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自然數(shù)原本《數(shù) 數(shù) 論》創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究
薛 海 明
一 ： 數(shù)學(xué)研究中的困惑與思考
“整數(shù)論”也稱“數(shù)論”，它是研究存在于整數(shù)之間的聯(lián)系和規(guī)律，并通過這種聯(lián)系來研究數(shù)的性質(zhì)的一門學(xué)科。在數(shù)論的發(fā)展史中，曾是數(shù)學(xué)家們熱門的研究領(lǐng)域，并取得許多成果。在計(jì)算機(jī)普及的今天或數(shù)論研究中還存在著某些問題一直得不到圓滿的解決，致使這門古老的數(shù)學(xué)分支，近幾年幾乎 在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中未有較大的突破。
在數(shù)論研究中，由于像“哥德巴赫猜想”這些數(shù)學(xué)問題的研究 ，涉及到數(shù)論研究中的許多性質(zhì)，而且有些性質(zhì)我們并不了解，雖然哥德巴赫提出這一問題已將近二百七十 年的時(shí)間，但現(xiàn)在世界許多知名的數(shù)學(xué)家們，仍然未取得實(shí)質(zhì)性研究結(jié)果。因“哥德巴赫猜想”這一問題的研究，它與“數(shù)論”中的許多性質(zhì)有關(guān)，曾從上世紀(jì)到本世紀(jì)初期開始，一度成為數(shù)學(xué)研究中的重點(diǎn)課題。在2000年初，英美兩刊物出資百萬(wàn)美元作為征解獎(jiǎng)金也未能得到結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，研究時(shí)間最長(zhǎng)、參與人員最多，這是絕無僅有的社會(huì)現(xiàn)象。當(dāng)一些研究“哥德巴赫猜想”的數(shù)學(xué)家們，經(jīng)過不斷地努力還看不到任何研究前景，也提不出新的思想或研究方法時(shí)，不得不放棄對(duì)它的探討。所以，現(xiàn)在一旦有人提及與此有關(guān)的數(shù)論問題時(shí)唯恐避而不及，不再理睬。數(shù)學(xué)家們不僅放棄對(duì)此問題的研究，他們同時(shí)也苦口婆心地一再告知對(duì)此問題具有愛好的數(shù)學(xué)研究者們，沒必要再為此把時(shí)間與精力浪費(fèi)掉。但因“哥德巴赫猜想”這一難題與存在于自然數(shù)中的素?cái)?shù)性質(zhì)有著緊密關(guān)系，而素?cái)?shù)又被人們看作是組成自然數(shù)的基本材料，由此看來，當(dāng)數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者都對(duì)此問題不再進(jìn)行研究時(shí)，那么，像解決“哥德巴赫猜想”這樣一些數(shù)學(xué)難題，則將永遠(yuǎn)成為數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)迷，人們對(duì)組成自然數(shù)列中的素?cái)?shù)這種“材料”的性質(zhì)研究或認(rèn)識(shí)，也同樣永遠(yuǎn)成為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)盲區(qū)。如果我們?cè)诳茖W(xué)研究或生產(chǎn)活動(dòng)中，對(duì)所應(yīng)用的基本材料都不了解，會(huì)得到什幺樣的研究結(jié)果是可想而知的。顯然，關(guān)于對(duì)“數(shù)論”這一數(shù)學(xué)分支的研究，也將影響到它今后的正常發(fā)展。當(dāng)現(xiàn)代人們?cè)诟鱾€(gè)自然科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)不斷地取得許多研究成果時(shí)，尤其是數(shù)字化快速發(fā)展的今天，我們把數(shù)學(xué)中存在的某些問題看為一個(gè)個(gè)高不可攀的山峰，或視為深不可測(cè)的深淵不再去討論，對(duì)整數(shù)性質(zhì)認(rèn)識(shí)上的一些難題不去解決，這將成為時(shí)代發(fā)展與數(shù)學(xué)研究之間一種不協(xié)調(diào)的諷刺 。如果因噎廢食，對(duì)影響數(shù)學(xué)領(lǐng)域中這樣一個(gè)具體問題 素?cái)?shù)“這種組成材料”的性質(zhì)沒有充分的認(rèn)識(shí)，只能會(huì)成為數(shù)學(xué)今后的發(fā)展和研究史上的最大障礙。證明“ 哥德巴赫猜想”問題本身并不重要，重要的是對(duì)“素?cái)?shù)”這種材料的了解。
大凡自然科學(xué)研究中，都與數(shù)學(xué)有關(guān)，一旦脫離數(shù)學(xué)的參與，即將失去 科學(xué)上的研究意義。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)表現(xiàn)出的規(guī)律與性質(zhì)，實(shí)質(zhì)上是反映著存在于空間事物的量化規(guī)律與性質(zhì)。這是人類在對(duì)空間事物進(jìn)行量化認(rèn)識(shí)過程中就已存在的最基本性質(zhì)所決定的。而在數(shù)論研究中，當(dāng)我們不能真正或全面了解自然數(shù)的某些性質(zhì)時(shí)，那么，同樣在對(duì)自然科學(xué)研究中，也會(huì)遇到這樣或那樣的不解之迷。
二 ： 追蹤“困惑”的產(chǎn)生根源
數(shù)學(xué)這門科學(xué)，雖說是一種抽象的科學(xué)，可以說在數(shù)學(xué)研究或應(yīng)用中，它是失之毫厘差之千里的一門最精確的科學(xué)。在數(shù)學(xué)這一繁花似錦的園地中，任何人都可欣賞它的多姿多彩般的魅力，但任何人又都必須遵守它的客觀規(guī)律和性質(zhì)。數(shù)論作為研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，它容不得半點(diǎn)差錯(cuò)。在數(shù)學(xué)研究中，如果由于人為的一點(diǎn)錯(cuò)誤或沒有真正認(rèn)識(shí)其性質(zhì)而引起混亂時(shí)，即使河水很淺，也會(huì)覺得像深不見底的深淵一樣，讓人們望而生畏不敢涉及。在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，當(dāng)人們對(duì)于整數(shù)中存在的某些性質(zhì)缺乏深入地了解，總是以猜想、相似、逼近、近似、假設(shè)等這些不確定因素的概念進(jìn)行定義時(shí)，這成為人們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生深不可測(cè)的認(rèn)識(shí)根源。然而首先使此河水變?yōu)闇啙岬娜瞬皇莿e人，卻是大名大鼎鼎的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他不僅是“數(shù)論”研究的創(chuàng)始人，也是對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)家。據(jù)說，早在公元前約 500 年以前的古希臘時(shí)代，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就已根據(jù) 一些自然數(shù)所表現(xiàn)出的不同性質(zhì)，把自然數(shù)分成三類，即第一類，自然數(shù)“ 1”，它不僅是自然數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)數(shù)，而且它只有“1”這一個(gè)因子；第二類：一個(gè)自然數(shù)只有“1” 或它本身這兩個(gè)因子能夠被整除的數(shù)，叫做素?cái)?shù)（也叫質(zhì)數(shù)），如：2、3、5、7 、11 ... ；第三類數(shù)就是“合數(shù)”，也叫“復(fù)合數(shù)”，它可以被 1 和本身所整除外，還可以被其他數(shù)所整除，如：4、6、8、9 、12、15 等 ; 同時(shí)又把能夠被“2”整除的數(shù)叫做“偶數(shù)”或“雙數(shù)”， 如：2、4、6、8、10 、12 ... ，其余的數(shù)叫為“奇數(shù) ”或“單數(shù)”，如：1、3、5、7、9 、 11、15 ... , 根據(jù)自然數(shù)的這些現(xiàn)象，把自然數(shù)按因子多少與其表現(xiàn)的性質(zhì)分為三類，或把自然數(shù)分成奇數(shù)與偶數(shù)兩類形式，從表面上看，這是一種既簡(jiǎn)單又合理的科學(xué)分類方法 。這種分類方法，在算術(shù)中有著非常特殊的性質(zhì)，其應(yīng)用是無法替代的。因此，幾千年來我們一直沿用至今。由于計(jì)算上的需要和不可替代的作用，從古至今，也沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)自然數(shù)表現(xiàn)出的這些性質(zhì)再去進(jìn)行過更深入的研究或探討。因?yàn)樵诋呥_(dá)哥拉斯時(shí)代，曾有人們把他的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)視為神圣不可侵犯的數(shù)學(xué)理論，直到今天也未有任何人能夠?qū)λ臄?shù)學(xué)理論提出任何異議 。正是由于這種原因，當(dāng)我們今天在對(duì)自然數(shù)的性質(zhì)研究過程中，遇到難以解決的疑難問題時(shí)，我們不得不進(jìn)行反思，重新從自然數(shù)的產(chǎn)生及發(fā)展過程中，來了解人們?cè)趯?duì)空間事物進(jìn)行計(jì)數(shù)行為時(shí)，是否存在因人為因素對(duì)自然數(shù)本身的性質(zhì)、規(guī)律所造成的“不良影響”。
