呢?不用說理科與工科各個專業(yè)，就是一些文科專業(yè)，比如，經(jīng)濟(jì)類各專業(yè)，統(tǒng)計專業(yè)，金融專業(yè)，以及經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)，同樣需要較多高等數(shù)學(xué)的知識。我們應(yīng)該看到，用拍腦門的辦法制定政策的時代已經(jīng)結(jié)束。一個正確的決定需要一個科學(xué)的定量分析，這就不能沒有數(shù)學(xué)的參與，不論你愿不愿意，都是如此。在一些非理科專業(yè)工作的而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的人們，在遇到數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)理論時，往往束手無策。想要搞清這些概念，為時已晚。數(shù)學(xué)這門學(xué)科有一個特點(diǎn)，即知識的連續(xù)性很強(qiáng)。要想懂得高等數(shù)學(xué)，就得先學(xué)好初等數(shù)學(xué)。而初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要時日，而且需要在少年時代學(xué)習(xí)，就像學(xué)語言一樣。過了一定的年齡，再來學(xué)語言與算術(shù)已經(jīng)不成了。沒有這樣的基礎(chǔ)的人就只能是一個“心中無數(shù)的”人，更談不上從事較高的專業(yè)性工作。

    以上是從傳授知識層面而言的。然而數(shù)學(xué)教育的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是知識的傳授，更為重要的應(yīng)該是，數(shù)學(xué)的訓(xùn)練對青少年的心智、潛能的開發(fā)與提升，是深刻的、長遠(yuǎn)的，而且也是其他學(xué)科所不能替代的。

    說到這里，我們需要專門講講歐幾里得幾何這門課，因為它是最能代表數(shù)學(xué)演繹精神和數(shù)學(xué)的教育意義的。大幅度削減幾何課的內(nèi)容與訓(xùn)練是目前實(shí)施的課程標(biāo)準(zhǔn)的一大缺失。

    初中的平面幾何，應(yīng)該是初中數(shù)學(xué)教育最重要的一門課。它在整個中等教育占有特殊的地位：在青少年時期，歐氏幾何的學(xué)習(xí)對于一個人的推理能力的訓(xùn)練與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神的養(yǎng)成，是必不可少的。如果一個人不懂得歐氏幾何，很難說他懂得數(shù)學(xué)，也很難說他懂得什么是邏輯推理，就更難說他懂得什么是科學(xué)。

    有人說，世界各國大多不再講授歐氏幾何，這根本不是事實(shí)，純屬誤解。而應(yīng)當(dāng)說：用什么方式去講解歐氏幾何，什么時候講，講多講少，各國各有不同。歐洲、日本、美國都有自己的做法，各不相同，但是無論如何不能認(rèn)為世界各國都不講歐氏幾何。

    歐幾里得幾何的原型是歐幾里得所編的《幾何原本》，出現(xiàn)在公元前270年左右，它是人類文明中的一座輝煌大廈。歐幾里得在這本書中構(gòu)建了人類有史以來的第一個完整的邏輯體系，它的完美、嚴(yán)密、精巧令人贊嘆不已。愛因斯坦說：“在邏輯推理上的這種令人驚嘆的勝利，使得人類為他們的未來成就獲得了必要的信心?！?/FONT>