常用的巧算和速算方法
【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大
數(shù)學(xué)家高斯（德國）小時候就做過的“百數(shù)求和”題，可以計算為
所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×100÷2
=5050。
又如，計算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以計算為
所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。
這種算法的思路，見于書籍中最早的是我國古代的《張丘建算經(jīng)》。張丘建
利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：
“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。
問織幾何？”
題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，
并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5 尺布，最后一天織了1 尺，一共織了
30 天。問她一共織了多少布？
張丘建在《算經(jīng)》上給出的解法是：
“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。”“答曰：二匹一丈”。
這一解法，用現(xiàn)代的算式表達，就是
1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，
90 尺=9 丈=2 匹1 丈。（答略）
張丘建這一解法的思路，據(jù)推測為：
如果把這婦女從第一天直到第30 天所織的布都加起來，算式就是
5＋…………＋1
在這一算式中，每一個往后加的加數(shù)，都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)，要
遞減一個相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會是個整數(shù)。
若把這個式子反過來，則算式便是
1+………………＋5
此時，每一個往后的加數(shù)，就都會比它前一個緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個
相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的數(shù)，也不是一個整數(shù)。
假若把上面這兩個式子相加，并在相加時，利用“對應(yīng)的數(shù)相加和會相等”
這一特點，那么，就會出現(xiàn)下面的式子：
所以，加得的結(jié)果是6×30=180（尺）
但這婦女用30 天織的布沒有180 尺，而只有180 尺布的一半。所以，這婦
女30 天織的布是
180÷2=90（尺）
可見，這種解法的確是簡單、巧妙和饒有趣味的。
【分組計算】一些看似很難計算的題目，采用“分組計算”的方法，往往可
以使它很快地解答出來。例如
求1 到10 億這10 億個自然數(shù)的數(shù)字之和。
這道題是求“10 億個自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10 億個自然數(shù)之和”。
什么是“數(shù)字之和”？例如，求1 到12 這12 個自然數(shù)的數(shù)字之和，算式是
1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。
顯然，10 億個自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個一個地相加，那是極麻煩，也
極費時間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10 億個自然
數(shù)的前面添上一個“0”，改變數(shù)字的個數(shù)，但不會改變計算的結(jié)果。然后，將
它們兩兩分組：
0 和999，999，999；1 和999，999，998；
2 和999，999，997；3 和999，999，996；
4 和999，999，995；5 和999，999， 994；
……… ………
依次類推，可知除最后一個數(shù)，1，000，000，000 以外，其他的自然數(shù)與
添上的0 共10 億個數(shù)，共可以分為5 億組，各組數(shù)字之和都是81，如
0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81
1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81
………………
最后的一個數(shù)1，000，000，000 不成對，它的數(shù)字之和是1。所以，此題
的計算結(jié)果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。
遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復(fù)雜時，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題
目特點，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：
（1）計算下面方陣中所有的數(shù)的和。
這是個“100×100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，
再由小推大。先觀察“5×5”的方陣，如下圖（圖4.1）所示。
容易看到，對角線上五個“5”之和為25。
這時，如果將對角線下面的部分（右下部分）用剪刀剪開，如圖4.2 那樣拼