當(dāng)人類對(duì)空間事物有了“量”的意識(shí)時(shí)，這是人類從蒙昧?xí)r期進(jìn)入文明社會(huì)的標(biāo)志。在人類經(jīng)過數(shù)千年或上萬(wàn)年的發(fā)展歷史中，從結(jié)繩記事到通過“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最基本的‘數(shù)學(xué)’形式產(chǎn)生自然數(shù)后，可以說，“數(shù)數(shù)”是數(shù)學(xué)這門科學(xué)形成的“鼻祖”。雖然這種計(jì)數(shù)方法最初也只能是對(duì)空間事物的數(shù)量進(jìn)行加法與減法的初級(jí)計(jì)算行為，但這卻是人類對(duì)空間事物進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)的最基本性質(zhì)和方法。顯然，所有計(jì)算方法和所有高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，都是在這種基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。因?yàn)樵诮Y(jié)繩計(jì)事這種計(jì)數(shù)方法中，它是通過對(duì)空間事物在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系中產(chǎn)生的，在這種自然形成的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，它只能夠表現(xiàn)出加法與減法這種數(shù)學(xué)計(jì)算形式。
當(dāng)人類經(jīng)過漫長(zhǎng)的生產(chǎn)活動(dòng)過程后，才有可能發(fā)現(xiàn)運(yùn)用乘法與除法這種二級(jí)計(jì)算方法，可以減少計(jì)算時(shí)的過程。這就很容易發(fā)展為最初的四則算術(shù)運(yùn)算的規(guī)律。并總結(jié)出運(yùn)用“乘法口訣表”這種簡(jiǎn)單的計(jì)算方法，在對(duì)空間事物“量”的進(jìn)行計(jì)算時(shí)且省事實(shí)用，這種對(duì)于用自然數(shù)進(jìn)行四則計(jì)算的發(fā)展過程，雖然由于歷史悠久難以進(jìn)行考證，但這并不影響人類利用自然數(shù)作為計(jì)數(shù)或計(jì)算工具的性質(zhì)。但是，在算術(shù)的四則計(jì)算方法中，顯然乘法與除法是在人為因素的參與下，所發(fā)現(xiàn) 的一種間接計(jì)算方法。當(dāng)數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在對(duì)自然數(shù)四則運(yùn)算方法進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)用第二級(jí)算術(shù)方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，某些自然數(shù)之間存在著一些共同的性質(zhì)，并把它們分為以上三類性質(zhì)和兩種形式。但在這種分類過程中，畢達(dá)哥拉斯實(shí)質(zhì)上僅僅是對(duì)第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算方法中，自然數(shù)所表現(xiàn)出的這些表面性質(zhì)進(jìn)行了分類，而他卻對(duì)在第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算過程中，自然數(shù)為什么會(huì)表現(xiàn)出這些不同的性質(zhì)，卻沒有進(jìn)行更深入地研究 。畢達(dá)哥拉斯在未了解自然數(shù)為什么會(huì)存在這種性質(zhì)的前提下進(jìn)行分類，人為地直接建立在乘法或除法這種運(yùn)算基礎(chǔ)上，而乘與除這兩種計(jì)算方法，又源于人類在計(jì)數(shù)過程的一種簡(jiǎn)化形式，因此，在這種基礎(chǔ)上作為分類方法，實(shí)質(zhì)上同樣是一種間接的分類方法，其本質(zhì)上也同樣存在著很大的人為因素。不能從自然數(shù)產(chǎn)生時(shí)的唯一途徑“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最本質(zhì)上認(rèn)識(shí)算術(shù)或計(jì)算方法之間的規(guī)律及性質(zhì)，顯然這并不是一種科學(xué)的研究方法。當(dāng)數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯僅憑自然數(shù)列中的表面現(xiàn)象的人為分類方法后，他再也沒有對(duì)自然數(shù)表現(xiàn)出的這些性質(zhì)進(jìn)行深入地研究。如果我們問：（1）在自然數(shù)列中為什幺有一些整數(shù)會(huì)表現(xiàn)出不同性質(zhì)以及規(guī)律？（2）這些不同性質(zhì)或規(guī)律真的是從第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算方法中產(chǎn)生的嗎？當(dāng)我們真正要同時(shí)回答這兩個(gè)問題時(shí)，恐怕很難得到正確的答案。從乘法與除法這種間接計(jì)算方法，再到畢達(dá)哥拉斯的間接分類方法，這是導(dǎo)致我們對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生神秘感的最主要原因 。由于這種小小的失誤，也是我們沒有完全揭開自然數(shù)神秘面紗的基本原因。可以說：由于人為因素總結(jié)出的乘法、除法這種間接計(jì)算方法，以及畢達(dá)哥拉斯的間接分類方法，是造成數(shù)學(xué)研究中所有“困惑”產(chǎn)生的總源頭！
三 ： 第二次“困惑”的產(chǎn)生形式及其對(duì)數(shù)學(xué)研究的影響
人們?cè)谧匀粩?shù)列中看到，所定義的“合數(shù)”與“素?cái)?shù)”，這些數(shù)在自然數(shù)列中分布的方式并沒有具體的規(guī)律，因此，要從自然數(shù)列中把素?cái)?shù)能夠很方便地找出來，或者對(duì)合數(shù)進(jìn)行分解，只能根據(jù)對(duì)自然數(shù)分類時(shí)因子多少的基本性質(zhì)，通過除法對(duì)它們一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行運(yùn)算加以識(shí)別。為了減少運(yùn)算過程，隨之便產(chǎn)生了一種簡(jiǎn)便的方法，這就是“埃氏篩法”。這種方法傳說是生活在公元前二百五十年左右，著名的古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家埃拉多斯染尼（又譯為：埃拉托色奈斯）所創(chuàng)立的一種在自然數(shù)列內(nèi)尋找素?cái)?shù)時(shí)的一種方法，簡(jiǎn)稱“埃氏篩法”或稱“ 古典篩法” 。這種方法既是建立在畢達(dá)哥拉斯對(duì)自然數(shù)性質(zhì)分類基礎(chǔ)上，也是建立在乘法與除法運(yùn)算時(shí)，‘因倍’關(guān)系這種基礎(chǔ)之上的。作為篩選素?cái)?shù)的基本方法， 其篩法的大體步驟是：
對(duì)從 1 到n進(jìn)行篩選：先找出不超過的全部素?cái)?shù)，依次排列如下：2 = p1 < p 2 < ... < p r ≤ . 然后把大于1 ，而不超過 n 的自然數(shù)，按n大小順序排列如下：2，3，4 ... ，n. 在其中留下 P1 = 2, 而把 P1 的‘倍數(shù)’全部劃掉，再留下 P2 ，而把 P2 的‘倍數(shù)’都劃掉，繼續(xù)這一手續(xù)，最后留下 Pr ，而把 Pr 的‘倍數(shù)’都劃掉，留下的就是不超過 n 的全體素?cái)?shù)了。
從 《數(shù)論導(dǎo)引》中可了解到：“現(xiàn)在所做出之素?cái)?shù)表，無一不由此法略加變化而得者”（《數(shù)論導(dǎo)引》4頁(yè)）?？梢娊裉焖軌蜃龀龅乃?cái)?shù)表，都是建立在乘法與除法這種運(yùn)算基礎(chǔ)之上的，除此別無他法。在對(duì)“哥德巴赫猜想”的研究過程中，一些數(shù)學(xué)家們?cè)鴦?chuàng)作了多種不同“篩法”，例如 “布郎篩法”、“加權(quán)形式的西爾貝格篩法”、其它形式的“加權(quán)篩法”等不同篩法，這些篩法雖具有一定的理論價(jià)值，但萬(wàn)變不離其宗，都是在乘法、除法這種第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算方法中，根據(jù)它們之間存在的因倍關(guān)系這種基礎(chǔ)上建立起來的。這些方法都未有涉及到自然數(shù)的本質(zhì)，在這些尋找素?cái)?shù)的所有“篩法”中，我們很容易了解到，這些篩法與產(chǎn)生自然數(shù)的基本規(guī)律“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種形式?jīng)]有任何關(guān)系。
