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漫談數(shù)學(xué)開放題 開放題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種新題型，它是相對(duì)于傳統(tǒng)的封閉題而言的。開放題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識(shí)，這是一種新的教育理念的具體體現(xiàn)?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計(jì)的，學(xué)生在學(xué)習(xí)中缺乏主動(dòng)參與的過程。那么在教材還沒有提供足夠的開放題之前，好的開放題從那里來？我認(rèn)為最現(xiàn)實(shí)的辦法是讓“封閉”題“開放”。 一、開放意識(shí)的形成
學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過渡到社會(huì)人、使社會(huì)人更好地服務(wù)于社會(huì)，由于社會(huì)時(shí)刻在發(fā)生著變化，因此，一個(gè)良好的社會(huì)人必需具備適應(yīng)社會(huì)變化的能力。讓學(xué)生懂得用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學(xué)生做題的被動(dòng)的、封閉的意識(shí)，為了使數(shù)學(xué)適應(yīng)時(shí)代的需要，我們選擇了數(shù)學(xué)開放題作為一個(gè)切入口，開放題的引入，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開放化和個(gè)性化，從發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。
關(guān)于開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變設(shè)問方式，增強(qiáng)問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對(duì)命題賦予新的解釋進(jìn)而形成和發(fā)現(xiàn)新的問題。近兩年高考題中也出現(xiàn)了開放題的“影子”，如1998年第（19）題：“關(guān)于函數(shù)f(x)=4Sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命題：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數(shù)倍；②y=f(x)的表達(dá)式可改寫為y=4Cos(2x-π/6):③y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（-π/6，0）對(duì)稱；④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-π/6對(duì)稱。其中正確的命題是──（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）”顯然《高中代數(shù)》上冊第184頁例4“作函數(shù)y=3Sin(2x+π/3)的簡圖?！笨勺鳛槠湓汀W(xué)生如果明白這些道理就會(huì)產(chǎn)生對(duì)問題開放的需求，逐步形成自覺的開放意識(shí)。又如2000年理19文20題 函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)取值范圍問題（既有條件開放又有結(jié)論的開放，條件上，對(duì)，是選擇，還是選擇？選擇前者則得，以后的道路荊棘叢生，而選擇后者則有，以后的道路一片光明；結(jié)論開放體現(xiàn)在結(jié)論分為兩段，一段上可使函數(shù)單調(diào)，另一段上不單調(diào)，且證明不單調(diào)的方法是尋找反例）；
從數(shù)學(xué)考試中引進(jìn)一定的結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景的問題和開放性問題，已引起了廣大數(shù)學(xué)教育工作者的極大關(guān)注，開放題的研究已成為數(shù)學(xué)教育的一個(gè)熱點(diǎn)。
二、開放問題的構(gòu)建
有了開放的意識(shí)，加上方法指導(dǎo)，開放才會(huì)成為可能。開放問題的構(gòu)建主要從兩個(gè)方面進(jìn)行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據(jù)創(chuàng)造的三要素：“結(jié)構(gòu)、關(guān)系、順序”，我們可以為學(xué)生構(gòu)建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式：
〔例1〕已知 ,并且求證（《高中代數(shù)》下冊第12頁例7）
除教材介紹的方法外，根據(jù)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征，改變一下考察問題的角度，或同時(shí)對(duì)目標(biāo)的結(jié)構(gòu)作些調(diào)整、重新組合，可獲得如下思路：兩點(diǎn)（b,a）、(-m,-m)的連線的斜率大于兩點(diǎn)（b,a）、(0,0)的連線的斜率；b個(gè)單位溶液中有a個(gè)單位溶質(zhì)，其濃度小于加入m個(gè)單位溶質(zhì)后的濃度；在數(shù)軸上的原點(diǎn)和坐標(biāo)為1的點(diǎn)處，分別放置質(zhì)量為m、a的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心，位于分別放置質(zhì)量為m、b的質(zhì)點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)系的重心的左側(cè)等。
〔例2〕用實(shí)際例子說明所表示的意義
給變量賦予不同的內(nèi)涵，就可得出函數(shù)不同的解釋，我們從物理和經(jīng)濟(jì)兩個(gè)角度出發(fā)給出實(shí)例。
1.X表示時(shí)間（單位：s），y表示速度（單位：m/s），開始計(jì)時(shí)后質(zhì)點(diǎn)以10/s的初速度作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為2m/s2，5秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以20/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，10秒鐘后質(zhì)點(diǎn)以-2m/s2的加速度作勻減速運(yùn)動(dòng)，直到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到20秒末停下。
