1. 主振型的正交性
正交的概念：兩個(gè)向量
，其中
，
，稱為
正交；矢量的概念。
正交關(guān)系有許多用途，詳見線性代數(shù)的有關(guān)部分。
這里我們討論主振型的正交性：
以兩個(gè)自由度體系為例:
功的互等定理（Betti’s law）
即:
故有
上式可推廣到一般情況
第一個(gè)正交關(guān)系為：
或
證明：
由特征方程有
將上式兩邊分別乘以得
對(duì)其中任一式轉(zhuǎn)置并相減得
如果
同理也可推得
（也可直接利用關(guān)于質(zhì)量矩陣得正交性得到。）
對(duì)k=L 時(shí)，我們定義
Mk , Kk分別叫做第k個(gè)主振型相應(yīng)得廣義質(zhì)量和廣義剛度。
由特征方程有:
即:
由此得:
這就是根據(jù)廣義剛度Kk和廣義質(zhì)量Mk來(lái)求頻率Wk的公式。這個(gè)公式是單自由度體系頻率公式的推廣。
正交關(guān)系的利用：
判斷主振型的形狀是否正確；
在振型分解法中的應(yīng)用。
例17-8講解重點(diǎn)正交性的驗(yàn)算
2*. 主振型矩陣
如果將n個(gè)彼此正交的主振型向量組成一個(gè)方陣，即
這個(gè)方陣稱為主振型矩陣，它的轉(zhuǎn)置矩陣為
根據(jù)主振型向量的兩個(gè)正交關(guān)系，可以導(dǎo)出主振型矩陣[Y]的兩個(gè)性質(zhì)，即[Y]T[M][Y] 和 [Y]T[K][Y] 都應(yīng)是對(duì)角矩陣。下面證明：
[Y]T[M][Y]=
上式中的對(duì)角線元素就是廣義質(zhì)量M1,M2,……Mn, 由正交關(guān)系知其余元素均為零，故[Y]T[M][Y]為對(duì)角矩陣。即
[Y]T[M][Y]=
對(duì)角矩陣[M*]稱為廣義質(zhì)量矩陣。
同樣可得
其中Ki為廣義剛度，對(duì)角矩陣[K*]叫做廣義剛度矩陣。在后續(xù)章節(jié)中，我們將利用這一性質(zhì)將多自由度體系的振動(dòng)方程變?yōu)楹?jiǎn)單的形式。