所謂“埃氏篩法”從自然數(shù)的分類到篩選素?cái)?shù)的方法，雖然我們已經(jīng)應(yīng)用了數(shù)千年的歷史，但卻沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家對(duì)自然數(shù)所表現(xiàn)出的這些性質(zhì)或方法去做更深刻的研究。當(dāng)我們提出在自然數(shù)列內(nèi)進(jìn)行篩選素?cái)?shù)方法中，是根據(jù)自然數(shù)本身的什么性質(zhì)或規(guī)律為理論基礎(chǔ)時(shí)，沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家能夠做出正確的回答。對(duì)于這樣的問題，最多也只能認(rèn)為是在根據(jù)畢達(dá)哥拉斯對(duì)自然數(shù)分類基礎(chǔ)上進(jìn)行的。當(dāng)通過對(duì)各種數(shù)學(xué)資料進(jìn)行查找，是不會(huì)找到這方面的任何記載或研究中的信息。就是數(shù)論研究中有關(guān)素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)定理，在華羅庚先生的《數(shù)論導(dǎo)引》中也只能看到在不同自然數(shù)列范圍內(nèi)，關(guān)于素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)的研究時(shí)指出：“其中之推測(cè)及定理，類多先由經(jīng)驗(yàn)得來”（《數(shù)論導(dǎo)引》87頁(yè)），這種人為因素的結(jié)果。顯然在這種“推測(cè)”、“經(jīng)驗(yàn)”所得出的所謂“定理”，很難讓人信服這樣的“定理”就是素?cái)?shù)分布個(gè)數(shù)的規(guī)律。“關(guān)于尋求素?cái)?shù)定理之‘初等證明’，乃素?cái)?shù)論中歷時(shí)很久的難題之一”（《數(shù)論導(dǎo)引》234頁(yè)），由于“素?cái)?shù)”這種“數(shù)學(xué)材料”在數(shù)學(xué)研究中占有重要的地位，所以，對(duì)“素?cái)?shù)”的基本性質(zhì)沒有得到真正認(rèn)識(shí)時(shí)，在數(shù)學(xué)研究中的“困惑”也是層出不窮。甚至我們對(duì)這些不同的“困惑”產(chǎn)生，說不明它的具體原因。
四 ：整數(shù)分解中的“困惑”
在自然數(shù)列中，“是否存在素?cái)?shù)判別的多項(xiàng)式算法？” 這應(yīng)該說是繼以上問題所產(chǎn)生的第三個(gè)“困惑”。
德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯在他的《算術(shù)探討》中說：“把素?cái)?shù)同合數(shù)鑒別開來及將合數(shù)分解成素因子乘積被認(rèn)作算術(shù)中最重要最有用的問題之一”，在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前，雖然也有許多素?cái)?shù)判別方法，如試除法、短除法、輾轉(zhuǎn)相除法、數(shù)碼特征判別法，但因?yàn)橛檬止び?jì)算，即是對(duì)于一個(gè)十幾位的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算也需要好幾天的時(shí)間。對(duì)于較大的整數(shù)顯得更加無能為力了。在計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的今天，對(duì)于素?cái)?shù)的判別和大數(shù)的分解，已成為計(jì)算數(shù)論中的重要組成部分。近幾十年，數(shù)論學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家們對(duì)計(jì)算數(shù)論取得了許多新的方法，在較好的計(jì)算機(jī)上判別一個(gè)一百位的數(shù)是否素?cái)?shù)，在不到一分鐘的時(shí)間內(nèi)也可以完成。
從已知的所有素?cái)?shù)分布情況中可以看出，不論是素?cái)?shù)還是合數(shù)，找不到任何一種分布規(guī)律。“是否存在素?cái)?shù)判別的多項(xiàng)式算法？”，這已成為一個(gè)沒有解決的公開問題。在這方面，吸引了古今中外的許多數(shù)學(xué)家對(duì)它的研究。在高斯時(shí)代基本上確認(rèn)了簡(jiǎn)單的素?cái)?shù)公式是不存在的。在計(jì)算機(jī)判別素?cái)?shù)方法中，也基本上是用試除法進(jìn)行的。在判別的數(shù)不大于16 位數(shù)時(shí)，（因一般計(jì)算機(jī)存放空間有限）是沒有問題的。但對(duì)于70 位的數(shù)作素?cái)?shù)判別就無能為力了。因此，數(shù)學(xué)家威廉斯在1978 年發(fā)表的文章中說：“我們認(rèn)為，沿著這個(gè)方向的工作，我們已經(jīng)做了盡可能的推廣，要取得素?cái)?shù)判別的更進(jìn)一步的結(jié)果，或許應(yīng)該朝其它發(fā)現(xiàn)上努力。”從努卡斯到威廉斯他們探索素?cái)?shù)判別方法這一百多年中，雖經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力使這種方法得到不斷的改進(jìn)，最后卻由威廉斯宣告此路已走對(duì)盡頭，并指出數(shù)學(xué)家們應(yīng)該進(jìn)一步研究新的素?cái)?shù)判別方法。1983 年，由艾德利曼和魯梅利提出一個(gè)近似多項(xiàng)式算法的新方法，這種方法在實(shí)際運(yùn)用中，對(duì)1000 位以下的數(shù)而言是有效的。對(duì)于這一方法的研究，它將涉及到代數(shù)數(shù)論、乘法數(shù)論及多項(xiàng)式理論等多方面的專門知識(shí)。雖然這種方法對(duì)較大的數(shù)進(jìn)行素?cái)?shù)判別有效，但由于這種方法較為復(fù)雜，若對(duì)20 50 位以下的數(shù)進(jìn)行判別并不合算。同時(shí)對(duì)一些特殊的數(shù)作素?cái)?shù)判別時(shí)，并不比其它關(guān)于特殊素?cái)?shù)判別方法（如用勒默的方法）方便。因此，在以上介紹的這些方法中，總是各有利弊，它們只能分別適用于適當(dāng)?shù)臄?shù)與計(jì)算機(jī)的性能等具體情況來作素?cái)?shù)判別。在孫琦、曠京華編著的《素?cái)?shù)判定與大數(shù)分解》一書中，還可以了解到波門論斯的一個(gè)表，從該表中可以看到這些不同素?cái)?shù)判定時(shí)的有關(guān)效果。
在以上這些素?cái)?shù)判別方法中，除試除法可同時(shí)對(duì)合數(shù)因子分解外，用其它方法作為素?cái)?shù)判定時(shí)，很難同時(shí)了解到這些大合數(shù)中，所含素?cái)?shù)因子的結(jié)合情況。因此，在大數(shù)分解方法中，同樣存在著難以克服的困難。在整數(shù)的分解中，這些“困惑”一直影響著“數(shù)論”這一數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。可以說，這是第三次讓我們對(duì)自然數(shù)的性質(zhì)、規(guī)律產(chǎn)生“深?yuàn)W感覺”認(rèn)識(shí)的根源與結(jié)果。由于在專門研究自然數(shù)性質(zhì)的“數(shù)論”中， 我們最多也只能了解到通過“數(shù)數(shù)”過程產(chǎn)生自然數(shù)的這種唯一方法，以及對(duì)自然數(shù)數(shù)碼進(jìn)行定義時(shí)的最初形式，但對(duì)自然數(shù)本身與“數(shù)數(shù)”之間所存在的那些最本質(zhì)的性質(zhì)與聯(lián)系規(guī)律，卻無法了解。對(duì)于我們一般不是研究數(shù)學(xué)的人來說，不僅僅感到數(shù)論知識(shí)是一種深?yuàn)W的數(shù)學(xué)分支，同時(shí)也是一種非?？菰锓ξ兜膶W(xué)科。當(dāng)我們對(duì)一個(gè)大數(shù)進(jìn)行分解時(shí)，如果用試除法一一進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，感到更是如此。
而在《數(shù)數(shù)論 》的討論中，卻讓我們明顯地了解到“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)這種方法與自然數(shù)之間的許多性質(zhì)與規(guī)律，兩者之間不僅存在著不可分割的復(fù)雜關(guān)系，同時(shí)對(duì)素?cái)?shù)的判別也有著特殊的用途。
五 ： “困惑”源頭是產(chǎn)生“新困惑”的根源
1742年６月７日，普魯士（今德國(guó)）駐俄羅斯公使哥德巴赫，給當(dāng)時(shí)駐在俄國(guó)彼得堡的一位好友瑞士大數(shù)學(xué)家倫哈特·歐拉的通信中，提出了兩個(gè)推測(cè)：
（A） 每一個(gè)不小于 6 的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和（即偶數(shù) = p1 +p2 p 表素?cái)?shù) 簡(jiǎn)稱‘1 + 1’）
例如： 6 = 3 +3 8 = 5 + 3 10＝７＋３ １２＝５＋７１４＝３＋１１ …
（B）：每一個(gè)不小于９的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和 （即奇數(shù)＝ p1 ＋ p2 ＋ p3 ）
例如：９＝３＋３＋３ １１＝３＋３＋５ ２７＝３＋１１＋１３ …
他在信中說：“我這個(gè)論斷是不是永遠(yuǎn)正確？如果是正確的，希望你替我證明它。如果不對(duì)，希望你舉出一個(gè)例子來”。同年６月３０日歐拉在復(fù)信中寫到：“任何大于６的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認(rèn)為這是完全正確的定理”。這就是所說的哥德巴赫猜想。一般也把命題Ａ稱為偶數(shù)哥德巴赫猜想，把命題Ｂ稱為奇數(shù)哥德巴赫猜想。
