三年級數(shù)學(xué)第六講 從排列中找規(guī)律
例題與方法
例1 觀察與分析下面各列數(shù)的排列規(guī)律，然后填空。
⑴ 5，9，13，17， ， 。
⑵ 10，12，16，22， ， 。
⑶ 1，4，9，16， ， 。
⑷ 4，5，7，11，19， ， 。
⑸ 2，4，8，16， ， 。
【思路點(diǎn)睛】 分析一下個(gè)數(shù)列的排列規(guī)律，一般是按順序依次對這個(gè)數(shù)列中相鄰的數(shù)進(jìn)行相同的四則運(yùn)算，根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，從中找到規(guī)律。
⑴ 依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，差都是4。所以，后兩個(gè)空，依次填21，25。
⑵ 依次用后一個(gè)數(shù)減去相鄰的前一個(gè)數(shù)，它們差依次為：2，4，6。所以，后兩個(gè)差依次填8，10，后兩個(gè)空應(yīng)填30，40。
⑶ 由于1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，因此，后兩個(gè)數(shù)應(yīng)分別為5×5，6×6。所以，后兩個(gè)空應(yīng)依次填25，36。
⑷ 由于5=4+1，7=5+2，11=7+4，19=11+8，而且觀察1，2，4，8這個(gè)數(shù)列，一個(gè)數(shù)的2倍便是它后面的數(shù)。因此，兩個(gè)空應(yīng)分別填16＋19=35，32＋35=67。
⑸ 因?yàn)?=2，4=2×2，8=2×2×2，16=2×2×2×2，因此后兩個(gè)數(shù)應(yīng)分別為5個(gè)2相乘和6個(gè)2相乘。所以，兩個(gè)空分別填2×2×2×2×2=32，2×2×2×2×2×2=64。
【數(shù)學(xué)思考】 對于一個(gè)數(shù)列的排列規(guī)律的分析，通常是對這個(gè)數(shù)列進(jìn)行某種運(yùn)算，然后依次將運(yùn)算結(jié)果寫下來，組成新的數(shù)列。而后，觀察新數(shù)列的排列規(guī)律，從而，得出原來那數(shù)列的排列規(guī)律。
例2 找出下面各數(shù)列的排列規(guī)律，在橫線上填出適當(dāng)?shù)臄?shù)。
(1) 5，15，45，135， ， 。
(2) 60，63，68，75， ， 。
(3) 180，155，131，108 ， 。
(4) 0， l， l， 2， 3， 5， ， 。
(5) 6， 1， 8， 3， 10， 5， 12， 7， ， 。
【思路點(diǎn)睛】 (1) 因?yàn)?5＝5×3，45＝15×3，135：45×3，所以這個(gè)數(shù)列的排列規(guī)律是：后一個(gè)數(shù)總是它前一個(gè)數(shù)的3倍。由此可知，要填的數(shù)依次為405，1215。
(2) 如果算一算相鄰兩個(gè)數(shù)的差，有63－60＝3，68－63=5，75－68＝7?？芍噜彽膬蓚€(gè)數(shù)的差依次為3，5，7，9，11。所以，75再往后的數(shù)將是75＋9＝84，84＋11＝95。
(3) 因?yàn)檫@數(shù)列的排列是從大到小，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是25，24，23，22，21。所以，108后面的數(shù)依次應(yīng)是108－22=86，86－21＝65。
(4) 算一算相鄰兩數(shù)的和。
0＋1＝1，1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3=5，很明顯，這一數(shù)列的排列規(guī)律是：后面的數(shù)是前面兩個(gè)數(shù)的和。所以，5后面的兩個(gè)數(shù)應(yīng)分別為8，13。
(5) 這道題僅從相鄰的兩個(gè)數(shù)字難以看出內(nèi)在的規(guī)律。仔細(xì)觀察，才悟出要將原來的數(shù)列分為兩個(gè)數(shù)列來考慮。第一個(gè)數(shù)列是6，8，10，12，14，每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差也是2。第二個(gè)數(shù)列是1，3，5，7，9，每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差也是2，又因?yàn)榈谝粋€(gè)數(shù)列與第二個(gè)數(shù)列是間隔排列，所以，7后面依次應(yīng)填14，9。
