“中學數(shù)學核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學設計的理論與實踐”課題組（初中）第四次研討會，于2009年4月17日—18日在北京市第166中學舉行．本次會議分別以“平行四邊形的性質(zhì)”、“平均數(shù)”、“抽樣調(diào)查”為題，分別請湖北省荊州市實驗中學王用華和天津市大港區(qū)油田四中張淑媛就“平行四邊形的性質(zhì)”以同課異構(gòu)的方式呈現(xiàn)了兩節(jié)研討課，請北京市第166中學張韜上了“抽樣調(diào)查”一課，請山西省陽泉市平定縣南坳中學趙軍才老師上了“平均數(shù)”一課．與會代表圍繞課題研究的核心內(nèi)容，以這四節(jié)課為載體展開了反思、交流與研討．

一、剖析數(shù)學核心概念和思想方法

1.       關于平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)是本章的第一課時，其內(nèi)容包括平行四邊形的定義和平行四邊形的性質(zhì)．由于小學階段已經(jīng)學習過有關平行四邊形的知識，學生曾經(jīng)通過動手測量和觀察，知道平行四邊形的定義和性質(zhì)，因此，本節(jié)課如何處理平行四邊形概念和性質(zhì)成為與會者討論和反思的一個焦點．

天津李果民認為，這節(jié)課的核心是平行四邊形的定義和性質(zhì)，涉及三個重要的問題，一是如何給一個新概念下定義，即屬加種差，后面幾種特殊四邊形也都是這么定義的．盡管小學學習過平行四邊形定義，但這節(jié)課是給學生一個科學的思維方式．平行二字是從邊的位置出發(fā)的，所以用邊平行定義．二是要強調(diào)推理論證，滲透推理必要性．三是平行四邊形向三角形轉(zhuǎn)化的思想．輔助線如何自然是課堂教學實踐的問題．

通過研討反思，大家取得一致認識：盡管在小學階段學習了平行四邊形的概念和有關性質(zhì)，但更多是從平行四邊形的整體上獲得的感性的認識．這節(jié)課要從平行四邊形與一般四邊形的關系入手，通過對平行四邊形的特殊屬性—兩組對邊分別平行的分析，揭示它與一般四邊形之間的屬種關系，進而向?qū)W生滲透給概念下定義的一種重要方式：屬加種差．這種定義概念的方式將在本章中反復出現(xiàn)，因此，在第一課時中明晰這種定義方式有助于學生形成數(shù)學思維方法．

當然，對這種給概念下定義的方式的深入分析和理解還需要在本章結(jié)束時進一步梳理．屆時，學生已經(jīng)學習了多種特殊四邊形的相關知識，因此，能夠更清楚地看到同一鄰近屬概念（平行四邊形）下的不同種概念（幾種特殊平行四邊形）之間的種差，這將有助于學生把握本章中其他特殊四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系．

對平行四邊形性質(zhì)的學習，是重視探究過程還是注重證明過程也是討論中大家關注的話題，經(jīng)過研討和反思，大家一致認為，由于在小學階段，通過動手活動，學生已經(jīng)對平行四邊形的有關性質(zhì)有所了解，因此，這節(jié)課不應該把動手探究過程作為一個重要內(nèi)容處理，而是在回顧所學性質(zhì)的基礎上，把教學重點放在對性質(zhì)的證明上．這樣處理的理由是，通過證明過程，一方面可以著重對學生進行演繹推理能力的訓練，另一方面，可以滲透證明中蘊含重要的數(shù)學思想---轉(zhuǎn)化．

此外，作為本章的第一課時，或者說一章的初始課，應該怎樣上也成為大家議論的一個焦點．有教師認為，作為一章的初始課要清楚地說明這一章的重要內(nèi)容和學習的基本方法，特別是學習方法，屬于認知策略性知識，對后續(xù)探究性學習具有重要的指導作用．因此，上課之初應對本章內(nèi)容和研究方法進行簡要說明，如，本章將要學習四邊形家族中哪些特殊四邊形，以此讓學生對全章內(nèi)容有一個大致了解．再如，通過回顧和類比三角形的學習過程，讓學生了解，對每一個特殊四邊形的學習都要經(jīng)歷這樣的過程：給概念下定義，探索其性質(zhì)，研究其判定方法．對于每一種特殊四邊形性質(zhì)和判定方法的研究，主要是針對圖形中特殊線段、特殊角的關系進行研究．