顯然，命題Ｂ與命題Ａ是有聯(lián)系的，即命題Ｂ 是命題Ａ 的直接推論，也就是說，只要命題Ａ 正確，就能推斷出命題Ｂ 的正確。
這是因?yàn)?，若命題Ａ 正確，設(shè)整數(shù)Ｎ≥９（Ｎ 是奇數(shù)）則
Ｎ－３＝６
而且 Ｎ－３ 是偶數(shù)
由命題Ａ 可知，必有兩個(gè)奇數(shù)Ｐ１和Ｐ２，使得
Ｎ－３＝Ｐ１＋Ｐ２
Ｎ＝３＋Ｐ１＋Ｐ２
因此，命題 Ｂ 也成立·
這就是說，哥德巴赫猜想的本質(zhì)是命題Ａ，因此，解決這一問題的關(guān)鍵就是在證明偶數(shù)哥德巴赫猜想?，F(xiàn)在說到哥德巴赫猜想時(shí)，總是只指關(guān)于偶數(shù)哥德巴赫猜想。在對(duì)這一問題研究中，也把這樣的偶數(shù)稱為哥德巴赫數(shù)。
由于這一問題敘述簡(jiǎn)明，論證艱深，因此吸引了世界上許多數(shù)學(xué)家的興趣。在哥德巴赫猜想問題研究中，從１７４２年的１９世紀(jì)結(jié)束時(shí)這１６０多年里，并沒有得到任何實(shí)質(zhì)性的結(jié)果和提出有效的研究方法。雖然有人曾對(duì)這樣的偶數(shù)進(jìn)行了驗(yàn)證工作，結(jié)果驗(yàn)算到三千三百萬(wàn)以內(nèi)的所有偶數(shù)，都表明這一論斷是對(duì)的。在自然數(shù)中，偶數(shù)有無窮多個(gè)，對(duì)于那些更大更大的偶數(shù)，是不是也同樣符合這一猜想？這是不可能都一一驗(yàn)證下去的，只有在科學(xué)的證明基礎(chǔ)上，這一猜想才能夠成立。
哥德巴赫猜想這一問題，雖經(jīng)過近２７０年的研究歷史，但現(xiàn)在仍然不能去證明它。這時(shí)甚至讓數(shù)學(xué)家們也放棄對(duì)該問題的研究，同時(shí)不斷告誡人們：不要再為研究哥德巴赫猜想這一問題付出不必要的時(shí)間和精力。甚至有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為，如果在不了解高深的數(shù)論知識(shí)時(shí)，來證明哥德巴赫猜想，可以比作是騎著自行車上月亮上一樣，是不可能辦到的事。從哥德巴赫猜想提出的270 年的歷史中，這一問題一直困惑著人們。
這讓我們第四次對(duì)自然數(shù)的性質(zhì)、規(guī)律產(chǎn)生新的“困惑”。與此同時(shí)還有孿生素?cái)?shù)對(duì)、2 P素?cái)?shù)對(duì)等許多與素?cái)?shù)性質(zhì)、分布規(guī)律有關(guān)的素?cái)?shù)問題，至今人們都很難以得到一個(gè)好的解決方法。
當(dāng)從“困惑的源頭”產(chǎn)生的根源談起，到“新困惑”的繼續(xù)產(chǎn)生，歷時(shí)兩千五百多年的歷史中看出，由于畢達(dá)哥拉斯在對(duì)自然數(shù)的分類中，僅僅是對(duì)具有不同性質(zhì)的整數(shù)進(jìn)行了一次“名詞概念”上的定義，但對(duì)于這些不同整數(shù)的性質(zhì)來說，他沒有做出任何性質(zhì)的研究。由于素?cái)?shù)在自然數(shù)中的特殊性質(zhì)，所有“困惑”的產(chǎn)生都與其有關(guān)。素?cái)?shù)作為組成自然數(shù)的一種“基本材料”，但是在數(shù)論研究中，我們總是直接對(duì)“困惑”難題本身的性質(zhì)，不遺余力地去證明，去推理，去研究，而對(duì)素?cái)?shù)本身的性質(zhì)，產(chǎn)生的原因則不去進(jìn)行追根問底地探討，這不能不說我們?cè)诓蛔圆挥X中犯了一次研究方法上的錯(cuò)誤。在數(shù)學(xué)研究中，如果我們?nèi)匀谎刂@種方法走下去，那幺還將產(chǎn)生新的“困惑”難題，還會(huì)讓我們繼續(xù)跋涉在艱難困苦的道路上。不論在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域還是在自然科學(xué)研究理論中，都將產(chǎn)生無法估計(jì)的損失和難以克服的困難。
六 ： “困惑”根源對(duì)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的影響
從數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)這種初級(jí)數(shù)學(xué)運(yùn)算形式，當(dāng)發(fā)展為第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算方法后，自然數(shù)為什么會(huì)產(chǎn)生如此多的一些不同性質(zhì)，從畢達(dá)哥拉斯對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類后的兩千五百多年歷史中，直到現(xiàn)在人們也沒有對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行過更深入地探討。由于第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算方法，它仍然是源于數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)過程中的一種簡(jiǎn)化形式。因此，當(dāng)我們對(duì)自然數(shù)本身性質(zhì)與規(guī)律的研究中，未對(duì)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最基本的計(jì)數(shù)規(guī)律與性質(zhì)進(jìn)行深入地研究時(shí)，卻對(duì)第二級(jí)算術(shù)運(yùn)算方法中所產(chǎn)生出來的那些具有不同性質(zhì)的自然數(shù)，如：合數(shù)、素?cái)?shù)、因子等它們之間的關(guān)系，直接作為研究對(duì)象時(shí)，實(shí)質(zhì)上已經(jīng)成為對(duì)自然數(shù)進(jìn)行間接的一種研究方法。這種間接研究方法，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)或發(fā)展所產(chǎn)生的不利因素，是各種“困惑”產(chǎn)生的根源，這使人類對(duì)數(shù)學(xué)的研究走上一個(gè)艱難坎坷的探索道路。在人類同數(shù)學(xué)打交道的兩千五百多年的漫長(zhǎng)歷史中，這種困惑產(chǎn)生的源頭，又為后面對(duì)數(shù)學(xué)的研究，帶來了新的及不同形式的連鎖“困惑”的產(chǎn)生。
在畢達(dá)哥拉斯這種間接分類的基礎(chǔ)上，人們對(duì)自然數(shù)的應(yīng)用與研究雖經(jīng)過兩千五百多年的歷史，但對(duì)這種間接分類現(xiàn)象并未引起重視，從來沒有人去進(jìn)行過追根問底地深入探討。因此，對(duì)于自然數(shù)與數(shù)數(shù)之間存在的有那些不可分割的復(fù)雜關(guān)系的認(rèn)識(shí)與了解，成為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一大空白。當(dāng)發(fā)現(xiàn)在自然數(shù)中，對(duì)某些數(shù)所存在著的不同性質(zhì)與規(guī)律不能夠做出圓滿解釋時(shí)，卻被變成今天數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的難題。例如在數(shù)學(xué)家華羅庚先生所著的《數(shù)論導(dǎo)引》這一著作中，作為“數(shù)論”研究的專著，第一頁(yè)從第一章第一節(jié)開始，直接就進(jìn)入到對(duì)“整數(shù)之分解”的討論。在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，脫離了對(duì) “數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最基本的數(shù)學(xué)形式的認(rèn)識(shí)，并把“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”從數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中游離出來后，從第二級(jí)算術(shù)這種間接基礎(chǔ)上研究數(shù)學(xué)的性質(zhì)，對(duì)于研究中的某些難題得不到解決，也就不足為奇了。
現(xiàn)代在對(duì)自然科學(xué)的研究領(lǐng)域中 ，越來越趨于對(duì)其微觀世界進(jìn)行深層次的探討，而所取得的成就也越來越顯得十分突出或重要。但在數(shù)學(xué)研究中，正好缺少的就是對(duì)數(shù)學(xué)研究中類似“微觀世界”的了解。根據(jù)畢達(dá)哥拉斯對(duì)自然數(shù)的表面現(xiàn)象與性質(zhì)，作為對(duì)自然數(shù)的間接分類方法， 這種人為的分類方法，不能不使我們懷疑它的 合理性。因?yàn)槲覀儫o法了解自然數(shù)為什么會(huì)存在著以上性質(zhì)的真正原因。在對(duì)自然數(shù)本身表現(xiàn)出的基本性質(zhì)與規(guī)律還沒有完全了解時(shí)進(jìn)行分類，一開始就讓人們?cè)谒阈g(shù)運(yùn)算時(shí)，對(duì)某些性質(zhì)進(jìn)入到一個(gè)知其然而不知其所以然的認(rèn)識(shí)中。分布在自然數(shù)列中的各個(gè) 整數(shù)存在的性質(zhì)，它們所含的因子有多有少、有大有小，而且這些自然數(shù)的大小與因子的個(gè)數(shù)多少并無關(guān)系，例如：210 = 2×3×5×7 133 = 7×19 385 = 5×7×11 415 = 5×83 各個(gè)自然數(shù)中所含的這些因子，又表明它們與自然數(shù)數(shù)列之間存在著什么樣的關(guān)系呢？在素?cái)?shù)中，為什么唯有“2”這樣一個(gè)偶數(shù)呢？為什幺找不到素?cái)?shù)的分布規(guī)律？諸如這樣的許多問題，我們從未有去進(jìn)行過更深入地探討 。
