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第五章 曙光
一
屬于海森堡的篇章要從1924年7月開始講起。那個月份對于海森堡可算是喜訊不斷，他的關(guān)于反常塞曼效應的論文通過審核，從而使他晉升為講師，獲得在德國大學的任意級別中講學的資格。而玻爾——他對這位出色的年輕人顯然有著明顯的好感——也來信告訴他，他已經(jīng)獲得了由洛克菲勒（Rockefeller）財團資助的國際教育基金會（IEB）的獎金，為數(shù)1000美元，從而讓他有機會遠赴哥本哈根，與玻爾本人和他的同事們共同工作一年。也是無巧不成書，海森堡原來在哥廷根的導師波恩正好要到美國講學，于是同意海森堡到哥本哈根去，只要在明年5月夏季學期開始前回來就可以了。從后來的情況看，海森堡對哥本哈根的這次訪問無疑對于量子力學的發(fā)展有著積極的意義。
玻爾在哥本哈根的研究所當時已經(jīng)具有了世界性的聲名，和哥廷根，慕尼黑一起，成為了量子力學發(fā)展史上的“黃金三角”。世界各地的學者紛紛前來訪問學習，1924年的秋天有近10位訪問學者，其中6位是IEB資助的，而這一數(shù)字很快就開始激增，使得這幢三層樓的建筑不久就開始顯得擁擠，從而不得不展開擴建。海森堡在結(jié)束了他的暑假旅行之后，于1924年9月17日抵達哥本哈根，他和另一位來自美國的金（King）博士住在一位剛?cè)ナ赖慕淌诩依铮⒂涉拙拥姆蛉苏疹櫵麄兊娘嬍称鹁?。對于海森堡來說，這地方更像是一所語言學?！窃愀獾挠⒄Z和丹麥語水平都在逗留期間有了突飛猛漲的進步。
言歸正傳。我們在前面講到，1924，1925年之交，物理學正處在一個非常艱難和迷茫的境地中。玻爾那精巧的原子結(jié)構(gòu)已經(jīng)在內(nèi)部出現(xiàn)了細小的裂紋，而輻射問題的本質(zhì)究竟是粒子還是波動，雙方仍然在白熱化地交戰(zhàn)?？灯疹D的實驗已經(jīng)使得最持懷疑態(tài)度的物理學家都不得不承認，粒子性是無可否認的，但是這就勢必要推翻電磁體系這個已經(jīng)扎根于物理學百余年的龐然大物。而后者所依賴的地基——麥克斯韋理論看上去又是如此牢不可破，無法動搖。
我們也已經(jīng)提到，在海森堡來到哥本哈根前不久，玻爾和他的助手克萊默（Kramers）還有斯雷特（Slater）發(fā)表了一個稱作BKS的理論以試圖解決波和粒子的兩難。在BKS理論看來，在每一個穩(wěn)定的原子附近，都存在著某些“虛擬的振動”（virtual oscillator），這些神秘的虛擬振動通過對應原理一一與經(jīng)典振動相對應，從而使得量子化之后仍然保留有經(jīng)典波動理論的全部優(yōu)點（實際上，它是想把粒子在不同的層次上進一步考慮成波）。然而這個看似皆大歡喜的理論實在有著難言的苦衷，它為了調(diào)解波動和微粒之間的宿怨，甚至不惜拋棄物理學的基石之一：能量守恒和動量守恒定律，認為它們只不過是一種統(tǒng)計下的平均情況。這個代價太大，遭到愛因斯坦強烈反對，在他影響下泡利也很快轉(zhuǎn)換態(tài)度，他不止一次寫信給海森堡抱怨“虛擬的振動”還有“虛擬的物理學”。
BKS的一些思想倒也不是毫無意義?？巳R默利用虛擬振子的思想研究了色散現(xiàn)象，并得出了積極的結(jié)果。海森堡在哥本哈根學習的時候?qū)@方面產(chǎn)生了興趣，并與克萊默聯(lián)名發(fā)表了論文在物理期刊上，這些思路對于后來量子力學的創(chuàng)立無疑也有著重要的作用。但BKS理論終于還是中途夭折，1925年4月的實驗否定了守恒只在統(tǒng)計意義上成立的說法，光量子確實是實實在在的東西，不是什么虛擬波。BKS的崩潰標志著物理學陷入徹底的混亂，粒子和波的問題是如此令人迷惑而頭痛，以致玻爾都說這實在是一種“折磨”（torture）。對于曾經(jīng)信奉BKS的海森堡來說，這當然是一個壞消息，但是就像一盆冷水，也能讓他清醒一下，認真地考慮未來的出路何在。
哥本哈根的日子是緊張而又有意義的。海森堡無疑地感到了一種競爭的氣氛，并以他那好勝的性格加倍努力著。當然，競爭是一回事，哥本哈根的自由精神和學術(shù)氣氛在全歐洲都幾乎無與倫比，而這一切又都和尼爾斯?玻爾這位量子論的“教父”密切相關(guān)。毫無疑問在哥本哈根的每一個人都是天才，但他們卻都更好地襯托出玻爾本人的偉大來。這位和藹的丹麥人對于每個人都報以善意的微笑，并引導人們暢所欲言，探討一切類型的問題。人們像眾星拱月一般圍繞在他身邊，個個都為他的學識和人格所折服，海森堡也不例外，而且他更將成為玻爾最親密的學生和朋友之一。玻爾常常邀請海森堡到他家（就在研究所的二樓）去分享家藏的陳年好酒，或者到研究所后面的樹林里去散步并討論學術(shù)問題。玻爾是一個極富哲學氣質(zhì)的人，他對于許多物理問題的看法都帶有深深的哲學色彩，這令海森堡相當震撼，并在很大程度上影響了他本人的思維方式。從某種角度說，在哥本哈根那“量子氣氛”里的熏陶以及和玻爾的交流，可能會比海森堡在那段時間里所做的實際研究更有價值。
那時候，有一種思潮在哥本哈根流行開來。這個思想當時不知是誰引發(fā)的，但歷史上大約可以回溯到馬赫。這種思潮說，物理學的研究對象只應該是能夠被觀察到被實踐到的事物，物理學只能夠從這些東西出發(fā)，而不是建立在觀察不到或者純粹是推論的事物上。這個觀點對海森堡以及不久后也來哥本哈根訪問的泡利都有很大影響，海森堡開始隱隱感覺到，玻爾舊原子模型里的有些東西似乎不太對頭，似乎它們不都是直接能夠為實驗所探測的。最明顯的例子就是電子的“軌道”以及它繞著軌道運轉(zhuǎn)的“頻率”。我們馬上就要來認真地看一看這個問題。
1925年4月27日，海森堡結(jié)束哥本哈根的訪問回到哥廷根，并開始重新著手研究氫原子的譜線問題——從中應該能找出量子體系的基本原理吧？海森堡的打算是仍然采取虛振子的方法，雖然BKS倒臺了，但這在色散理論中已被證明是有成效的方法。海森堡相信，這個思路應該可以解決玻爾體系所解決不了的一些問題，譬如譜線的強度。但是當他興致勃勃地展開計算后，他的樂觀態(tài)度很快就無影無蹤了：事實上，如果把電子輻射按照虛振子的代數(shù)方法展開，他所遇到的數(shù)學困難幾乎是不可克服的，這使得海森堡不得不放棄了原先的計劃。泡利在同樣的問題上也被難住了，障礙實在太大，幾乎無法前進，這位脾氣急躁的物理學家是如此暴跳如雷，幾乎準備放棄物理學。“物理學出了大問題”，他叫嚷道，“對我來說什么都太難了，我寧愿自己是一個電影喜劇演員，從來也沒聽說過物理是什么東西！”（插一句，泡利說寧愿自己是喜劇演員，這是因為他是卓別林的fans之一）
