牛吃草問題是小學(xué)奧數(shù)的一類難題,記得在某本書上看到過：“牛吃草問題就是追及問題，牛吃草問題就是工程問題。”對于前半句很好理解，給孩子講的時候，也是按追及問題的思路來講的。而對于后半句，直到上周才算明白。

     例1  小軍家的一片牧場上長滿了草，每天草都在勻速生長，這片牧場可供10頭牛吃20天，可供12頭牛吃15天。如果小軍家養(yǎng)了24頭牛，可以吃幾天？ 

草速：（10×20－12×15）÷（20－15）=4  

老草（路程差）： 根據(jù)：路程差=速度差×追及時間

                                     （10－4）×20=120  或 （12－4）×15=120  

追及時間=路程差÷速度差：           120÷（24－4）=6（天）

      例2    一個牧場可供58頭牛吃7天，或者可供50頭牛吃9天。假設(shè)草的生長量每天相等，每頭牛的吃草量也相等，那么，可供多少頭牛吃6天？

草速：（50×9－58×7）÷（9－7）=22

老草（路程差）： (50－22）×9=252    或 (58－22）×7=252    

求幾頭牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及時間＋草速      252÷6＋22=64(頭)

    現(xiàn)在回頭看看仁華學(xué)校課本那道題吧!

    例3 一個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管，當(dāng)打開4個進(jìn)水管時需要5小時才能注滿水池；當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個進(jìn)水管？

　　分析 本題沒給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進(jìn)水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開多少個進(jìn)水管.

　　解：本題是具有實際意義的工程問題，因沒給出注水速度和排水速度，故需引入?yún)?shù).設(shè)每個進(jìn)水管1小時注水量為a，排水管1小時排水量為b，根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化簡，得：

　　4a-b=6a-3b，即a=b.

　　這就是說，每個進(jìn)水管1小時的注水量等于排水管1小時的排水量.

　　再設(shè)2小時注滿水池需要打開x個進(jìn)水管，根據(jù)水池的容量列方程，得

　　（xa-a）×2＝（2a-a）×15，

　　化簡，得 2ax-2a=15a，

　　即 2xa=17a.（a≠0）

　　所以x=8.5

　　因此至少要打開9個進(jìn)水管，才能在2小時內(nèi)將水池注滿.

　　注意：x=8.5，這里若開8個水管達(dá)不到2小時內(nèi)將水池注滿的要求；開8.5個水管不切實際.因此至少開9個進(jìn)水管才行.

    以上是書中給出的解法,考慮到此解法不適合給小學(xué)孩子講,所以把此題當(dāng)作牛吃草問題來講的.

    把進(jìn)水管看成"牛",排水管看成"草",滿池水就是“老草”

排水管速：（2×15－4×5）÷（15－5）=1

滿池水（路程差）： (2－1）×15=15   或 (4－1）×5=15   

幾個進(jìn)水管：15÷2＋1=8.5（個)

    我和學(xué)生都有個好習(xí)慣，解完一道題后要反思，這道題既然是工程問題，那么，可不可以用工程問題的解法來做呢？之后在課堂上當(dāng)時做了嘗試，結(jié)果答案是肯定的！

    當(dāng)打開4個進(jìn)水管時，需要5小時才能注滿水池，那么4個進(jìn)水管和1個排水管的效率就是1/5。

  當(dāng)打開2個進(jìn)水管時，需要15小時才能注滿水池，那么2個進(jìn)水管和1個排水管的效率就是1/15。

    兩者之間差了（4－2=）2個進(jìn)水管的效率，于是1個進(jìn)水管的效率是：

     （1/5－1/15）÷（4－2）=1/15

     1個排水管的效率是：

     4×1/15－1/5=1/15 或者    2×1/15－1/15=1/15 

    現(xiàn)在需要在2小時內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個進(jìn)水管？

      （1/2＋1/15）÷1/15=8.5（個) 

    讓我們用這個方法驗證一下例2吧

例2    一個牧場可供58頭牛吃7天，或者可供50頭牛吃9天。假設(shè)草的生長量每天相等，每頭牛的吃草量也相等，那么，可供多少頭牛吃6天？

牛速：（1/7－1/9）÷（58－50）=1/252

草速： 58×1/252－1/7=11/126 或者    50×1/252－1/9=11/126

多少頭牛：（1/6＋11/126）÷1/252=64（頭)

怎么樣？明白了嗎？

（1）草的生長速度＝對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)－相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)÷（吃的較多天數(shù)－吃的較少天數(shù)）；

（2）原有草量＝牛頭數(shù)×吃的天數(shù)－草的生長速度×吃的天數(shù)；`

（3）吃的天數(shù)＝原有草量÷（牛頭數(shù)－草的生長速度）；

（4）牛頭數(shù)＝原有草量÷吃的天數(shù)＋草的生長速度。

牛吃草問題核心公式

【熟記】 牛吃草問題的核心公式：草場草量=（牛數(shù)－每天長草量)×天數(shù)，通常設(shè)每天長草量為x

基礎(chǔ)題型演練

【例1】 有一塊牧場，可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供25頭牛吃？天

【解答】 根據(jù)核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=5

【例2】 有一塊牧場，可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供?頭牛吃4天

【解答】 根據(jù)核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=30

較為復(fù)雜的情形

【例3】22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡；

17頭牛吃28公畝牧場的草，84天可以吃盡；

？頭牛吃40公畝牧場的草，24天可以吃盡？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 設(shè)每公畝牧場每天新長出來的草可供x頭牛吃1天，每公畝牧草量為y

根據(jù)核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（ 2－ 3x)×18=36－54x

28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24

36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35

其它情形

漏水問題，排隊等候問題...等均可看作這種問題。

剩余定理問題:

例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？

題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

為了使20被3除余1，用20×2=40；

使15被4除余1，用15×3=45；

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

因為，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的數(shù)。

例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？

題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

為了使56被3除余1，用56×2=112；

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；

然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

因為，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的數(shù)。

例3：一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。

題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

為了使88被5除余1，用88×2=176；

使55被8除余1，用55×7=385；

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，

因為，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的數(shù)。

例4：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，

這個年級至少有多少人？

題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

為了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，

因為，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的數(shù)。

例5：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人？

題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。

則〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

為了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，

因為，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的數(shù)。