自然數(shù)雖是一種抽象的數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，但它的產(chǎn)生卻原于對(duì)空間事物所存在的具體形式， 通過“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)這種基礎(chǔ)方法所產(chǎn)生的?？梢哉f，“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)過程是客觀事物與自然數(shù)這種抽象符號(hào)連接與對(duì)應(yīng)的唯一途徑。我們對(duì)類似“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)這樣簡(jiǎn)單的方法與以上因子的性質(zhì)沒有進(jìn)行了解之前，而以人為的方法，僅僅根據(jù)自然數(shù)在算術(shù)的第二級(jí)運(yùn)算法則中所表現(xiàn)出來的不同性質(zhì)，或一個(gè)數(shù)所含因子個(gè)數(shù)的多少對(duì)它們進(jìn)行分類，看似雖然這是科學(xué)的，但我們卻難以了解在分類過程中，這些自然數(shù)為什么會(huì)出現(xiàn)不同因子個(gè)數(shù)的基本原因。以上出現(xiàn)的這些問題，看似雖然十分簡(jiǎn)單，它們卻預(yù)示著在數(shù)學(xué)中存在著某些 “微觀規(guī)律或現(xiàn)象”，而我們現(xiàn)在還并非真正認(rèn)識(shí)或了解到它的存在。
在對(duì)自然數(shù)性質(zhì)的研究過程中，對(duì)自然數(shù)本身所表現(xiàn)出來的一些性質(zhì)，應(yīng)該多問幾個(gè)為什么。自然數(shù)中所含因子的不規(guī)則出現(xiàn)，素?cái)?shù)在自然數(shù)列中無規(guī)律的分布形式，它們與“數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)形式之間是否有某種聯(lián)系，所有這些，我們都無法給出正確的答案。在數(shù)學(xué)中對(duì)這樣的“微觀數(shù)學(xué)世界”進(jìn)行研究 ，有必要對(duì)它進(jìn)行一次追根問底的探討。從人類對(duì)空間事物“量”的認(rèn)識(shí)與數(shù)字符號(hào)的產(chǎn)生到它的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)學(xué)這門學(xué)科的研究，雖已經(jīng)過數(shù)千年或上萬(wàn)年的漫長(zhǎng)歷史，但我們?nèi)祟惪偸青笥谝延械臄?shù)學(xué)知識(shí)，卻看不到數(shù)學(xué)中這種“微觀形式”的存在。當(dāng)小學(xué)生最初學(xué)習(xí)加法、減法時(shí)，他們都要通過數(shù)自己的手指或其它物品為參照物的一種對(duì)應(yīng)形式，然后作為進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)的主要方法。然而，當(dāng)我們一旦有了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)后，從來未有把 “數(shù)數(shù)”計(jì)數(shù)這樣的“微觀形式”看做是數(shù)學(xué)的一部分。數(shù)學(xué)家們?cè)跀?shù)學(xué)的研究中，幾乎更不認(rèn)為“數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)”這樣的簡(jiǎn)單形式就是數(shù)學(xué)，然而在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)學(xué)家又與不會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的普通人一樣，在購(gòu)物過程中進(jìn)行清點(diǎn)錢幣與商品數(shù)量時(shí)，都同樣是在應(yīng)用“數(shù)數(shù)”這一最基本的計(jì)數(shù)方法，首先作為一種數(shù)學(xué)形式被應(yīng)用著。重新認(rèn)識(shí)創(chuàng)新數(shù)學(xué)《 數(shù)數(shù)論 》中的數(shù)學(xué)規(guī)律與性質(zhì)，它將是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中 一種重要的“微觀數(shù)學(xué)”模型。不僅數(shù)論研究中的許多性質(zhì)或規(guī)律都與它有關(guān)，并且對(duì)一些新發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)或規(guī)律，將會(huì)給我們帶來出人意料地驚喜，甚至為這些妙不可言的性質(zhì)與規(guī)律的存在，會(huì)讓我們達(dá)到拍案叫絕的驚人地步。同時(shí)，其中某些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)將會(huì)成為創(chuàng)新科學(xué)發(fā)展中的重要工具。
七 ： 我們今天對(duì)數(shù)學(xué)的性質(zhì)知多少
當(dāng)現(xiàn)代數(shù)字化高科技快速發(fā)展的今天，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，依然對(duì)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種最基本的數(shù)學(xué)形式?jīng)]有引起我們的注意，甚至從來沒有認(rèn)為這種簡(jiǎn)單的“數(shù)數(shù)”方法，它是一種數(shù)學(xué)形式。
這種現(xiàn)象的存在，是我們一直對(duì)數(shù)學(xué)這種抽象科學(xué)感到困惑的原因。這種“困惑”的存在，不但影響著對(duì)數(shù)學(xué)研究的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)的深入了解與認(rèn)識(shí)，同時(shí)也使一些人們?cè)谛睦砩喜粌H把數(shù)學(xué)視為是一種深?yuàn)W的學(xué)科，同時(shí)又把它看做是一種枯燥無味的學(xué)科。當(dāng)人們掌握了一些實(shí)用數(shù)學(xué)知識(shí)后，除數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛好者外，大部分人們不再對(duì)數(shù)學(xué)研究引起關(guān)注或?qū)?shù)學(xué)存在著不感興趣的心理。這種現(xiàn)象，不但表現(xiàn)在社會(huì)環(huán)境人群中，即是在學(xué)校環(huán)境中也同樣可以看到這種現(xiàn)象。這是一種社會(huì)現(xiàn)象。這里不是說要讓我們都來關(guān)心或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)，而這種現(xiàn)象起碼可以表明在科學(xué)研究領(lǐng)域內(nèi)，會(huì)造成科學(xué)人才的缺乏，或影響人們對(duì)科學(xué)素質(zhì)的提高。
數(shù)學(xué)研究分為兩大部分，即應(yīng)用數(shù)學(xué)和純粹數(shù)學(xué)。在純數(shù)學(xué)這部分里，主要討論數(shù)的性質(zhì)的一門學(xué)科，這就是數(shù)論。我們?cè)诮裉斓目茖W(xué)研究領(lǐng)域內(nèi)或是在日常生活中，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)或應(yīng)用，大部分都是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，而對(duì)數(shù)論知識(shí)的了解卻甚少。即是在數(shù)論研究中，基本都是討論整數(shù)的整除性問題，以及由此所產(chǎn)生的解析數(shù)論，代數(shù)數(shù)論，幾何數(shù)論等問題。