這里還需要指出的是，大家對證明過程中蘊含的轉(zhuǎn)化思想是怎樣體現(xiàn)的尚未達成一致意見，一種看法是轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)為把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題；另一種看法是，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)為把證明線段相等或角相等問題轉(zhuǎn)化為三角形全等．這兩種轉(zhuǎn)化的方向恰好相反，前一種轉(zhuǎn)化的方向是從整體—四邊形到局部—三角形；后一種轉(zhuǎn)化的方向是從局部—線段或角到整體—三角形．筆者認為，后一種認識更貼近學生思維的真實過程，因為思想方法大多是發(fā)生在問題解決之初，為問題解決指明方向或提供方法．在證明平行四邊形對邊相等、對角相等之前，學生已有認知結(jié)構(gòu)中存在證明線段相等和角相等的有關策略—“三角形全等”，因此，當學生看到所要求證的結(jié)論時，想到的首先是上述策略，進而思考如何構(gòu)造兩個全等三角形．根據(jù)已有經(jīng)驗（三角形內(nèi)角和定理證明），若要構(gòu)造三角形，自然會想到借助于輔助線，因此，輔助線引入水到渠成自然流暢．

2.       關于抽樣調(diào)查

大家一致認為，利用樣本數(shù)據(jù)特征估計總體的數(shù)據(jù)特征是“抽樣調(diào)查”這一課時的數(shù)學思想，其核心體現(xiàn)為估計的科學性，即借助于樣本的數(shù)據(jù)特征推斷總體的數(shù)據(jù)特征．隨機性伴隨抽樣調(diào)查，即每一次抽樣得到的數(shù)據(jù)可能與總體相應的真值存在差異，不同批次的抽樣得到的數(shù)據(jù)之間存在差異．在操作中，樣本的代表性是抽樣調(diào)查的核心技術問題．代表性涉及到樣本的抽取方法，樣本數(shù)量多少，這些因素影響到估計的準確程度．

比較全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點常常是深化理解兩種數(shù)據(jù)收集方法的有效辦法．抽樣調(diào)查常常用于被調(diào)查的總體中個體數(shù)量較大，甚至是無限多個；或調(diào)查過程具有較大損耗和破壞性，但并不是說抽樣調(diào)查只能用于這樣的調(diào)查，這與問題解決的要求密切相關．值得注意的是，調(diào)查方法的選擇與抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的優(yōu)劣并無直接關系，特別是準確性的問題，不能說全面調(diào)查就一定比抽樣調(diào)查更精確（詳見本期論文：初中抽樣調(diào)查教學中四個基本問題的探討）．

3.       關于平均數(shù)

學生對平均數(shù)并不陌生，但如何理解“權(quán)”的意義關系到教師如何處理教材，如何進行教學設計，甚至關系到教學手段的選擇．廣州許世紅老師認為，權(quán)即“權(quán)衡輕重”，根據(jù)權(quán)在統(tǒng)計中的具體應用主要有以下幾種常見的基本分類：（1）從取值形式看，權(quán)可以取正整數(shù)，也可以是零或正小數(shù)．（2）從表現(xiàn)形式看，權(quán)有絕對權(quán)和相對權(quán)兩種．絕對權(quán)是以總量指標形式表示的．例如：在分組情況下，計算平均成績時，以各組學生人數(shù)為權(quán)．相對權(quán)是以相對數(shù)形式表示，這個相對數(shù)可以與被平均的變量有著數(shù)量上的直接關系，也可以沒有數(shù)量上的直接關系．例如：計算平均成績時，可以用各組學生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為權(quán)．（3） 從產(chǎn)生方式看，權(quán)有自然權(quán)和人工權(quán)之分．自然權(quán)是指通過變換統(tǒng)計資料的表現(xiàn)形式（如對統(tǒng)計資料進行分組）而得到的一種統(tǒng)計權(quán)，如人教版課標教材8年級下20.1數(shù)據(jù)的代表中的探究問題（5路公共汽車載客量計算）中的權(quán)，這種權(quán)往往具有確定性和客觀性．而人工權(quán)指根據(jù)一定的研究目的而人為構(gòu)造的、以反映各項標志值重要程度的統(tǒng)計權(quán)，如演講比賽各項成績（演講內(nèi)容、演講能力、演講效果）的權(quán)，這種權(quán)具有主觀性和假定性，因此，往往表現(xiàn)出不確定性和多元性的特征．（4） 從與待加權(quán)的標志值的關系來看，權(quán)數(shù)有相關權(quán)和獨立權(quán)之分．相關權(quán)，其數(shù)值大小與被加權(quán)的標志值大小有關；獨立權(quán)，其數(shù)值大小與被加權(quán)的標志值大小無關．