無奈之下，海森堡決定換一種辦法，暫時不考慮譜線強度，而從電子在原子中的運動出發(fā)，先建立起基本的運動模型來。事實證明他這條路走對了，新的量子力學很快就要被建立起來，但那卻是一種人們聞所未聞，之前連想都不敢想象的形式——Matrix。
Matrix無疑是一個本身便帶有幾分神秘色彩，像一個Enigma的詞語。不論是從它在數(shù)學上的意義，還是電影里的意義（甚至包括電影續(xù)集）來說，它都那樣撲朔迷離，叫人難以把握，望而生畏。事實上直到今天，還有很多人幾乎不敢相信，我們的宇宙就是建立在這些怪物之上。不過不情愿也好，不相信也罷，Matrix已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的概念。理科的大學生逃不了線性代數(shù)的課，工程師離不開MatLab軟件，漂亮MM也會常常掛念基諾?里維斯，沒有法子。
從數(shù)學的意義上翻譯，Matrix在中文里譯作“矩陣”，它本質(zhì)上是一種二維的表格。比如像下面這個2*2的矩陣，其實就是一種2*2的方塊表格：
┏1 2┓
┗3 4┛
也可以是長方形的，比如這個2*3的矩陣：
┏1 2 3┓
┗4 5 6┛
讀者可能已經(jīng)在犯糊涂了，大家都早已習慣了普通的以字母和符號代表的物理公式，這種古怪的表格形式又能表示什么物理意義呢？更讓人不能理解的是，這種“表格”，難道也能像普通的物理變量一樣，能夠進行運算嗎？你怎么把兩個表格加起來，或乘起來呢？海森堡準是發(fā)瘋了。
但是，我已經(jīng)提醒過大家，我們即將進入的是一個不可思議的光怪陸離的量子世界。在這個世界里，一切都看起來是那樣地古怪不合常理，甚至有一些瘋狂的意味。我們?nèi)粘５慕?jīng)驗在這里完全失效，甚至常常是靠不住的。物理世界沿用了千百年的概念和習慣在量子世界里轟然崩坍，曾經(jīng)被認為是天經(jīng)地義的事情必須被無情地拋棄，而代之以一些奇形怪狀的，但卻更接近真理的原則。是的，世界就是這些表格構(gòu)筑的。它們不但能加能乘，而且還有著令人瞠目結(jié)舌的運算規(guī)則，從而導致一些更為驚世駭俗的結(jié)論。而且，這一切都不是臆想，是從事實——而且是唯一能被觀測和檢驗到的事實——推論出來的。海森堡說，現(xiàn)在已經(jīng)到了物理學該發(fā)生改變的時候了。
我們這就出發(fā)開始這趟奇幻之旅。
『二』
物理學，海森堡堅定地想，應當有一個堅固的基礎(chǔ)。它只能夠從一些直接可以被實驗觀察和檢驗的東西出發(fā)，一個物理學家應當始終堅持嚴格的經(jīng)驗主義，而不是想象一些圖像來作為理論的基礎(chǔ)。玻爾理論的毛病，就出在這上面。
我們再來回顧一下玻爾理論說了些什么。它說，原子中的電子繞著某些特定的軌道以一定的頻率運行，并時不時地從一個軌道躍遷到另一個軌道上去。每個電子軌道都代表一個特定的能級，因此當這種躍遷發(fā)生的時候，電子就按照量子化的方式吸收或者發(fā)射能量，其大小等于兩個軌道之間的能量差。
嗯，聽起來不錯，而且這個模型在許多情況下的確管用。但是，海森堡開始問自己。一個電子的“軌道”，它究竟是什么東西？有任何實驗能夠讓我們看到電子的確繞著某個軌道運轉(zhuǎn)嗎？有任何實驗可以確實地測出一個軌道離開原子核的實際距離嗎？誠然軌道的圖景是人們所熟悉的，可以類比于行星的運行軌道，但是和行星不同，有沒有任何法子讓人們真正地看到電子的這么一個“軌道”，并實際測量一個軌道所代表的“能量”呢？沒有法子，電子的軌道，還有它繞著軌道的運轉(zhuǎn)頻率，都不是能夠?qū)嶋H觀察到的，那么人們怎么得出這些概念并在此之上建立起原子模型的呢？
我們回想一下前面史話的有關(guān)部分，玻爾模型的建立有著氫原子光譜的支持。每一條光譜線都有一種特定的頻率，而由量子公式E1-E2 = hν，我們知道這是電子在兩個能級之間躍遷的結(jié)果。但是，海森堡爭辯道，你這還是沒有解決我的疑問。沒有實際的觀測可以證明某一個軌道所代表的“能級”是什么，每一條光譜線，只代表兩個“能級”之間的“能量差”。所以，只有“能級差”或者“軌道差”是可以被直接觀察到的，而“能級”和“軌道”卻不是。
為了說明問題，我們還是來打個比方。小時候的樂趣之一是收集各種各樣的電車票以扮作售票員，那時候上海的車票通常都很便宜，最多也就是一毛幾分錢。但規(guī)矩是這樣的：不管你從哪個站上車，坐得越遠車票就相對越貴。比如我從徐家匯上車，那么坐到淮海路可能只要3分錢，而到人民廣場大概就要5分，到外灘就要7分，如果一直坐到虹口體育場，也許就得花上1毛錢。當然，近兩年回去，公交早就換成了無人售票和統(tǒng)一計費——不管多遠都是一個價，車費也早就今非昔比了。
讓我們假設(shè)有一班巴士從A站出發(fā)，經(jīng)過BCD三站到達E這個終點站。這個車的收費沿用了我們懷舊時代的老傳統(tǒng)，不是上車一律給2塊錢，而是根據(jù)起點和終點來單獨計費。我們不妨訂一個收費標準：A站和B站之間是1塊錢，B和C靠得比較近，0.5元。C和D之間還是1塊錢，而D和E離得遠，2塊錢。這樣一來車費就容易計算了，比如我從B站上車到E站，那么我就應該給0.5+1+2=3.5元作為車費。反過來，如果我從D站上車到A站，那么道理是一樣的：1+0.5+1=2.5塊錢。
現(xiàn)在玻爾和海森堡分別被叫來寫一個關(guān)于車費的說明貼在車子里讓人參考。玻爾欣然同意了，他說：這個問題很簡單，車費問題實際上就是兩個站之間的距離問題，我們只要把每一個站的位置狀況寫出來，那么乘客們就能夠一目了然了。于是他就假設(shè)，A站的坐標是0，從而推出：B站的坐標是1，C站的坐標是1.5，D站的坐標是2.5，而E站的坐標是4.5。這就行了，玻爾說，車費就是起點站的坐標減掉終點站的坐標的絕對值，我們的“坐標”，實際上可以看成一種“車費能級”，所有的情況都完全可以包含在下面這個表格里：
站點 坐標（車費能級）
A 0
B 1
C 1.5
D 2.5
E 4.5