數(shù)學(xué)作為研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，早在人類文化的初期開始，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，就已積累了一些數(shù)學(xué)知識(shí)，到十六世紀(jì)時(shí)，包括算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三角的初等數(shù)學(xué)已大體上完備了由于生產(chǎn)力的不斷發(fā)展，在推動(dòng)自然科學(xué)發(fā)展的同時(shí)，人們獲得了變量的概念，這是數(shù)學(xué)發(fā)展上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，數(shù)學(xué)不僅研究不變量和個(gè)別圖形，而且開始研究變化中的量與量之間的互相制約的關(guān)系和圖形間的相互變換，從而使運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。隨著生產(chǎn)力的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)研究的范圍也在不斷地?cái)U(kuò)大。因此，數(shù)學(xué)廣泛地被應(yīng)用到自然科學(xué)和技術(shù)的各個(gè)部門，由于計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，習(xí)慣上把數(shù)學(xué)分為數(shù)理邏輯、數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓補(bǔ)學(xué)、函數(shù)論、泛函分析、微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和計(jì)算數(shù)學(xué)等分支，同時(shí)也產(chǎn)生了一些邊緣性學(xué)科，如運(yùn)籌學(xué)、控制論等大量的數(shù)學(xué)理論。在純數(shù)學(xué)研究中，從數(shù)的本質(zhì)開始，一直到群論、超越數(shù)、超復(fù)數(shù)、連續(xù)統(tǒng)等等許多高深的數(shù)學(xué)理論，但從這些數(shù)學(xué)理論中，卻找不到《數(shù)數(shù)論》 創(chuàng)新數(shù)學(xué)理論中的任何一種方法。
在創(chuàng)新數(shù)學(xué)《數(shù)數(shù)論》里，討論的是自然數(shù)自身所存在的“數(shù)”與 數(shù)之間、數(shù)與數(shù)之間各種關(guān)系的一種理論。這種新理論的創(chuàng)建，將讓我們重新認(rèn)識(shí)自然數(shù)的性質(zhì)、規(guī)律、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，自然數(shù)列中不同整數(shù)性質(zhì)產(chǎn)生原因等，所有這些討論和發(fā)現(xiàn)的具體規(guī)律，都基本上是我們從未認(rèn)識(shí)的。人們?cè)跀?shù)學(xué)研究中所遇到的困惑，總是想方設(shè)法地渴望著得到解決方法。然而，由于我們對(duì)這些新發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)并不了解，這不能不說是在數(shù)學(xué)研究中產(chǎn)生“困惑”的重要因素。
在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中，不同的數(shù)學(xué)分支研究理論，無一不對(duì)自然科學(xué)的研究起著重要的作用。然而各種數(shù)學(xué)分支又無一不與自然整數(shù)發(fā)生關(guān)系，可以看出，當(dāng)對(duì)自然數(shù)這一基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，我們?nèi)绻荒苋娴剡M(jìn)行了解時(shí)，對(duì)于其它數(shù)學(xué)分支所產(chǎn)生的不良影響或發(fā)展，是很難預(yù)料或想象的。盡管這種影響并不會(huì)都
像哥德巴赫猜想那種“困惑”表現(xiàn)的明顯，但很可能當(dāng)我們?nèi)绻M(jìn)行追根問底地不斷提出為什幺時(shí)，對(duì)于某些問題來說，也很可能不會(huì)得到圓滿的答案。因?yàn)槲覀儗?duì)產(chǎn)生各種數(shù)學(xué)理論知識(shí)的基本要素自然數(shù)本身的性質(zhì)，并沒有得到全面的了解。而對(duì)組成自然數(shù)的基本材料“素?cái)?shù)”更是顯得如此。
以上所有這些數(shù)學(xué)研究中，不論是所取得的研究成果，還是存在的未解之謎的“困惑”，雖然得不到全面的了解，但是也略見一斑，這大概就是今天人們對(duì)數(shù)學(xué)了解的情況吧。
八 ： 創(chuàng)新數(shù)學(xué) 《數(shù)數(shù)論》的研究
《數(shù)數(shù)論》，是一個(gè)不同尋常的數(shù)學(xué)模型。在研究“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”與自然數(shù)數(shù)列之間所存在的規(guī)律與性質(zhì)時(shí)，則是根據(jù)這種數(shù)學(xué)模型進(jìn)行的。在數(shù)學(xué)研究中，這種創(chuàng)新數(shù)學(xué)的研究方法，為填補(bǔ)數(shù)學(xué)研究中的空白與數(shù)論的發(fā)展，今后將會(huì)起到不可估量的作用。作者在經(jīng)過數(shù)十年對(duì)自然數(shù)的性質(zhì)、規(guī)律進(jìn)行不斷地探討中認(rèn)識(shí)到，對(duì)解決類似哥德巴赫猜想這些數(shù)學(xué)難題中所涉及到的素?cái)?shù)之間的問題，關(guān)于不同性質(zhì)的自然數(shù)之間所存在的各種關(guān)系，除重新認(rèn)識(shí)和了解這種創(chuàng)新數(shù)學(xué)中所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)與規(guī)律外，別無他法。
《數(shù)數(shù)論》是研究存在于自然數(shù)列中，對(duì)具有不同性質(zhì)整數(shù)的一種創(chuàng)新數(shù)學(xué)研究方法。在討論中，根據(jù)“篩法表”這樣一個(gè)特殊的數(shù)學(xué)模型，對(duì)存在于自然數(shù)列中的素?cái)?shù)、合數(shù)、因子的結(jié)合與分布、整數(shù)商的表現(xiàn)形式、積數(shù)與因子的關(guān)系、余數(shù)的性質(zhì)（不全同于‘同余性質(zhì)’、‘模數(shù)性質(zhì)’）、素?cái)?shù)與偶數(shù)的關(guān)系、素?cái)?shù)與合數(shù)等這些數(shù)之間的不同規(guī)律。在所有討論過程中，都是以“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一最基本的數(shù)學(xué)方法為基礎(chǔ)的。通過這些討論所取得的每個(gè)結(jié)果，都會(huì)讓我們認(rèn)識(shí)到“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這一數(shù)學(xué)方法，對(duì)數(shù)學(xué)研究所起的作用。
在四則算術(shù)運(yùn)算法則中，除加法和減法這兩種初級(jí)計(jì)算方法，可以用數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)這種方法直接進(jìn)行計(jì)算外，在乘法和除法第二級(jí)計(jì)算方法中，如果我們不是通過應(yīng)用“乘法口訣”這種方法去進(jìn)行計(jì)算，恐怕就很難快速地得到計(jì)算結(jié)果。假設(shè)我們同樣不用“乘法口訣”要把自然數(shù)列某范圍內(nèi)的素?cái)?shù)全部找出來，這可能讓我們也是很難辦到的。然而在《數(shù)數(shù)論》中，如作為一種專門篩選素?cái)?shù)方法來說，我們完全不必考慮“三七二十一”這種“乘法口訣”的存在與否，也不必考慮乘法、除法之間的因倍關(guān)系的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)和加法這種產(chǎn)生自然數(shù)的最基本方式，不僅可以非常快速地把素?cái)?shù)篩選出來，同時(shí)還將使我們了解到更多的未知規(guī)律。作者正是在用這種方法把 1000 以內(nèi)自然數(shù)中的全部素?cái)?shù)篩選出來后，當(dāng)與一本數(shù)學(xué)讀物中的“千以內(nèi)素?cái)?shù)表”進(jìn)行對(duì)照比較時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)該書原表中印錯(cuò)四處。正是由于這種偶然的發(fā)現(xiàn)原因或所產(chǎn)生的吸引力，才使得作者對(duì)這種規(guī)律進(jìn)行了數(shù)十年時(shí)間的長(zhǎng)期探討和研究。而每發(fā)現(xiàn)一種規(guī)律的存在，都要對(duì)它的形成原因去不斷地提出為什幺，一直得到對(duì)它形成的原因、規(guī)律、性質(zhì)的全面了解為止。
由于“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”本身這種形式，不僅是一種計(jì)數(shù)行為，同時(shí)也是在對(duì)空間事物進(jìn)行有序的一種排列形式。因此，在對(duì)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”討論中所表現(xiàn)出的許多我們不曾了解的有序規(guī)律，很可能在空間事物中，也存在著我們未曾認(rèn)識(shí)的相似的 規(guī)律，所以當(dāng)我們?cè)趯?duì)自然科學(xué)的研究中，對(duì)空間事物與“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù) ”之間是否能夠建立相對(duì)應(yīng)的規(guī)律，這將是科學(xué)研究 領(lǐng)域中的一種重大突破 ，因?yàn)檫@將于示著在許多科學(xué)研究中，不僅是一種定量化的一種形式，也是 具有系統(tǒng)規(guī)律的一種研究方法。科學(xué)家錢學(xué)森曾經(jīng)想建立起一套“系統(tǒng)理論”，如果當(dāng)我們?cè)诟鶕?jù)“數(shù)數(shù)論”中所表現(xiàn)出的許多不同系統(tǒng)規(guī)律，形成一種新的科學(xué)研究方法后，這無疑是科學(xué)研究領(lǐng)域中的一種劃時(shí)代的革命。由于在《數(shù)數(shù)論》的討論中，可以從中了解到各個(gè)不同素?cái)?shù)因子的結(jié)合規(guī)律和它的不同分布周期的形式，這為我們對(duì)許多自然規(guī)律的研究提供了數(shù)學(xué)的表達(dá)依據(jù)。例如生物的生物鐘節(jié)律，天文學(xué)中的星體在宇宙中運(yùn)轉(zhuǎn)周期，這些一切具有周期活動(dòng)的自然規(guī)律，都很有可以從中尋找出不同因子的結(jié)合與它們的分布形式，作為研究中的數(shù)學(xué)依據(jù)。人們根據(jù)自然界的生物結(jié)構(gòu)與生活習(xí)性，它們表現(xiàn)出的各種現(xiàn)象，以自然為師，成功地建立了仿生學(xué)原理，創(chuàng)造出不同形式的仿生機(jī)械。當(dāng)通過自然數(shù)表現(xiàn)出的各種規(guī)律與性質(zhì)后，也有可能將建立起一個(gè)新的系統(tǒng)數(shù)學(xué)原理，以及密碼學(xué)、程序設(shè)計(jì)等學(xué)科模型。