例3 找規(guī)律，在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。
(1) 17，1，15，1，13，1， ， ， 9， 1。
(2) 45，1，43，3，4l，5， ， ，37，9。
(3) 10，20，21，42，43， ， ，174，175。
(4) 4，9，19，34，54， ， ，144。
【思路點(diǎn)睛】 (1)觀察這一數(shù)列后，發(fā)現(xiàn)每隔一個(gè)數(shù)就出現(xiàn)一個(gè)1，其余的數(shù)依次減少2。所以，兩個(gè)空白處依次應(yīng)填11和1。
(2) 觀察這一數(shù)列后，可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)減少2就是第三個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減少2就是第五個(gè)數(shù)，……第二個(gè)數(shù)增加2就是第四個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)增加2是第六個(gè)數(shù)……由此可知，空白處依次填39，7。
(3) 第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的2倍，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)多1，第四個(gè)數(shù)是第三個(gè)數(shù)的2倍，第五個(gè)數(shù)又比第四個(gè)數(shù)多1……。根據(jù)這一規(guī)律，第六個(gè)數(shù)應(yīng)該是第五個(gè)數(shù)的2倍，第七個(gè)數(shù)應(yīng)比第六個(gè)數(shù)多1。所以，空白處依次填86和87。
(4) 第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)多5，第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)多10，第四個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)多15，……其中的規(guī)律可為表示：
4，9，19，34，54，(79)，(109)，144
＋5 ＋10 ＋15 ＋20 ＋25 ＋30 ＋35
所以，空白處依次填79，109。
例4 先觀察下面各算式，找出規(guī)律，然后填數(shù)。
(1) 因?yàn)?nbsp; 19=l×9＋(1＋9)，
29＝2×9＋(2＋9)，
39=3×9＋(3＋9)，
所以
89= ;
又因?yàn)?99＝19×9＋(19＋9)，
所以1999＝ 。
(2) 因?yàn)?＋2×9＝19，
1＋22×9=199，
所以1＋222×9＝ ；
又因這2＋232×9＝2090，
3＋343×9=3090，
所以4＋454×9＝ .
8＋898×9= ；
且因?yàn)?1＋121×9＝1100；
12＋232×9＝2100，
所以13＋343×9= ;
15＋565×9＝ ，
18＋898×9= 。
【思路點(diǎn)睛】 這類題是先給出規(guī)律，然后依照這個(gè)規(guī)律填數(shù)。
(1) 我們可以看出，給出的四個(gè)等式中，等式左邊的個(gè)位數(shù)字都是9，等式右邊的第一部分是十位上的數(shù)字乘9，第二部分是十位上的數(shù)字加9。
由此可知：
89－8×9＋(8＋9)，
1999＝199×9＋(199＋9)。
(2) 觀察所給的六個(gè)等式，我們發(fā)現(xiàn)：9乘幾個(gè)2組成的數(shù)再加1，就等于幾個(gè)9和1個(gè)1組成的數(shù)，其中最高位上的數(shù)字是1；9乘一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)的百位和個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字都比百(個(gè))位數(shù)字大1，再加上一個(gè)與三位數(shù)的百(個(gè))位數(shù)字相同的一位數(shù)，就等于一個(gè)四位數(shù)。這個(gè)四位數(shù)的十位數(shù)字都是9，百位、個(gè)位數(shù)字都是0，千位數(shù)字就是等號左邊的那個(gè)一位數(shù)；9乘一個(gè)和上面相同的三位數(shù)，再加上一個(gè)兩位數(shù)，這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字都是l，個(gè)位數(shù)字與三位數(shù)的百(個(gè))位數(shù)相同，就得到一個(gè)四位數(shù)。這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位和十位數(shù)字都是o，百位數(shù)字都是1，千位數(shù)字正好就是等號左邊那個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字。所以