這便是一種經(jīng)典的解法，每一個車站都被假設(shè)具有某種絕對的“車費能級”，就像原子中電子的每個軌道都被假設(shè)具有某種特定的能級一樣。所有的車費，不管是從哪個站到哪個站，都可以用這個單一的變量來解決，這是一個一維的傳統(tǒng)表格，完全可以表達為一個普通的公式。這也是所有物理問題的傳統(tǒng)解法。
現(xiàn)在，海森堡說話了。不對，海森堡爭辯說，這個思路有一個根本性的錯誤，那就是，作為一個乘客來說，他完全無法意識，也根本不可能觀察到某個車站的“絕對坐標”是什么。比如我從C站乘車到D站，無論怎么樣我也無法觀察到“C站的坐標是1.5”，或者“D站的坐標是2.5”這個結(jié)論。作為我——乘客來說，我所能唯一觀察和體會到的，就是“從C站到達D站要花1塊錢”，這才是最確鑿，最堅實的東西。我們的車費規(guī)則，只能以這樣的事實為基礎(chǔ)，而不是不可觀察的所謂“坐標”，或者“能級”。
那么，怎樣才能僅僅從這些可以觀察的事實上去建立我們的車費規(guī)則呢？海森堡說，傳統(tǒng)的那個一維表格已經(jīng)不適用了，我們需要一種新類型的表格，像下面這樣的：
. A B C D E
A 0 1 1.5 2.5 4.5
B 1 0 0.5 1.5 3.5
C 1.5 0.5 0 1 3
D 2.5 1.5 1 0 2
E 4.5 3.5 3 2 0
這里面，豎的是起點站，橫的是終點站?，F(xiàn)在這張表格里的每一個數(shù)字都是實實在在可以觀測和檢驗的了。比如第一行第三列的那個1.5，它的橫坐標是A，表明從A站出發(fā)。它的縱坐標是C，表明到C站下車。那么，只要某個乘客真正從A站坐到了C站，他就可以證實這個數(shù)字是正確的：這個旅途的確需要1.5塊車費。
好吧，某些讀者可能已經(jīng)不耐煩了，它們的確是兩種不同類型的東西，可是，這種區(qū)別的意義有那么大嗎？畢竟，它們表達的，不是同一種收費規(guī)則嗎？但事情要比我們想象的復雜多了，比如玻爾的表格之所以那么簡潔，其實是有這樣一個假設(shè)，那就是“從A到B”和“從B到A”，所需的錢是一樣的。事實也許并非如此，從A到B要1塊錢，從B回到A卻很可能要1.5元。這樣玻爾的傳統(tǒng)方式要大大頭痛了，而海森堡的表格卻是簡潔明了的：只要修改B為橫坐標A為縱坐標的那個數(shù)字就可以了，只不過表格不再按照對角線對稱了而已。
更關(guān)鍵的是，海森堡爭辯說，所有的物理規(guī)則，也要按照這種表格的方式來改寫。我們已經(jīng)有了經(jīng)典的動力學方程，現(xiàn)在，我們必須全部把它們按照量子的方式改寫成某種表格方程。許多傳統(tǒng)的物理變量，現(xiàn)在都要看成是一些獨立的矩陣來處理。
在經(jīng)典力學中，一個周期性的振動可以用數(shù)學方法分解成為一系列簡諧振動的疊加，這個方法叫做傅里葉展開。想象一下我們的耳朵，它可以靈敏地分辨出各種不同的聲音，即使這些聲音同時響起，混成一片嘈雜也無關(guān)緊要，一個發(fā)燒友甚至可以分辨出CD音樂中樂手翻動樂譜的細微沙沙聲。人耳自然是很神奇的，但是從本質(zhì)上說，數(shù)學家也可以做到這一切，方法就是通過傅立葉分析把一個混合的音波分解成一系列的簡諧波。大家可能要感嘆，人耳竟然能夠在瞬間完成這樣復雜的數(shù)學分析，不過這其實是自然的進化而已。譬如守門員抱住飛來的足球，從數(shù)學上說相當于解析了一大堆重力和空氣動力學的微分方程并求出了球的軌跡，再比如人本能的趨利避害的反應，從基因的角度說也相當于進行了無數(shù)風險概率和未來獲利的計算。但這都只是因為進化的力量使得生物體趨于具有這樣的能力而已，這能力有利于自然選擇，倒不是什么特殊的數(shù)學能力所導致。
回到正題，在玻爾和索末菲的舊原子模型里，我們已經(jīng)有了電子運動方程和量子化條件。這個運動同樣可以利用傅立葉分析的手法，化作一系列簡諧運動的疊加。在這個展開式里的每一項，都代表了一個特定頻率?，F(xiàn)在，海森堡準備對這個舊方程進行手術(shù)，把它徹底地改造成最新的矩陣版本。但是困難來了，我們現(xiàn)在有一個變量p，代表電子的動量，還有一個變量q，代表電子的位置。本來，在老方程里這兩個變量應當乘起來，現(xiàn)在海森堡把p和q都變成了矩陣，那么，現(xiàn)在p和q應當如何再乘起來呢？
這個問題問得好：你如何把兩個“表格”乘起來呢？
或者我們不妨先問自己這樣一個問題：把兩個表格乘起來，這代表了什么意義呢？
為了容易理解，我們還是回到我們那個巴士車費的比喻?，F(xiàn)在假設(shè)我們手里有兩張海森堡制定的車費表：矩陣I和矩陣II，分別代表了巴士I號線和巴士II號線在某地的收費情況。為了簡單起見，我們假設(shè)每條線都只有兩個站，A和B。這兩個表如下：
I號線（矩陣I）：
. A B
A 1 2
B 3 1
II號線（矩陣II）：
. A B
A 1 3
B 4 1
好，我們再來回顧一下這兩張表到底代表了什么意思。根據(jù)海森堡的規(guī)則，數(shù)字的橫坐標代表了起點站，縱坐標代表了終點站。那么矩陣I第一行第一列的那個1就是說，你坐巴士I號線，從A地出發(fā)，在A地原地下車，車費要1塊錢（啊？為什么原地不動也要付1塊錢呢？這個……一方面是比喻而已，再說你可以把1塊錢看成某種起步費。何況在大部分城市的地鐵里，你進去又馬上出來，的確是要在電子卡里扣掉一點錢的）。同樣，矩陣I第一行第二列的那個2是說，你坐I號線從A地到B地，需要2塊錢。但是，如果從B地回到A地，那么就要看橫坐標是B而縱坐標是A的那個數(shù)字，也就是第二行第一列的那個3。矩陣II的情況同樣如此。
好，現(xiàn)在我們來做個小學生水平的數(shù)學練習：乘法運算。只不過這次乘的不是普通的數(shù)字，而是兩張表格：I和II。I×II等于幾？
讓我們把習題完整地寫出來?，F(xiàn)在，boys and girls，這道題目的答案是什么呢？
┏1 2┓ .┏1 3┓
┗3 1┛×┗4 1┛ ＝ ？
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飯后閑話：男孩物理學
1925年，當海森堡做出他那突破性的貢獻的時候，他剛剛24歲。盡管在物理上有著極為驚人的天才，但海森堡在別的方面無疑還只是一個稚氣未脫的大孩子。他興致勃勃地跟著青年團去各地旅行，在哥本哈根逗留期間，他抽空去巴伐利亞滑雪，結(jié)果摔傷了膝蓋，躺了好幾個禮拜。在山谷田野間暢游的時候，他高興得不能自已，甚至說“我連一秒種的物理都不愿想了”。