2.季節(jié)性服飾在當(dāng)季即將到來之時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢，設(shè)某服飾開始時(shí)定價(jià)為10元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，5周后開始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售，10周后當(dāng)季即將過去，平均每周削價(jià)2元，直到20周末該服飾不再銷售。
函數(shù)概念的形成，一般是從具體的實(shí)例開始的，但在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，往往較少考慮實(shí)際意義，本題旨在通過學(xué)生根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)給出函數(shù)的實(shí)際解釋，體會(huì)到數(shù)學(xué)概念的一般性和背景的多樣性。這是對(duì)問題理解上的開放。
〔例3〕由圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點(diǎn)的軌跡方程。（《高中平面解析幾何》復(fù)習(xí)參考題二第11題）（答案：x2/4+y2=1）
問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點(diǎn)”等。然后對(duì)這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。
對(duì)A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A（大小或形狀或位置）就可使問題向三個(gè)方向延伸。
如改變位置，將A寫成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化（取a=0），并進(jìn)行新的組合便有問題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由。
簡解：解方程組得 y=0 或y=2b/3
當(dāng)y=0時(shí)，x2+b2=4，
（1）若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)；
（2）若b=±2，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）若 -2<b<2，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。
當(dāng)y=2b/3時(shí),x2+b2/9=4，
（1）若b<-6或b>6，圓與橢圓沒有公共點(diǎn)；
（2）若b=±6，圓與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)；
（3）若-6<b<6，圓與橢圓恰有二個(gè)公共點(diǎn)。
綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當(dāng)b<-6或b>6時(shí)沒有公共點(diǎn)；當(dāng)b=±6時(shí)恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-6<b<-2或b=0或2<b<6時(shí)恰有二個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)b=±2時(shí)恰有三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)-2<b<0或0<b<2時(shí)恰有四個(gè)公共點(diǎn)。
上面的解法是從“數(shù)”著手，也可以從“形”著手分析。
再進(jìn)一步延伸，得：當(dāng)b>6時(shí)，圓x2+(y-b)2=4上的點(diǎn)到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點(diǎn)的最大距離是多少？這個(gè)問題的解決是對(duì)數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等思想的進(jìn)一步強(qiáng)化。
對(duì)B而言，它是一條特殊的直線，通過對(duì)其位置的變更可產(chǎn)生許多有意義的問題；而C是一種特殊的線段分點(diǎn)，同樣可以使其推廣到一般，若對(duì)由此產(chǎn)生的結(jié)果繼續(xù)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)以往的一些會(huì)考、高考試題。
三．開放問題的探索
開放的行為給上面三個(gè)簡單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識(shí)的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。以下以拋物線的焦點(diǎn)弦問題為例來看開放問題的探索。
〔例4〕已知拋物線，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A（x1，y1），B（x1，y）兩點(diǎn)，P（x0，y0）是線段AB的中點(diǎn)；拋物線的準(zhǔn)線為l，分別過點(diǎn)A、B、P作x軸的平行線，依次交l于M、N、Q，連接FM、FN、FQ、AQ和BQ（如圖）
（1）試盡可能地找出：
（a）點(diǎn)A、B、P的縱、橫6個(gè)坐標(biāo)所滿足的等量關(guān)系；
（b）圖中各線段的垂直關(guān)系.
（2）如果允許引輔助線，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？
〔分析與解〕（1）（a）點(diǎn)A、B、P的6個(gè)坐標(biāo)x1，y1；x2，y2；x0，y0之間至少有下列等量關(guān)系：
①②③④
⑤⑥
“所有的畫都是以只有3種原色的方式構(gòu)成的。每當(dāng)我們把某樣?xùn)|西說成是新的的時(shí)候，我們真正談?wù)摰氖乾F(xiàn)有元素獨(dú)特的存在方式?！本邆鋵?duì)“封閉”題“開放”的意識(shí)的學(xué)生，事實(shí)上就有了創(chuàng)造意識(shí)，這種意識(shí)驅(qū)動(dòng)下的實(shí)踐自然會(huì)使創(chuàng)造力得以發(fā)展；同時(shí)，隨著高考命題改革的進(jìn)一步深入，我想這樣的“開放”會(huì)在高考中更顯示其生命力。
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