1＋222×9＝1999，
4＋454×9＝4090，
8＋898×9=8090，
13＋343×9=3100，
15＋565×9=5100，
18＋898×9=8100。
總結(jié)與提示
在上一章里，我們學(xué)習(xí)了如何從圖形排列中找規(guī)律。在這一章中，我們將學(xué)習(xí)怎樣從數(shù)字排列中找規(guī)律。
怎樣從數(shù)字排列中找規(guī)律呢？一是要開動腦筋，細(xì)心觀察題目中數(shù)字的特征；二是靈活運(yùn)用整數(shù)的有關(guān)知識，加、減、乘、除的計(jì)算法則及它們之間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，按規(guī)律填數(shù)，使問題得到解答。
具體地講，在從數(shù)字排列中找規(guī)律時(shí)，應(yīng)努力把握好以下幾點(diǎn)：
1．對一列數(shù)的排列規(guī)律的分析，一般的思考步驟是；按順序依次對這列數(shù)中相鄰的幾個(gè)數(shù)進(jìn)行相同的四則運(yùn)算，將它們的運(yùn)算結(jié)果依次寫下來組成新的一列數(shù)。通過對這列數(shù)的排列規(guī)律的分析，達(dá)到對原來那列數(shù)的排列規(guī)律的了解。
2．有時(shí)，需要將一列數(shù)分成兩列數(shù)，分別找出它們各自的變化規(guī)律。
3．對一列數(shù)的排列規(guī)律的分析，往往需要我們靈活地思考，具體問題具體分析，因?yàn)椴煌氖挛锏囊?guī)律往往也是不相同的。有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識，當(dāng)一種方法行不通時(shí)，就換另一種方法接著分析。
4．對于找到的規(guī)律，它應(yīng)該適合于這列數(shù)中的所有數(shù)，不能只適合前面的幾個(gè)數(shù)，或最后的幾個(gè)數(shù)，而不適用于這列數(shù)中其他的數(shù)。對于這一點(diǎn)，我們解題時(shí)須特別注意。
練習(xí)與思考
1．9，1l，15，21，29， ， 。
2．5，14，41，122， 。
3．1，2，2，4，8，32， 。
4．7，14，10，12，14，9，19， 5， ， 。
5．7，8，10， ， 22， 38，。
6．1，3，9，27， ，243。
7．1， 3， 6， 10， ， 21， 28， 36。
8．1，2，6，24，120， ，5040。
家庭能力檢測與提高訓(xùn)練
1．5，7，11，19，35， ，131，259。
2．下面各行數(shù)中都有一個(gè)與眾不同的數(shù)，請找出來。
(1) 6， 12， 3， 27， 2l， 10， 15， 30。
(2) 2， 5， 10， 16， 22， 28， 32， 38， 24。
(3) 2，3，5，8，12，16，17，23，30
(4) 2， 4， 8， 12， 16， 32。
3．先觀察前面三個(gè)算式，然后找出規(guī)律，并根據(jù)找出的規(guī)律，直接寫出后面兩個(gè)算式的積。
(1) 123456789×9=111 111 1101
(2) 123456789×18=222 222 2202
(3) 123456789×27＝333 333 3303
(4) 123456789×72=
(5) 123456789×63＝
4．觀察下面三個(gè)等式，找出規(guī)律。然后依次寫出第四至八個(gè)等式。
1×9＋2=11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
參考答案
【練習(xí)與思考】
1. 39, 51 2. 365 3. 256 4. 25, 0 5. 14 6. 81 7. 15 8.720
【家庭能力檢測與提高訓(xùn)練】
1、67 2、10, 5, 16, 12 3、888 888 8808 777 777 7707
4、1234×9+5=111 11 12345×9+6=111 111
123456×9+7=111 1111 1234567×9+8=111 111 11
12345678×9+9=111 111 111