量子論的發(fā)展幾乎就是年輕人的天下。愛因斯坦1905年提出光量子假說的時候，也才26歲。玻爾1913年提出他的原子結(jié)構(gòu)的時候，28歲。德布羅意1923年提出相波的時候，31歲。而1925年，當量子力學在海森堡的手里得到突破的時候，后來在歷史上閃閃發(fā)光的那些主要人物也幾乎都和海森堡一樣年輕：泡利25歲，狄拉克23歲，烏侖貝克25歲，古德施密特23歲，約爾當23歲。和他們比起來，36歲的薛定諤和43歲的波恩簡直算是老爺爺了。量子力學被人們戲稱為“男孩物理學”，波恩在哥廷根的理論班，也被人叫做“波恩幼兒園”。
不過，這只說明量子論的銳氣和朝氣。在那個神話般的年代，象征了科學永遠不知畏懼的前進步伐，開創(chuàng)出一個前所未有的大時代來。“男孩物理學”這個帶有傳奇色彩的名詞，也將在物理史上鐫刻出永恒的光芒。
三
上次我們布置了一道練習題，現(xiàn)在我們一起來把它的答案求出來。
┏1 2┓ .┏1 3┓
┗3 1┛×┗4 1┛ ＝ ？
如果你還記得我們那個公共巴士的比喻，那么乘號左邊的矩陣I代表了我們的巴士I號線的收費表，乘號右邊的矩陣II代表了II號線的收費表。I是一個2×2的表格，II也是一個2×2的表格，我們有理由相信，它們的乘積也應該是類似的形式，也是一個2×2的表格。
┏1 2┓ .┏1 3┓ .┏a b┓
┗3 1┛×┗4 1┛＝┗c d┛
但是，那答案到底是什么？我們該怎么求出abcd這四個未知數(shù)？更重要的是，I×II的意義是什么呢？
海森堡說，I×II，表示你先乘搭巴士I號線，然后轉(zhuǎn)乘了II號線。答案中的a是什么呢？a處在第一行第一列，它也必定表示從A地出發(fā)到A地下車的某種收費情況。海森堡說，a，其實就是說，你搭乘I號線從A地出發(fā)，期間轉(zhuǎn)乘II號線，最后又回到A地下車。因為是乘法，所以它表示“I號線收費”和“II號線收費”的乘積。但是，情況還不是那么簡單，因為我們的路線可能不止有一種，a實際代表的是所有收費情況的“總和”。
如果這不好理解，那么我們干脆把題目做出來。答案中的a，正如我們已經(jīng)說明了的，表示我搭I(lǐng)號線從A地出發(fā)，然后轉(zhuǎn)乘II號線，又回到A地下車的收費情況的總和。那么，我們?nèi)绾尉唧w地做到這一點呢？有兩種方法：第一種，我們可以乘搭I(lǐng)號線從A地到B地，然后在B地轉(zhuǎn)乘II號線，再從B地回到A地。此外，還有一種辦法，就是我們在A地上了I號線，隨即在原地下車。然后還是在A地再上II號線，同樣在原地下車。這雖然聽起來很不明智，但無疑也是一種途徑。那么，我們答案中的a，其實就是這兩種方法的收費情況的總和。
現(xiàn)在我們看看具體數(shù)字應該是多少：第一種方法，我們先乘I號線從A地到B地，車費應該是多少呢？我們還記得海森堡的車費規(guī)則，那就看矩陣I橫坐標為A縱坐標為B的那個數(shù)字，也就是第一行第二列的那個2，2塊錢。好，隨后我們又從B地轉(zhuǎn)乘II號線回到了A地，這里的車費對應于矩陣II第二行第一列的那個4。所以第一種方法的“收費乘積”是2×4＝8。但是，我們提到，還有另一種可能，就是我們在A地原地不動地上了I號線再下來，又上II號線再下來，這同樣符合我們A地出發(fā)A地結(jié)束的條件。這對應于兩個矩陣第一行第一列的兩個數(shù)字的乘積，1×1＝1。那么，我們的最終答案，a，就等于這兩種可能的疊加，也就是說，a＝2×4＋1×1＝9。因為沒有第三種可能性了。
同樣道理我們來求b。b代表先乘I號線然后轉(zhuǎn)乘II號線，從A地出發(fā)最終抵達B地的收費情況總和。這同樣有兩種辦法可以做到：先在A地上I號線隨即下車，然后從A地坐II號線去B地。收費分別是1塊（矩陣I第一行第一列）和3塊（矩陣II第一行第二列），所以1×3＝3。還有一種辦法就是先乘I號線從A地到B地，收費2塊（矩陣I第一行第二列），然后在B地轉(zhuǎn)II號線原地上下，收費1塊（矩陣II第二行第二列），所以2×1＝1。所以最終答案：b＝1×3＋2×1＝5。
大家可以先別偷看答案，自己試著求c和d。最后應該是這樣的：c＝3×1＋1×4＝7，d＝3×3＋1×1＝10。所以：
┏1 2┓. ┏1 3┓ .┏9 5 ┓
┗3 1┛×┗4 1┛＝┗7 10┛
很抱歉讓大家如此痛苦不堪，不過我們的確在學習新的事物。如果你覺得這種乘法十分陌生的話，那么我們很快就要給你更大的驚奇，但首先我們還是要熟悉這種新的運算規(guī)則才是。圣人說，溫故而知新，我們不必為了自己新學到的東西而沾沾自喜，還是鞏固鞏固我們的基礎(chǔ)吧，讓我們把上面這道題目驗算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其實沒有那么乏味，我們可以把乘法的次序倒一倒，現(xiàn)在驗算一遍II×I：
┏1 3┓ .┏1 2┓ .┏a b┓
┗4 1┛×┗3 1┛＝┗c d┛
我知道大家都在唉聲嘆氣，不過我還是堅持，復習功課是有益無害的。我們來看看a是什么，現(xiàn)在我們是先乘搭I(lǐng)I號線，然后轉(zhuǎn)I號線了，所以我們可以從A地上II號線，然后下來。再上I號線，然后又下來。對應的是1×1。另外，我們可以坐II號線去B地，在B地轉(zhuǎn)I號線回到A地，所以是3×3＝9。所以a＝1×1＋3×3＝10。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我們遇到問題了。在我們的驗算里，a＝10，不過我還記得，剛才我們的答案說a＝9。各位把筆記本往回翻幾頁，看看我有沒有記錯？嗯，雖然大家都沒有記筆記，但我還是沒有記錯，剛才我們的a＝2×4＋1×1＝9?？磥硎俏宜沐e了，我們再算一遍，這次可要打起精神了：a代表A地上車A地下車。所以可能的情況是：我搭I(lǐng)I號線在A地上車A地下車（矩陣II第一行第一列），1塊。然后轉(zhuǎn)I號線同樣在A地上車A地下車（矩陣I第一行第一列），也是1塊。1×1＝1。還有一種可能是，我搭I(lǐng)I號線在A地上車B地下車（矩陣II第一行第二列），3塊。然后在B地轉(zhuǎn)I號線從B地回到A地（矩陣II第二行第一列），3塊。3×3＝9。所以a＝1＋9＝10。