二、有效落實核心概念和思想方法的教學設計

1.關注認知起點

著名美國認知心理學家奧斯貝爾說過，如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況去進行教學．因此，教學設計必須尊重學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗和認知發(fā)展水平．本次課題研討會讓大家充分地理解了這一點．例如，針對平行四邊形的性質(zhì)，很多老師都認為，課堂教學首先由搞清楚學生認知基礎是什么，小學已經(jīng)學習過了，這里再進行探究猜想驗證就是花架子．初中階段的主要任務是論證，包括其中填輔助線的方法，八年級更應當注重演繹推理．課堂教學中，學生對教師提出動手的要求相應不積極，其主要原因是學生對平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)了然于胸．

再比如，在抽樣調(diào)查一課的教學目標中，如何讓學生感受到這種思想，感受到什么程度是教學中難以把握的，因此，這些問題備受關注，換句話說，在課堂上，怎樣使學生感受到抽樣調(diào)查的必要性，抽樣調(diào)查的科學性，抽樣調(diào)查與全面調(diào)查各自的優(yōu)勢和不足，樣本的代表性等等，是本節(jié)課不容回避的問題．

在日常生活中，學生已經(jīng)積累了很多關于抽樣調(diào)查的經(jīng)驗，對抽樣調(diào)查的必要性已經(jīng)有了初步的認同，對樣本選擇的代表性問題也有所感悟，但這些經(jīng)驗、認識和感悟更多地是感性的，沒有從數(shù)學理性的高度加以系統(tǒng)地認識，因此，當某些具體問題出現(xiàn)時，學生可能會在抽樣調(diào)查與全面調(diào)查的方法選擇上產(chǎn)生疑惑，對樣本如何選擇不知所措，甚至對這種思想方法的科學性產(chǎn)生質(zhì)疑．正是基于這樣的認知沖突，經(jīng)驗的、感性的認識才得以提升，使之達到數(shù)學的理性境界；正是基于這樣的認知沖突，學生猜感受到數(shù)學的魅力．因此，我們在進行教學設計時必須尊重學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗，并在此基礎上進行有效地數(shù)學化．

　　2.放飛學生的思維

本次會議達成的一個共識是，教師需要進一步放手，讓學生獨立解決問題．從四節(jié)觀摩課的教學實際情況看，教師設計的問題中留給學生的探究空間太小，對學生的思維牽制太多，沒能讓學生放開思維．北京一中王坤老師認為，課堂上應當完全放手，把問題拋給學生，完全由學生來證明，老師只負責完善與整理．如果教師過多引導，牽著學生想到類似于課本提供的證法，邊角同時證，那么證明的技巧性太強，過于精致，與學生的自然思維差距比較大．如果針對不同的兩條性質(zhì)，讓學生自己思考，那么學生可能先證角相等，然后再證邊相等．因此，我們是否可以多立足于學生的“學”與“取”，而少立足教師的“教”與“給”．

關于自主探究，很多教師都認識到，在實踐中，探究式教學很容易流于形式，走向兩個極端：“探究活動”成為引誘學生鉆教師預設的“圈套”，沒有豐富的探究空間；抑或“探究活動”成為一種“標簽”，學生其實沒有真正地進行探究活動，而是被教師牽著鼻子去發(fā)現(xiàn)“新知識”．比如，在這堂課中，教師讓學生畫一個平行四邊形，再讓學生度量邊和角，讓學生得出對邊和對角相等的結(jié)論．為什么只度量邊和角？這樣的探究，名義上是探究，實際上還是老師讓做什么，學生就跟著做什么．看起來學生親自動手了，實際上不過是貼了一個“探究活動”的標簽而已，學生的動手根本就不是自主探究．