在《數(shù)數(shù)論》中，通過對(duì)素?cái)?shù)的篩選，素因子的分布、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系等許多被發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行了探討。因此，在《數(shù)數(shù)論》中表現(xiàn)出的所有規(guī)律，既是對(duì)它們的發(fā)現(xiàn)過程，也是對(duì)它們討論的過程?？梢哉f，對(duì)于每一種規(guī)律的產(chǎn)生或了解，都能讓我們不僅知其然，也讓我們知其所以然形成的真正原因。在這種不斷地探討、總結(jié)、反思、比較、實(shí)驗(yàn)、檢查的研究或思索中，對(duì)數(shù)學(xué)研究中所產(chǎn)生的某些“困惑”原因，當(dāng)追根溯源時(shí)，不得不上溯到兩千五百多年前的古希臘時(shí)代。由于畢達(dá)哥拉斯對(duì)自然數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，對(duì)自然數(shù)列中的素?cái)?shù)、合數(shù)、素?cái)?shù)因子等這些整數(shù)的基本性質(zhì)，沒有去深入地研究，僅憑它們的表現(xiàn)出來的一些表面現(xiàn)象做出的分類，致使這種原因造成的“困惑”一直影響著我們對(duì)數(shù)學(xué)本身性質(zhì)的了解 。對(duì)于畢達(dá)哥拉斯根據(jù)自然數(shù)的不同性質(zhì)的分類形式，在前面已經(jīng)了解到，這種間接的分類方法是產(chǎn)生各種“困惑”的總源頭。在數(shù)學(xué)研究中，畢達(dá)哥拉斯的這種分類方法，當(dāng)經(jīng)歷了兩千五百多年的漫長(zhǎng)時(shí)間的應(yīng)用時(shí)，人們并未有對(duì)它產(chǎn)生任何懷疑或提出異議。但在《數(shù)數(shù)論》的研究中卻發(fā)現(xiàn)，其中有許多新發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，都與數(shù)學(xué)中存在的這些“困惑”及疑難問題有關(guān)。這是“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”表現(xiàn)出的本質(zhì)所決定的。
作者在對(duì)《數(shù)數(shù)論》中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行不斷深入地探討時(shí)，越發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律，與數(shù)學(xué)研究中的基本性質(zhì)有著密不可分的關(guān)系。當(dāng)漫步在這一處女地時(shí)，對(duì)于一些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，可以說是有左右逢源之勢(shì)，那些不曾了解的規(guī)律俯仰皆是。如果認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)的研究，是一種枯燥無味的學(xué)科，在這里卻像走進(jìn)一座夢(mèng)幻世界一般誘人，每發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的規(guī)律，都讓人感到是一種驚喜。當(dāng)對(duì)這些規(guī)律連續(xù)不斷地被發(fā)現(xiàn)、被證實(shí)，并經(jīng)過實(shí)際操作進(jìn)行檢驗(yàn)無誤時(shí)，不能不讓我們?yōu)樽匀粩?shù)表現(xiàn)出的這些神奇性質(zhì)的絕妙程度感到驚訝！作者當(dāng)時(shí)曾感慨地寫出以下楹聯(lián)：
運(yùn)籌帷幄 ，公理 ，公式 ，定理 ，規(guī)律 ， 紙上描繪 + — × ÷ 最新藍(lán)圖
洞察宇宙 ，星系 ，星球 ，生命 ，物質(zhì) ， 筆下推出 A B C D 盡在其中
橫批： 數(shù)列上帝
以上楹聯(lián)雖聊博大雅一笑，但所發(fā)現(xiàn)的這些規(guī)律，確確實(shí)實(shí)能讓我們體會(huì)到自然數(shù)列中所表現(xiàn)出的規(guī)律、性質(zhì)，作為與空間事物唯一能夠形成對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)這門科學(xué)中的魅力。同時(shí)也將讓我們感到人類對(duì)自然科學(xué)的研究，用“數(shù)學(xué)”這一抽象的符號(hào)形式作為研究工具，這是人類發(fā)展史上最偉大最成功的創(chuàng)舉！
九 《數(shù)數(shù)論》觸動(dòng)了數(shù)學(xué)“大廈”的根基
由于《數(shù)數(shù)論》的創(chuàng)作，雖然從表面看是最基本不過的一種平常清點(diǎn)空間事物數(shù)目的一種方法，但卻涉及到兩千五百多年前的數(shù)學(xué)發(fā)展史。前面雖然沒有對(duì)大名鼎鼎數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在對(duì)自然數(shù)所分類別提出異議，但卻明顯地指出他這種分類方法中存在著人為因素所帶來的后果。因此，這種間接分類方法不僅是對(duì)“埃氏篩法”的創(chuàng)建，還是數(shù)學(xué)研究中在后面所產(chǎn)生的連鎖“困惑”根源，卻都是在這種間接分類基礎(chǔ)上形成的。因此，在數(shù)論研究中，人們不但不得不直接從整數(shù)的整除性開始進(jìn)行研究，而且還要對(duì)整數(shù)中表現(xiàn)出的一些性質(zhì)必須得到數(shù)學(xué)上的證明。因?yàn)橹挥羞@樣，人們才有可能夠認(rèn)識(shí)這些性質(zhì)或規(guī)律存在的原因?？梢姀漠呥_(dá)哥拉斯對(duì)‘數(shù)論’的創(chuàng)建，到今天對(duì)‘數(shù)論’的研究，在這漫長(zhǎng)悠久的歷史中，有多少數(shù)學(xué)家為之付出了多少心血，這是無法統(tǒng)計(jì)的。但現(xiàn)在我們要真正去了解這些性質(zhì)和規(guī)律存在的“所以然”時(shí)，恐怕從這些證明中，也還是很難得到最終圓滿的解釋結(jié)果。
在前面文章的討論時(shí)已經(jīng)提到華羅庚先生在他的《數(shù)學(xué)的用場(chǎng)與發(fā)展》著作中說：“…數(shù)起源于數(shù)…所以‘數(shù)’是各種各樣不同量的共性，必須通過它才能比較量的多寡，才能說明量的變化”，這里從另一個(gè)側(cè)面告訴我們，“數(shù)”才是自然數(shù)的根基。顯然，對(duì)于“數(shù)”的認(rèn)識(shí)，不僅同樣重要，而且對(duì)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”的研究更顯得重要。
從自然數(shù)的產(chǎn)生中可以看出，在數(shù)學(xué)研究中，一旦對(duì)某些性質(zhì)進(jìn)行追根問底的時(shí)候，很容易觸動(dòng)數(shù)學(xué)這座“大廈”根基的動(dòng)搖?！稊?shù)數(shù)論》中，對(duì)于“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)“這一不起眼規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，將是引起數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的一次“地震”！
在人類對(duì)自然科學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中，人們?cè)欢日J(rèn)為上帝創(chuàng)造了人類。并認(rèn)為太陽(yáng)是從東方升起落到西方，它是圍繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的。人們被托勒玫的“地心說”這一理論長(zhǎng)期地統(tǒng)治著對(duì)天文學(xué)的認(rèn)識(shí)，直到哥白尼在《天體運(yùn)行論》中提出了“日心說”時(shí)，人們才對(duì)天文學(xué)有了新的認(rèn)識(shí)。而哥白尼的《天體運(yùn)行論》的發(fā)表，并不是一帆風(fēng)順的，它不僅被列為禁書，就是支持這一理論的科學(xué)家布魯諾也被宗教裁判所燒死在羅馬，伽利略則遭到教會(huì)的終身監(jiān)禁。這里不難看出，在人類意識(shí)形態(tài)長(zhǎng)期受原有理論占領(lǐng)時(shí)，一種新理論的建立并不會(huì)一下得到認(rèn)可，尤其是容易引起對(duì)原有理論產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí)時(shí)，更是如此。好在現(xiàn)在并不是哥白尼所處的時(shí)代，在信息技術(shù)發(fā)達(dá)地今天，真正的理論基礎(chǔ)是最容易傳播的，當(dāng)對(duì)“數(shù)數(shù)論”中的規(guī)律了解后，人們是會(huì)做出正確判斷的。