嗯，奇怪，沒錯啊。那么難道前面算錯了？我們再算一遍，好像也沒錯，前面a＝1＋8＝9。那么，那么……誰錯了？哈哈，海森堡錯了，他這次可丟臉了，他發(fā)明了一種什么樣的表格乘法啊，居然導致如此荒唐的結(jié)果：I×II ≠ II×I。
我們不妨把結(jié)果整個算出來：
. . . .┏9 5 ┓
I×II＝┗7 10┛
. . . .┏10 5┓
II×I＝┗7 9 ┛
的確，I×II ≠ II×I。這可真讓人惋惜，原來我們還以為這種表格式的運算至少有點創(chuàng)意的，現(xiàn)在看來浪費了大家不少時間，只好說聲抱歉。但是，慢著，海森堡還有話要說，先別為我們死去的腦細胞默哀，它們的死也許不是完全沒有意義的。
大家冷靜點，大家冷靜點，海森堡搖晃著他那漂亮的頭發(fā)說，我們必須學會面對現(xiàn)實。我們已經(jīng)說過了，物理學，必須從唯一可以被實踐的數(shù)據(jù)出發(fā)，而不是靠想象和常識習慣。我們要學會依賴于數(shù)學，而不是日常語言，因為只有數(shù)學才具有唯一的意義，才能告訴我們唯一的真實。我們必須認識到這一點：數(shù)學怎么說，我們就得接受什么。如果數(shù)學說I×II ≠ II×I，那么我們就得這么認為，哪怕世人用再嘲諷的口氣來譏笑我們，我們也不能改變這一立場。何況，如果仔細審查這里面的意義，也并沒有太大的荒謬：先搭乘I號線，再轉(zhuǎn)II號線，這和先搭乘II號線，再轉(zhuǎn)I號線，導致的結(jié)果可能是不同的，有什么問題嗎？
好吧，有人諷刺地說，那么牛頓第二定律究竟是F＝ma，還是F＝am呢？
海森堡冷冷地說，牛頓力學是經(jīng)典體系，我們討論的是量子體系。永遠不要對量子世界的任何奇特性質(zhì)過分大驚小怪，那會讓你發(fā)瘋的。量子的規(guī)則，并不一定要受到乘法交換率的束縛。
他無法做更多的口舌之爭了，1925年夏天，他被一場熱病所感染，不得不離開哥廷根，到北海的一個小島赫爾格蘭（Helgoland）去休養(yǎng)。但是他的大腦沒有停滯，在遠離喧囂的小島上，海森堡堅定地沿著這條奇特的表格式道路去探索物理學的未來。而且，他很快就獲得了成功：事實上，只要把矩陣的規(guī)則運用到經(jīng)典的動力學公式里去，把玻爾和索末菲舊的量子條件改造成新的由堅實的矩陣磚塊構(gòu)造起來的方程，海森堡可以自然而然地推導出量子化的原子能級和輻射頻率。而且這一切都可以順理成章從方程本身解出，不再需要像玻爾的舊模型那樣，強行附加一個不自然的量子條件。海森堡的表格的確管用！數(shù)學解釋一切，我們的想象是靠不住的。
雖然，這種古怪的不遵守交換率的矩陣乘法到底意味著什么，無論對于海森堡，還是當時的所有人來說，都還仍然是一個謎題，但量子力學的基本形式卻已經(jīng)得到了突破進展。從這時候起，量子論將以一種氣勢磅礴的姿態(tài)向前邁進，每一步都那樣雄偉壯麗，激起滔天的巨浪和美麗的浪花。接下來的3年是夢幻般的3年，是物理史上難以想象的3年，理論物理的黃金年代，終于要放射出它最耀眼的光輝，把整個20世紀都裝點得神圣起來。
海森堡后來在寫給好友范德沃登的信中回憶道，當他在那個石頭小島上的時候，有一晚忽然想到體系的總能量應該是一個常數(shù)。于是他試著用他那規(guī)則來解這個方程以求得振子能量。求解并不容易，他做了一個通宵，但求出來的結(jié)果和實驗符合得非常好。于是他爬上一個山崖去看日出，同時感到自己非常幸運。
是的，曙光已經(jīng)出現(xiàn)，太陽正從海平線上冉冉升起，萬道霞光染紅了海面和空中的云彩，在天地間流動著奇幻的輝光。在高高的石崖頂上，海森堡面對著壯觀的日出景象，他腳下碧海潮生，一直延伸到無窮無盡的遠方。是的，他知道，this is the moment，他已經(jīng)作出生命中最重要的突破，而物理學的黎明也終于到來。
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飯后閑話：矩陣
我們已經(jīng)看到，海森堡發(fā)明了這種奇特的表格，I×II ≠ II×I，連他自己都沒把握確定這是個什么怪物。當他結(jié)束養(yǎng)病，回到哥廷根后，就把論文草稿送給老師波恩，讓他評論評論。波恩看到這種表格運算大吃一驚，原來這不是什么新鮮東西，正是線性代數(shù)里學到的“矩陣”！回溯歷史，這種工具早在1858年就已經(jīng)由一位劍橋的數(shù)學家Arthur Cayley所發(fā)明，不過當時不叫“矩陣”而叫做“行列式”（determinant，這個字后來變成了另外一個意思，雖然還是和矩陣關(guān)系很緊密）。發(fā)明矩陣最初的目的，是簡潔地來求解某些微分方程組（事實上直到今天，大學線性代數(shù)課還是主要解決這個問題）。但海森堡對此毫不知情，他實際上不知不覺地“重新發(fā)明”了矩陣的概念。波恩和他那精通矩陣運算的助教約爾當隨即在嚴格的數(shù)學基礎(chǔ)上發(fā)展了海森堡的理論，進一步完善了量子力學，我們很快就要談到。
數(shù)學在某種意義上來說總是領(lǐng)先的。Cayley創(chuàng)立矩陣的時候，自然想不到它后來會在量子論的發(fā)展中起到關(guān)鍵作用。同樣，黎曼創(chuàng)立黎曼幾何的時候，又怎會料到他已經(jīng)給愛因斯坦和他偉大的相對論提供了最好的工具。
喬治?蓋莫夫在那本受歡迎的老科普書《從一到無窮大》（One, Two, Three…Infinity）里說，目前數(shù)學還有一個大分支沒有派上用場（除了智力體操的用處之外），那就是數(shù)論。古老的數(shù)論領(lǐng)域里已經(jīng)有許多難題被解開，比如四色問題，費馬大定理。也有比如著名的哥德巴赫猜想，至今懸而未決。天知道，這些理論和思路是不是在將來會給某個物理或者化學理論開道，打造出一片全新的天地來。
四
從赫爾格蘭回來后，海森堡找到波恩，請求允許他離開哥廷根一陣，去劍橋講課。同時，他也把自己的論文給了波恩過目，問他有沒有發(fā)表的價值。波恩顯然被海森堡的想法給迷住了，正如他后來回憶的那樣：“我對此著了迷……海森堡的思想給我留下了深刻的印象，對于我們一直追求的那個體系來說，這是一次偉大的突破。” 于是當海森堡去到英國講學的時候，波恩就把他的這篇論文寄給了《物理學雜志》（Zeitschrift fur Physik）,并于7月29日發(fā)表。這無疑標志著新生的量子力學在公眾面前的首次亮相。
