圖模型用圖結(jié)構(gòu)描述隨機(jī)變量之間的依賴關(guān)系，結(jié)點(diǎn)表示隨機(jī)變量，邊表示隨機(jī)變量之間的依賴關(guān)系，可以是有向圖和無向圖。

一 無向圖模型

無向圖模型又叫馬爾可夫網(wǎng)絡(luò)、馬爾可夫隨機(jī)場(chǎng)，是關(guān)于一組有馬爾可夫性質(zhì)隨機(jī)變量X的全聯(lián)合概率分布模型。

1 無向圖模型的表示

給定包含n個(gè)隨機(jī)變量的問題域，則定義在問題域U上的無向圖模型包括拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和參數(shù)兩部分:

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S:節(jié)點(diǎn)表示隨機(jī)變量，兩節(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們之間具有直接的相互影響。

參數(shù)Θ:無向圖模型參數(shù)是對(duì)節(jié)點(diǎn)之間相互影響的定量描述。它是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S中每個(gè)極大完全子圖所對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)的集合。其中，極大完全子圖(clique)是指不包含于其它完全子圖的完全子圖（完全子圖中任何兩節(jié)點(diǎn)是直接相連的），勢(shì)函數(shù)則反映了極大完全子圖的每種可能狀態(tài)的能量。

2 無向圖模型的聯(lián)合概率分解

利用無向圖模型可將圖的聯(lián)合概率分解為一系列因子式。給定無向圖模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S和參數(shù)Θ之后，問題域U上的聯(lián)合概率密度函數(shù)可寫為:

其中N為無向圖中極大完全子圖的數(shù)目。

3 例子：

二 有向圖模型

1 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子

2 一般情況

考慮任意聯(lián)合分布 ，通過連續(xù)使用乘法規(guī)則

利用局部馬爾可夫性簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化：在給定其所有父親節(jié)點(diǎn)的情況下，隨機(jī)變量X與其非后繼條件獨(dú)立。

其中pai是Xi的父節(jié)點(diǎn)集合。

三 有向圖模型與無向圖模型的對(duì)比：

1 共同之處

將復(fù)雜的聯(lián)合分布分解為多個(gè)因子的乘積

2 不同之處

有向圖模型因子是概率分布、無需全局歸一

無向圖模型因子是勢(shì)函數(shù)，需要全局歸一

3 優(yōu)缺點(diǎn)

無向圖模型中勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)不受概率分布約束，

設(shè)計(jì)靈活，但全局歸一代價(jià)高

有向圖模型無需全局歸一、訓(xùn)練相對(duì)高效