接，那么將會發(fā)現(xiàn)，這五個斜行，每行數(shù)之和都是25。所以，“5×5”方陣的
所有數(shù)之和為25×5=125，即53=125。
于是，很容易推出大的數(shù)陣“100×100”的方陣所有數(shù)之和為1003=1，000，
000。
（2）把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖4.3 那樣排成五列。最左邊的叫第一列，按
從左到右的順序，其他叫第二、第三……第五列。那么2002 出現(xiàn)在哪一列：
因為從2 到2002，共有偶數(shù)2002÷2=1001（個）。從前到后，是每8 個偶
數(shù)為一組，每組都是前四個偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四個偶數(shù)分別在
第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由1001÷8=125…………
1，可知這1001 個偶數(shù)可以分為125 組，還余1 個。故2002 應(yīng)排在第二列。
【湊整巧算】用“湊整方法”巧算，常常能使計算變得比較簡便、快速。例
如
（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）
=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×8-5
=1000-5
=995
【巧妙試商】除數(shù)是兩位數(shù)的除法，可以采用一些巧妙試商方法，提高計算
速度。
（1）用“商五法”試商。
當(dāng)除數(shù)（兩位數(shù)）的10 倍的一半，與被除數(shù)相等（或相近）時，可以直接
試商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。
當(dāng)除數(shù)一次不能除盡被除數(shù)的時候，有些可以用“無除半商五”。“無除”
指被除數(shù)前兩位不夠除，“半商五”指若被除數(shù)的前兩位恰好等于（或接近）除
數(shù)的一半時，則可直接商“ 5”。例如1248÷24=52，2385÷45=53
（2）同頭無除商八、九。
“同頭”指被除數(shù)和除數(shù)最高位上的數(shù)字相同。“無除”仍指被除數(shù)前兩位
不夠除。這時，商定在被除數(shù)高位數(shù)起的第三位上面，再直接商8 或商9。
5742÷58=99，4176÷48=87。
（3）用“商九法”試商。
當(dāng)被除數(shù)的前兩位數(shù)字臨時組成的數(shù)小于除數(shù)，且前三位數(shù)字臨時組成的數(shù)
與除數(shù)之和，大于或等于除數(shù)的10 倍時，可以一次定商為“9”。
一般地說，假如被除數(shù)為m，除數(shù)為n，只有當(dāng)9n≤m＜10n 時，n 除m 的商
才是9。同樣地，10n≤m＋n＜11n。這就是我們上述做法的根據(jù)。
例如4508÷49=92，6480÷72=90。
（4）用差數(shù)試商。
當(dāng)除數(shù)是11、12、13…………18 和19，被除數(shù)前兩位又不夠除的時候，可
以用“差數(shù)試商法”，即根據(jù)被除數(shù)前兩位臨時組成的數(shù)與除數(shù)的差來試商的方
法。若差數(shù)是1 或2，則初商為9；差數(shù)是3 或4，則初商為8；差數(shù)是5 或6，
則初商為7；差數(shù)是7 或8，則初商是6；差數(shù)是9 時，則初商為5。若不準(zhǔn)確，
只要調(diào)小1 就行了。例如1476÷18=82（18 與14 差4，初商為8，經(jīng)試除，商8
正確）；1278÷17=75（17 與12 的差為5，初商為7，經(jīng)試除，商7 正確）。
為了便于記憶，我們可將它編成下面的口訣：
差一差二商個九，差三差四八當(dāng)頭；
差五差六初商七，差七差八先商六；
差數(shù)是九五上陣，試商快速無憂愁。
【恒等變形】恒等變形是一種重要的思想和方法，也是一種重要的解題技巧。
它利用我們學(xué)過的知識，去進行有目的的數(shù)學(xué)變形，常常能使題目很快地獲得解
答。例如
（1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32）
=1800＋100
=1900
（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）
=359.8-10
=349.8
【拆數(shù)加減】在分?jǐn)?shù)加減法運算中，把一個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)相減或相加，
使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗化，并抵消其中的一些分?jǐn)?shù)，往往可大大地簡化運算。
（1）拆成兩個分?jǐn)?shù)相減。例如
又如
（2）拆成兩個分?jǐn)?shù)相加。例如
又如
【同分子分?jǐn)?shù)加減】同分子分?jǐn)?shù)的加減法，有以下的計算規(guī)律：
分子相同，分母互質(zhì)的兩個分?jǐn)?shù)相加（減）時，它們的結(jié)果是用原分母的積
作分母，用原分母的和（或差）乘以這相同的分子所得的積作分子。
分子相同，分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個分?jǐn)?shù)相加減，也可按上述規(guī)律計算，只是
最后需要注意把得數(shù)約簡為既約（最簡）分?jǐn)?shù)。
例如
（注意：分?jǐn)?shù)減法要用減數(shù)的原分母減去被減數(shù)的原分母。）
由上面的規(guī)律還可以推出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)的兩個自然數(shù)時，