但海森堡古怪的表格乘法無疑也讓波恩困擾，他在7月15日寫給愛因斯坦的信中說：“海森堡新的工作看起來有點神秘莫測，不過無疑是很深刻的，而且是正確的。”但是，有一天，波恩突然靈光一閃：他終于想起來這是什么了。海森堡的表格，正是他從前所聽說過的那個“矩陣”！
但是對于當時的歐洲物理學家來說，矩陣幾乎是一個完全陌生的名字。甚至連海森堡自己，也不見得對它的性質(zhì)有著完全的了解。波恩決定為海森堡的理論打一個堅實的數(shù)學基礎(chǔ)，他找到泡利，希望與之合作，可是泡利對此持有強烈的懷疑態(tài)度，他以他標志性的尖刻語氣對波恩說：“是的，我就知道你喜歡那種冗長和復雜的形式主義，但你那無用的數(shù)學只會損害海森堡的物理思想。”波恩在泡利那里碰了一鼻子灰，不得不轉(zhuǎn)向他那熟悉矩陣運算的年輕助教約爾當（Pascual Jordan,再過一個禮拜，就是他101年誕辰），兩人于是欣然合作，很快寫出了著名的論文《論量子力學》（Zur Quantenmechanik），發(fā)表在《物理學雜志》上。在這篇論文中，兩人用了很大的篇幅來闡明矩陣運算的基本規(guī)則，并把經(jīng)典力學的哈密頓變換統(tǒng)統(tǒng)改造成為矩陣的形式。傳統(tǒng)的動量p和位置q這兩個物理變量，現(xiàn)在成為了兩個含有無限數(shù)據(jù)的龐大表格，而且，正如我們已經(jīng)看到的那樣，它們并不遵守傳統(tǒng)的乘法交換率，p×q ≠ q×p。
波恩和約爾當甚至把p×q和q×p之間的差值也算了出來，結(jié)果是這樣的：
pq – qp = (h/2πi) I
h是我們已經(jīng)熟悉的普朗克常數(shù)，i是虛數(shù)的單位，代表-1的平方根，而I叫做單位矩陣，相當于矩陣運算中的1。波恩和約爾當?shù)於艘环N新的力學——矩陣力學的基礎(chǔ)。在這種新力學體系的魔法下，普朗克常數(shù)和量子化從我們的基本力學方程中自然而然地跳了出來，成為自然界的內(nèi)在稟性。如果認真地對這種力學形式做一下探討，人們會驚奇地發(fā)現(xiàn)，牛頓體系里的種種結(jié)論，比如能量守恒，從新理論中也可以得到。這就是說，新力學其實是牛頓理論的一個擴展，老的經(jīng)典力學其實被“包含”在我們的新力學中，成為一種特殊情況下的表現(xiàn)形式。
這種新的力學很快就得到進一步完善。從劍橋返回哥廷根后，海森堡本人也加入了這個偉大的開創(chuàng)性工作中。11月26日，《論量子力學II》在《物理學雜志》上發(fā)表，作者是波恩，海森堡和約爾當。這篇論文把原來只討論一個自由度的體系擴展到任意個自由度，從而徹底建立了新力學的主體?，F(xiàn)在，他們可以自豪地宣稱，長期以來人們所苦苦追尋的那個目標終于達到了，多年以來如此困擾著物理學家的原子光譜問題，現(xiàn)在終于可以在新力學內(nèi)部完美地解決?！墩摿孔恿WII》這篇文章，被海森堡本人親切地稱呼為“三人論文”（Dreimannerarbeit）的，也終于注定要在物理史上流芳百世。
新體系顯然在理論上獲得了巨大的成功。泡利很快就改變了他的態(tài)度，在寫給克羅尼格（Ralph Laer Kronig）的信里，他說：“海森堡的力學讓我有了新的熱情和希望。”隨后他很快就給出了極其有說服力的證明，展示新理論的結(jié)果和氫分子的光譜符合得非常完美，從量子規(guī)則中，巴爾末公式可以被自然而然地推導出來。非常好笑的是，雖然他不久前還對波恩咆哮說“冗長和復雜的形式主義”，但他自己的證明無疑動用了最最復雜的數(shù)學。
不過，對于當時其他的物理學家來說，海森堡的新體系無疑是一個怪物。矩陣這種冷冰冰的東西實在太不講情面，不給人以任何想象的空間。人們一再追問，這里面的物理意義是什么？矩陣究竟是個什么東西？海森堡卻始終護定他那讓人沮喪的立場：所謂“意義”是不存在的，如果有的話，那數(shù)學就是一切“意義”所在。物理學是什么？就是從實驗觀測量出發(fā)，并以龐大復雜的數(shù)學關(guān)系將它們聯(lián)系起來的一門科學，如果說有什么圖像能夠讓人們?nèi)菀桌斫夂陀洃浀脑?，那也是靠不住的。但是，不管怎么樣，畢竟矩陣力學對于大部分人來說都太陌生太遙遠了，而隱藏在它背后的深刻含義，當時還遠遠沒有被發(fā)掘出來。特別是，p×q ≠ q×p，這究竟代表了什么，令人頭痛不已。
一年后，當薛定諤以人們所喜聞樂見的傳統(tǒng)方式發(fā)布他的波動方程后，幾乎全世界的物理學家都松了一口氣：他們終于解脫了，不必再費勁地學習海森堡那異常復雜和繁難的矩陣力學。當然，人人都必須承認，矩陣力學本身的偉大含義是不容懷疑的。
但是，如果說在1925年，歐洲大部分物理學家都還對海森堡，波恩和約爾當?shù)牧W一知半解的話，那我們也不得不說，其中有一個非常顯著的例外，他就是保羅?狄拉克。在量子力學大發(fā)展的年代，哥本哈根，哥廷根以及慕尼黑三地搶盡了風頭，狄拉克的崛起總算也為老牌的劍橋挽回了一點顏面。
保羅?埃德里安?莫里斯?狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）于1902年8月8日出生于英國布里斯托爾港。他的父親是瑞士人，當時是一位法語教師，狄拉克是家里的第二個孩子。許多大物理學家的童年教育都是多姿多彩的，比如玻爾，海森堡，還有薛定諤。但狄拉克的童年顯然要悲慘許多，他父親是一位非常嚴肅而刻板的人，給保羅制定了眾多的嚴格規(guī)矩。比如他規(guī)定保羅只能和他講法語（他認為這樣才能學好這種語言），于是當保羅無法表達自己的時候，只好選擇沉默。在小狄拉克的童年里，音樂、文學、藝術(shù)顯然都和他無緣，社交活動也幾乎沒有。這一切把狄拉克塑造成了一個沉默寡言，喜好孤獨，淡泊名利，在許多人眼里顯得geeky的人。有一個流傳很廣的關(guān)于狄拉克的笑話是這樣說的：有一次狄拉克在某大學演講，講完后一個觀眾起來說：“狄拉克教授，我不明白你那個公式是如何推導出來的。”狄拉克看著他久久地不說話，主持人不得不提醒他，他還沒有回答問題。
“回答什么問題？”狄拉克奇怪地說，“他剛剛說的是一個陳述句，不是一個疑問句。”