由于這種標簽式的探究活動過多地牽制了學生的思維活動，“平行四邊形對角線相互平分”就不可能自然地進入學生的視野范圍內(nèi)，探究活動就會成為了窮途末路．

3.在具體真實的情境中感受數(shù)學

在課堂教學中，應該讓學生親身經(jīng)歷抽樣調(diào)查全過程，感受數(shù)據(jù)生成的真實過程．章建躍談到，初中教學有兩個任務，一是教知識，但更重要的是教思想．統(tǒng)計思想是很難概括的，如果用一兩句話概括，那就是歸納的思想．課堂教學中如何落實？經(jīng)歷統(tǒng)計的全過程，親自讓學生收集數(shù)據(jù)，這是第一要點．收集數(shù)據(jù)了，一系列東西就出來了．但日常教學中，很少讓學生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)過程．這就是說，只有在具體真實的情景中學習統(tǒng)計知識，才能讓學生感受到統(tǒng)計的味道，脫離真實情景統(tǒng)計的味道就淡化了，隨之強化的是算數(shù)的味道．

此外，為體現(xiàn)問題情境的真實性，問題中的數(shù)據(jù)要真實．討論中，大家認為，招聘數(shù)據(jù)太明顯，不算就能看出來，數(shù)據(jù)傾向性太強，無需加權(quán)平均數(shù)就可以作出判斷．

4.防止多媒體喧賓奪主

在上課期間，偶遇停電，打亂了教師使用多媒體的教學設計，雖然上課教師沉著地處理了這一偶發(fā)事件，但怎樣應用多媒體教學手段再一次引起大家關注．北京邵海磊老師認為，多媒體教學只是輔助教學，課件是輔助教學的手段，其根本目的在于促進學生對數(shù)學的認識和理解．雖然課件中已將所需圖形準備好，但并不能完全代替現(xiàn)場在黑板上畫圖．教師在黑板上作圖，一方面要邊讀題變畫圖，借助于這個過程可以向?qū)W生示范將數(shù)學文字或符號語言怎樣轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形語言．另一方面有助于學生形成和發(fā)展圖形的想象能力．此外，脫離了多媒體的限制，課堂教學靈活性會更大，學生思維會更靈活．比如，對于輔助線的添加，學生可能有不同的做法，教師應當根據(jù)學生的提法，及時靈活應地在黑板上結(jié)合圖形加以說明．

湖北吳明龍質(zhì)疑，幾何教學性質(zhì)的推理論證，要不要利用投影設備學生說一句，老師在大屏幕上顯示一句．對于八年級的學生，應該自己完成動手書寫證明過程，以此發(fā)展學生書面表達能力．因此，此處利用多媒體設備呈現(xiàn)證明過程會阻礙數(shù)學表達能力的發(fā)展．

三、怎樣才能有效反思

如何判斷教學設計的有效性是課題開展研究以來一直關注的問題之一，本次會議在課后檢測方面做了一點嘗試．每一節(jié)課結(jié)束后，都對學生的學習情況進行了書面測試，并把書面測試結(jié)果及時反饋給與會教師，希望能從學生的作業(yè)反饋中尋找到一些信息，用以支持對教學設計有效性合理性的推測．當然，如果能有對比班參與測試，那么對兩組數(shù)據(jù)比較分析將對課題研討更有參考價值．

在嘗試書面測試過程中，大家也意識到，試題本身能否體現(xiàn)對核心數(shù)學概念和數(shù)學思想方法的考查力度，關系反饋信息的質(zhì)量，進而會影響我們對教學設計有效性的判斷．因此，設計高質(zhì)量的測試題目將是下一階段課題研究的另一個問題．

在探索書面測試的同時，如何進行有效反思也是課題組關心的問題．人教社章建躍指出，反思不是記流水帳，要針對具體現(xiàn)象和問題進行分析和概括．遼寧景敏認為，課后反思的邏輯起點是從課前的教學設計開始的，反思是把教學實踐獲得的感受與教學設計中的設計意圖進行對比，確切地說，是把學生的實際行為與設計的目的進行對比的過程．因此，設計意圖越明確，對比就會越有成效．通過反思，教師能更好地理解學生現(xiàn)有的認知發(fā)展水平，從而使今后的教學更符合學生的認知規(guī)律．

此外，寫反思時要把教學片段盡可能詳細地描述來，針對描述中出現(xiàn)的行為進行分析，從中抽象出觀點或結(jié)論，這樣的反思可讀性強．