《數(shù)數(shù)論》中所發(fā)現(xiàn)的每條規(guī)律，作者盡量做了詳細(xì)地討論，并采用了圖表作為實(shí)驗(yàn)形式，雖然并不能保證完美無缺，但每條規(guī)律就明顯地?cái)[在那里，自然數(shù)列中所表現(xiàn)出的這些規(guī)律，不能不讓人們感到它們的魅力。因此，這些規(guī)律并不像用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言證明出來那樣難看。由于數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)本身這種形式就是老幼皆會(huì)的基本計(jì)數(shù)方法，所以一般對(duì)數(shù)學(xué)愛好的每個(gè)中學(xué)文化程度的同學(xué)，從頭開始進(jìn)行閱讀（因?yàn)槠渲杏行└拍钍歉鶕?jù)實(shí)際情況進(jìn)行創(chuàng)新定義的）時(shí)，我相信是都能夠看懂的。
十《數(shù)數(shù)論》的“微觀效應(yīng)”
前面，把《數(shù)數(shù)論》比為“微觀數(shù)學(xué)”的一種研究方法。為了說明這一問題，這里不妨先看看“微觀” 這一概念指的是什么。
“微觀”概念是一個(gè)屬性詞。1指深入到分子、原子、電子等構(gòu)造領(lǐng)域的微觀世界；2指部分或較小范圍的領(lǐng)域。在科學(xué)研究中，有許多科學(xué)分支都與研究物質(zhì)世界的微觀現(xiàn)象有關(guān)。如：數(shù)學(xué)中的“微積分”（微分和積分的合稱），微分描述物體運(yùn)動(dòng)的局部性質(zhì)，積分描述物體運(yùn)動(dòng)的整體性質(zhì)；化學(xué)中的“微量元素”，如生物體正常生理活動(dòng)所必需但需求量很少的元素，如：硼、砷、錳、銅、鈷 … 等；醫(yī)學(xué)中的“微循環(huán)”是指微動(dòng)脈與微靜脈間的血液循環(huán)。微生物則是指形體微小、構(gòu)造簡(jiǎn)單的生物的統(tǒng)稱。微生物 絕大部分個(gè)體在顯微鏡下才能看到，如廣泛分布在自然界的細(xì)菌、立克次體、支原體衣原體病毒、原生動(dòng)物等。細(xì)菌是存在于地球上任何一個(gè)角落的微生物，在人類未出現(xiàn)之前它們就已經(jīng)大量繁殖起來了。人類生活的空間全部被這些微生物包圍著。但是直到顯微鏡的發(fā)明后，人們才對(duì)它有了較多的認(rèn)識(shí)。在科學(xué)研究活動(dòng)中，顯微鏡和顯微技術(shù)成為一種非常重要的工具或研究方法。除此之外，也把分子、原子、電子、夸克等極微小物質(zhì)的領(lǐng)域稱為“微觀世界”。把以單個(gè)經(jīng)濟(jì)單位、個(gè)別商品作為研究對(duì)象的“微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)”。在電子學(xué)方面還有“微波”和利用微波加熱制造的“微波爐”吹具。但在數(shù)論研究中是不存在這些“微觀”理論的?？梢钥闯?，即是在數(shù)學(xué)中所存在的“微積分”這種理論，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)去研究空間事物的一種數(shù)學(xué)理論。我們從來就不會(huì)認(rèn)為在數(shù)學(xué)自身中也會(huì)存在著有“微觀現(xiàn)象”。人們的這種意識(shí)，也很難說不是造成在數(shù)學(xué)研究中，當(dāng)遇到疑難問題時(shí)，不去進(jìn)行追根溯源地保持著固有的思維。這種被僵化了的思維習(xí)慣，或許也可能是受歷史上已被那些大數(shù)學(xué)家們證明了的定理的影響，一般不敢貿(mào)然地去進(jìn)行打破砂鍋問到底的不斷地提出為什么，這也很難說不存在著這種思維因素?？傊?，在近幾個(gè)世紀(jì)以來，在數(shù)論研究中再?zèng)]有較大的突破性研究結(jié)果出現(xiàn)。提出來的除了“假設(shè)”，就是“猜想”，要不然就是“幾乎”或“近似”這些模棱兩可的問題。更直截了當(dāng)?shù)亟Y(jié)論就是“現(xiàn)在還不是研究這類問題的時(shí)候”，但這一結(jié)論卻是最正確的。
《數(shù)數(shù)論》作為一種“微觀數(shù)學(xué)”則是討論作為構(gòu)成自然數(shù)的材料 ——“素?cái)?shù)”在自然數(shù)列中的分布規(guī)律；關(guān)于“素?cái)?shù)因子”（簡(jiǎn)稱：素因子、質(zhì)因子）與偶數(shù)之間的關(guān)系；素因子在自然數(shù)列中的各種表現(xiàn)形式；兩個(gè)素因子結(jié)合時(shí)，它們之間的性質(zhì)是否相同，如：7×5與5×7 等許許多多的合數(shù)7×13 =91; 7×19 = 133; 5×11 = 55; 5×17 = 85; …；5×13 = 65; 7×11 = 77; 5×13 = 65; …；類似這些素因子與它們乘積之間的關(guān)系，其性質(zhì)與規(guī)律有那些是相同的，有那些是不同的；再例如：一個(gè)偶數(shù) 30 = 2×3×5; 30 = 15＋15; 30 =（3×5）＋（3×5）；30 = 5＋（5×5）； 30 = 13＋17; 30 =17＋13; …；可以看出，一個(gè)偶數(shù)可用幾個(gè)不同的表達(dá)式進(jìn)行表示。這些表達(dá)式中的因子，究竟在與用兩個(gè)素?cái)?shù)進(jìn)行表示時(shí)，互相之間又存在著什么關(guān)系，如果不是在《數(shù)數(shù)論》這種特殊模型的研究中，很難讓我們?nèi)ヅ袆e的。
《數(shù)數(shù)論》的研究中，它對(duì)算術(shù)中的整除運(yùn)算性質(zhì)，同樣做了詳細(xì)的討論。如整除中的商數(shù)性質(zhì)、余數(shù)性質(zhì)，以及這些數(shù)同因子的關(guān)系，同積數(shù)之間的關(guān)系等不同規(guī)律。在合數(shù)中，有關(guān)素因子個(gè)數(shù)多少的問題；素?cái)?shù)平方數(shù)與素因子同它們?cè)跀?shù)數(shù)規(guī)律中的表現(xiàn)方式；素?cái)?shù)與數(shù)數(shù)之間所存在的規(guī)律等。在《數(shù)數(shù)論》里所討論的以上這些具體性質(zhì)與規(guī)律，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言是很難證明出來的，尤其是那些還未有被人們發(fā)現(xiàn)或認(rèn)識(shí)到的那些規(guī)律，在應(yīng)用現(xiàn)在其它任何一種數(shù)學(xué)方法都是難以辦到的。而當(dāng)我們研究自然數(shù)的性質(zhì)時(shí)，在《數(shù)數(shù)論》里表現(xiàn)出的這些作用，被比為“微觀數(shù)學(xué)”并不為過。
把《數(shù)數(shù)論》比作為“微觀數(shù)學(xué)”的另一層意思，還是由于在數(shù)學(xué)研究中，因?yàn)槿祟愒谕瑪?shù)學(xué)打交道的數(shù)千年或上萬(wàn)年的漫長(zhǎng)歷史中，我們從來沒有注意到“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”這種方法中，會(huì)存在什么規(guī)律，也從未有認(rèn)為這種方法也是一種數(shù)學(xué)形式，這種現(xiàn)象如同“微生物”存在在我們周圍一樣，我們不通過“顯微鏡”這種工具是很難發(fā)現(xiàn)它們的存在。因此，我們不能不把《數(shù)數(shù)論》看做或是比為是一種具有“微觀數(shù)學(xué)” 效應(yīng)的數(shù)學(xué)研究理論或方法。用《數(shù)數(shù)論》里的方法研究自然數(shù)中的性質(zhì)與規(guī)律，如同用“顯微鏡”觀察微生物世界一樣，有過之而無不及。
在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域內(nèi)，數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)這種方法，則是我們?nèi)祟惱嫌捉灾淖钇胀ǖ臄?shù)學(xué)方法或知識(shí)。數(shù)數(shù)這種方法，是人類從蒙昧?xí)r期進(jìn)入文明時(shí)期的一種標(biāo)志。可以說，人類同數(shù)數(shù)打交道的歷史，遠(yuǎn)比真正意義上的數(shù)字符號(hào)和數(shù)學(xué)形式的產(chǎn)生更為悠久。然而人們對(duì)數(shù)數(shù)、計(jì)數(shù)以及它們同自然數(shù)之間的關(guān)系，仍未有得到認(rèn)識(shí)和認(rèn)可。如果從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史上來看我們今天對(duì)“數(shù)數(shù)計(jì)數(shù)”的認(rèn)識(shí)觀點(diǎn)，當(dāng)我們?nèi)匀贿€是熟視無睹地再把它看做是微不足道的理論，或仍不能引起我們對(duì)它的重視，這里不能不讓我為之感到汗然！
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