1921年，狄拉克從布里斯托爾大學電機工程系畢業(yè)，恰逢經(jīng)濟大蕭條，結(jié)果沒法找到工作。事實上，很難說他是否會成為一個出色的工程師，狄拉克顯然長于理論而拙于實驗。不過幸運的是，布里斯托爾大學數(shù)學系又給了他一個免費進修數(shù)學的機會，2年后，狄拉克轉(zhuǎn)到劍橋，開始了人生的新篇章。
我們在上面說到，1925年秋天，當海森堡在赫爾格蘭島作出了他的突破后，他獲得波恩的批準來到劍橋講學。當時海森堡對自己的發(fā)現(xiàn)心中還沒有底，所以沒有在公開場合提到自己這方面的工作，不過7月28號，他參加了所謂“卡皮察俱樂部”的一次活動。卡皮察（P.L.Kapitsa）是一位年輕的蘇聯(lián)學生，當時在劍橋跟隨盧瑟福工作。他感到英國的學術(shù)活動太刻板，便自己組織了一個俱樂部，在晚上聚會，報告和討論有關(guān)物理學的最新進展。我們在前面討論盧瑟福的時候提到過卡皮察的名字，他后來也獲得了諾貝爾獎。
狄拉克也是卡皮察俱樂部的成員之一，他當時不在劍橋，所以沒有參加這個聚會。不過他的導師福勒（William Alfred Fowler）參加了，而且大概在和海森堡的課后討論中，得知他已經(jīng)發(fā)明了一種全新的理論來解釋原子光譜問題。后來海森堡把他的證明寄給了福勒，而福勒給了狄拉克一個復印本。這一開始沒有引起狄拉克的重視，不過大概一個禮拜后，他重新審視海森堡的論文，這下他把握住了其中的精髓：別的都是細枝末節(jié)，只有一件事是重要的，那就是我們那奇怪的矩陣乘法規(guī)則：p×q ≠ q×p。
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飯后閑話：約爾當
恩斯特?帕斯庫爾?約爾當（Ernst Pascual Jordan）出生于漢諾威。在我們的史話里已經(jīng)提到，他是物理史上兩篇重要的論文《論量子力學》I和II的作者之一，可以說也是量子力學的主要創(chuàng)立者。但是，他的名聲顯然及不上波恩或者海森堡。
這里面的原因顯然也是多方面的，1925年，約爾當才22歲，無論從資格還是名聲來說，都遠遠及不上元老級的波恩和少年成名的海森堡。當時和他一起做出貢獻的那些人，后來都變得如此著名：波恩，海森堡，泡利，他們的光輝耀眼，把約爾當完全給蓋住了。
從約爾當本人來說，他是一個害羞和內(nèi)向的人，說話有口吃的毛病，總是結(jié)結(jié)巴巴的，所以他很少授課或發(fā)表演講。更嚴重的是，約爾當在二戰(zhàn)期間站到了希特勒的一邊，成為一個納粹的同情者，被指責曾經(jīng)告密。這大大損害了他的聲名。
約爾當是一個作出了許多偉大成就的科學家。除了創(chuàng)立了基本的矩陣力學形式，為量子論打下基礎(chǔ)之外，他同樣在量子場論，電子自旋，量子電動力學中作出了巨大的貢獻。他是最先證明海森堡和薛定諤體系同等性的人之一，他發(fā)明了約爾當代數(shù)，后來又廣泛涉足生物學、心理學和運動學。他曾被提名為諾貝爾獎得主，卻沒有成功。約爾當后來顯然也對自己的成就被低估有些惱火，1964年，他聲稱《論量子力學》一文其實幾乎都是他一個人的貢獻——波恩那時候病了。這引起了廣泛的爭議，不過許多人顯然同意，約爾當?shù)呢暙I應當?shù)玫礁嗟某姓J。
五
p×q ≠ q×p。如果說狄拉克比別人天才在什么地方，那就是他可以一眼就看出這才是海森堡體系的精髓。那個時候，波恩和約爾當還在苦苦地鉆研討厭的矩陣，為了建立起新的物理大廈而努力地搬運著這種龐大而又沉重的表格式方磚，而他們的文章尚未發(fā)表。但狄拉克是不想做這種苦力的，他輕易地透過海森堡的表格，把握住了這種代數(shù)的實質(zhì)。不遵守交換率，這讓我想起了什么？狄拉克的腦海里閃過一個名詞，他以前在上某一門動力學課的時候，似乎聽說過一種運算，同樣不符合乘法交換率。但他還不是十分確定，他甚至連那種運算的定義都給忘了。那天是星期天，所有的圖書館都關(guān)門了，這讓狄拉克急得像熱鍋上的螞蟻。第二天一早，圖書館剛剛開門，他就沖了進去，果然，那正是他所要的東西：它的名字叫做“泊松括號”。
我們還在第一章討論光和菲涅爾的時候，就談到過泊松，還有著名的泊松光斑。泊松括號也是這位法國科學家的杰出貢獻，不過我們在這里沒有必要深入它的數(shù)學意義。總之，狄拉克發(fā)現(xiàn)，我們不必花九牛二虎之力去搬弄一個晦澀的矩陣，以此來顯示和經(jīng)典體系的決裂。我們完全可以從經(jīng)典的泊松括號出發(fā)，建立一種新的代數(shù)。這種代數(shù)同樣不符合乘法交換率，狄拉克把它稱作“q數(shù)”（q表示“奇異”或者“量子”）。我們的動量、位置、能量、時間等等概念，現(xiàn)在都要改造成這種q數(shù)。而原來那些老體系里的符合交換率的變量，狄拉克把它們稱作“c數(shù)”（c代表“普通”）。
“看。”狄拉克說，“海森堡的最后方程當然是對的，但我們不用他那種大驚小怪，牽強附會的方式，也能夠得出同樣的結(jié)果。用我的方式，同樣能得出xy-yx的差值，只不過把那個讓人看了生厭的矩陣換成我們的經(jīng)典泊松括號[x,y]罷了。然后把它用于經(jīng)典力學的哈密頓函數(shù)，我們可以順理成章地導出能量守恒條件和玻爾的頻率條件。重要的是，這清楚地表明了，我們的新力學和經(jīng)典力學是一脈相承的，是舊體系的一個擴展。c數(shù)和q數(shù)，可以以清楚的方式建立起聯(lián)系來。”
狄拉克把論文寄給海森堡，海森堡熱情地贊揚了他的成就，不過帶給狄拉克一個糟糕的消息：他的結(jié)果已經(jīng)在德國由波恩和約爾當作出了，是通過矩陣的方式得到的。想來狄拉克一定為此感到很郁悶，因為顯然他的法子更簡潔明晰。隨后狄拉克又出色地證明了新力學和氫分子實驗數(shù)據(jù)的吻合，他又一次郁悶了——泡利比他快了一點點，五天而已。哥廷根的這幫家伙，海森堡，波恩，約爾當，泡利，他們是大軍團聯(lián)合作戰(zhàn)，而狄拉克在劍橋則是孤軍奮斗，因為在英國懂得量子力學的人簡直屈指可數(shù)。但是，雖然狄拉克慢了那么一點，但每一次他的理論都顯得更為簡潔、優(yōu)美、深刻。而且，上天很快會給他新的機會，讓他的名字在歷史上取得不遜于海森堡、波恩等人的地位。