關(guān)系，我們也可以簡化運算過程。例如
【先借后還】“先借后還”是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解題技巧。例如
做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢必影響解題速度。現(xiàn)在從“湊整”
著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來了。
【個數(shù)折半】下面的幾種情況下，可以運用“個數(shù)折半”的方法，巧妙地計
算出題目的得數(shù)。
（1）分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加。求分母相同的所有真分?jǐn)?shù)的和，可采用
“個數(shù)折半法”，即用這些分?jǐn)?shù)的個數(shù)除以2，就能得出結(jié)果。
這一方法，也可以敘述為分母相同的所有真分?jǐn)?shù)相加，只要用最后一個分?jǐn)?shù)
的分子除以2，就能得出結(jié)果。
（2）分母為偶數(shù)，分子為奇數(shù)的所有同分母的真分?jǐn)?shù)相加，也可用“個數(shù)
折半法”求得數(shù)。比方
（3）分母相同的所有既約真分?jǐn)?shù)（最簡真分?jǐn)?shù)）相加，同樣可用“個數(shù)折
半法”求得數(shù)。比方
【帶分?jǐn)?shù)減法】帶分?jǐn)?shù)減法的巧算，可用下面的兩個方法。
（1）減數(shù)湊整。例如
（2）交換位置。例如
在這兩種方法中，第（1）種“湊整”法，也可以運用到帶分?jǐn)?shù)的加法中去。
例如
【帶分?jǐn)?shù)乘法】有些特殊的帶分?jǐn)?shù)相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。
（1）相乘的兩個帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相同，分?jǐn)?shù)部分的和是1，則乘積也是個
帶分?jǐn)?shù)，它的整數(shù)部分是一個因數(shù)的整數(shù)部分乘以比它大1 的數(shù)，分?jǐn)?shù)部分是兩
個因數(shù)的分?jǐn)?shù)部分的乘積。例如
（2）相乘的兩個帶分?jǐn)?shù)整數(shù)部分相差1，分?jǐn)?shù)部分和為1，則積也是個帶分
數(shù)，它用較大數(shù)的整數(shù)部分的平方，減去分?jǐn)?shù)部分的平方，所得的差就是這兩個
帶分?jǐn)?shù)的乘積。例如
（注：這是根據(jù)“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出來的。）
（3）相乘的兩個帶分?jǐn)?shù)，整數(shù)部分都是1，分子也都是1，分母相差1，則
乘積也是個帶分?jǐn)?shù)。這個帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分是1，分子是2，分母與較大因數(shù)的
分母相同。例如
讀者自己去試一試，此處略）。
【兩分?jǐn)?shù)相除】有些分?jǐn)?shù)相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分別相除。在個別情況下，分?jǐn)?shù)除法可沿用整數(shù)除法的做
法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不過，這只有在被除數(shù)的
分子、分母，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計算才比較簡便。
例如
（2）分母相除，一次得商。在兩個帶分?jǐn)?shù)相除的算式中，當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)
的整數(shù)與分母調(diào)換了位置，而它們的分子又相同時，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法法則，只要用
原除數(shù)的分母除以被除數(shù)的分母，所得的數(shù)就是它們的商。
例如
（注：用除法法則可以推出這種方法，此處略。）
小數(shù)的速算與巧算——湊整
【知識精要】
湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運用的主要方法。用的時候主要看末位。但是小
數(shù)計算中“小數(shù)點”一定要對齊。
【例題精講】
<一>湊整法
例1、 計算5.6+2.38+4.4+0.62。
【分析】5.6 與4.4 剛好湊成10，2.38 與0.62 剛好湊成3，這樣先湊整運算起
來會更加簡便。
【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）
=10+3
=13
【評注】湊整，特別是“湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。
例2、計算：1.999+19.99+199.9+1999。
【分析】因為小數(shù)計算起來容易出錯。剛好1999 接近整千數(shù)2000，其余各加數(shù)
看做與它接近的容易計算的整數(shù)。再把多加的那部分減去。
【解答】 1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1
=2222-1.111
=2220.889
【評注】所謂的湊整，就是兩個或三個數(shù)結(jié)合相加，剛好湊成整十整百，我們
也可以引申為讀整法，譬如此題。“1.999”剛好與“2”相差0.001，因此我
們就可以先把它讀成“2”來進行計算。
但是，一定要記住剛才“多加的”要“減掉”。“多減的”要“加上”！