現(xiàn)在，在舊的經(jīng)典體系的廢墟上，矗立起了一種新的力學，由海森堡為它奠基，波恩，約爾當用矩陣那實心的磚塊為它建造了堅固的主體，而狄拉克的優(yōu)美的q數(shù)為它做了最好的裝飾?，F(xiàn)在，唯一缺少的就是一個成功的廣告和落成典禮，把那些還在舊廢墟上唉聲嘆氣的人們都吸引到新大廈里來定居。這個慶典在海森堡取得突破后3個月便召開了，它的主題叫做“電子自旋”。
我們還記得那讓人頭痛的“反常塞曼效應”，這種復雜現(xiàn)象要求引進1/2的量子數(shù)。為此，泡利在1925年初提出了他那著名的“不相容原理”的假設(shè)，我們前面已經(jīng)討論過，這個規(guī)定是說，在原子大廈里，每一間房間都有一個4位數(shù)的門牌號碼，而每間房只能入住一個電子。所以任何兩個電子也不能共享同一組號碼。
這個“4位數(shù)的號碼”，其每一位都代表了電子的一個量子數(shù)。當時人們已經(jīng)知道電子有3個量子數(shù)，這第四個是什么，便成了眾說紛紜的謎題。不相容原理提出后不久，當時在哥本哈根訪問的克羅尼格（Ralph Kronig）想到了一種可能：就是把這第四個自由度看成電子繞著自己的軸旋轉(zhuǎn)。他找到海森堡和泡利，提出了這一思路，結(jié)果遭到兩個德國年輕人的一致反對。因為這樣就又回到了一種圖像化的電子概念那里，把電子想象成一個實實在在的小球，而違背了我們從觀察和數(shù)學出發(fā)的本意了。如果電子真是這樣一個帶電小球的話，在麥克斯韋體系里是不穩(wěn)定的，再說也違反相對論——它的表面旋轉(zhuǎn)速度要高于光速。
到了1925年秋天，自旋的假設(shè)又在荷蘭萊頓大學的兩個學生，烏侖貝克（George Eugene Uhlenbeck）和古德施密特（Somul Abraham Goudsmit）那里死灰復燃了。當然，兩人不知道克羅尼格曾經(jīng)有過這樣的意見，他們是在研究光譜的時候獨立產(chǎn)生這一想法的。于是兩人找到導師埃侖費斯特（Paul Ehrenfest）征求意見。埃侖費斯特也不是很確定，他建議兩人先寫一個小文章發(fā)表。于是兩人當真寫了一個短文交給埃侖費斯特，然后又去求教于老資格的洛侖茲。洛侖茲幫他們算了算，結(jié)果在這個模型里電子表面的速度達到了光速的10倍。兩人大吃一驚，風急火燎地趕回大學要求撤銷那篇短文，結(jié)果還是晚了，埃侖費斯特早就給Nature雜志寄了出去。據(jù)說，兩人當時懊惱得都快哭了，埃侖費斯特只好安慰他們說：“你們還年輕，做點蠢事也沒關(guān)系。”
還好，事情并沒有想象的那么糟糕。玻爾首先對此表示贊同，海森堡用新的理論去算了算結(jié)果后，也轉(zhuǎn)變了反對的態(tài)度。到了1926年，海森堡已經(jīng)在說：“如果沒有古德施密特，我們真不知該如何處理塞曼效應。”一些技術(shù)上的問題也很快被解決了，比如有一個系數(shù)2，一直和理論所抵觸，結(jié)果在玻爾研究所訪問的美國物理學家托馬斯發(fā)現(xiàn)原來人們都犯了一個計算錯誤，而自旋模型是正確的。很快海森堡和約爾當用矩陣力學處理了自旋，結(jié)果大獲全勝，很快沒有人懷疑自旋的正確性了。
哦，不過有一個例外，就是泡利，他一直對自旋深惡痛絕。在他看來，原本電子已經(jīng)在數(shù)學當中被表達得很充分了——現(xiàn)在可好，什么形狀、軌道、大小、旋轉(zhuǎn)……種種經(jīng)驗性的概念又幽靈般地回來了。原子系統(tǒng)比任何時候都像個太陽系，本來只有公轉(zhuǎn)，現(xiàn)在連自轉(zhuǎn)都有了。他始終按照自己的路子走，決不向任何力學模型低頭。事實上，在某種意義上泡利是對的，電子的自旋并不能想象成傳統(tǒng)行星的那種自轉(zhuǎn)，它具有1/2的量子數(shù)，也就是說，它要轉(zhuǎn)兩圈才露出同一個面孔，這里面的意義只能由數(shù)學來把握。后來泡利真的從特定的矩陣出發(fā)，推出了這一性質(zhì)，而一切又被偉大的狄拉克于1928年統(tǒng)統(tǒng)包含于他那相對論化了的量子體系中，成為電子內(nèi)稟的自然屬性。
但是，無論如何，1926年海森堡和約爾當?shù)某晒Σ粌H是電子自旋模型的勝利，更是新生的矩陣力學的勝利。不久海森堡又天才般地指出了解決有著兩個電子的原子——氦原子的道路，使得新體系的威力再次超越了玻爾的老系統(tǒng)，把它的疆域擴大到以前未知的領(lǐng)域中。已經(jīng)在迷霧和荊棘中彷徨了好幾年的物理學家們這次終于可以揚眉吐氣，把長久郁積的壞心情一掃而空，好好地呼吸一下那新鮮的空氣。
但是，人們還沒有來得及歇一歇腳，欣賞一下周圍的風景，為目前的成就自豪一下，我們的快艇便又要前進了。物理學正處在激流之中，它飛流直下，一瀉千里，帶給人暈眩的速度和刺激。自牛頓起250年來，科學從沒有在哪個時期可以像如今這般翻天覆地，健步如飛。量子的力量現(xiàn)在已經(jīng)完全蘇醒了，在接下來的3年間，它將改變物理學的一切，在人類的智慧中刻下最深的烙印，并影響整個20世紀的面貌。
當烏侖貝克和古德施密特提出自旋的時候，玻爾正在去往萊登（Leiden）的路上。當他的火車到達漢堡的時候，他發(fā)現(xiàn)泡利和斯特恩（Stern）站在站臺上，只是想問問他關(guān)于自旋的看法，玻爾不大相信，但稱這很有趣。到達萊登以后，他又碰到了愛因斯坦和埃侖費斯特，愛因斯坦詳細地分析了這個理論，于是玻爾改變了看法。在回去的路上，玻爾先經(jīng)過哥廷根，海森堡和約爾當站在站臺上。同樣的問題：怎么看待自旋？最后，當玻爾的火車抵達柏林，泡利又站在了站臺上——他從漢堡一路趕到柏林，想聽聽玻爾一路上有了什么看法的變化。
人們后來回憶起那個年代，簡直像是在講述一個童話。物理學家們一個個都被洪流沖擊得站不住腳：節(jié)奏快得幾乎不給人喘息的機會，爆炸性的概念一再地被提出，每一個都足以改變整個科學的面貌。但是，每一個人都感到深深的驕傲和自豪，在理論物理的黃金年代，能夠扮演歷史舞臺上的那一個角色。人們常說，時勢造英雄，在量子物理的大發(fā)展時代，英雄們的確留下了最最偉大的業(yè)績，永遠讓后人心神向往。
回到我們的史話中來?，F(xiàn)在，花開兩朵，各表一支。我們?nèi)タ纯戳孔诱撌侨绾窝刂硪粭l完全不同的思路，取得同樣偉大的突破的。
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