第18講 最大最小
同學們在學習中經常能碰到求最大最小或最多最少的問題，這一講就來講解這個問題。
例1兩個自然數(shù)的和是15，要使兩個整數(shù)的乘積最大，這兩個整數(shù)各是多少？
分析與解：將兩個自然數(shù)的和為15的所有情況都列出來，考慮到加法與乘法都符合交換律，有下面7種情況：
15=1+14，1×14=14；
15=2+13，2×13=26；
15=3+12，3×12=36；
15=4+11，4×11=44；
15=5+10，5×10=50；
15=6+9，6×9=54；
15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7與8之和，這兩數(shù)的乘積最大。
結論1如果兩個整數(shù)的和一定，那么這兩個整數(shù)的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個數(shù)相等時，他們的乘積最大。
例2比較下面兩個乘積的大?。?/p>
a=57128463×87596512，
b=57128460×87596515。
分析與解：對于a，b兩個積，它們都是8位數(shù)乘以8位數(shù)，盡管兩組對應因數(shù)很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數(shù)的乘積是很繁的。仔細觀察兩組對應因數(shù)的大小發(fā)現(xiàn)，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數(shù)之和相等，即
57128463+87596512=57128460+87596515。
因為a的兩個因數(shù)之差小于b的兩個因數(shù)之差，根據結論1可得a＞b。
例3用長36米的竹籬笆圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？
分析與解：已知這個長方形的周長是36米，即四邊之和是定數(shù)。長方形的面積等于長乘以寬。因為
長+寬=36÷2=18（米），
由結論知，圍成長方形的最大的面積是9×9=81（米2）。
例3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。
例4兩個自然數(shù)的積是48，這兩個自然數(shù)是什么值時，它們的和最??？
分析與解：48的約數(shù)從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。
所以，兩個自然數(shù)的乘積是48，共有以下5種情況：
48=1×48，1+48=49；
48=2×24，2+24=26；
48=3×16，3+16=19；
48=4×12，4+12=16；
48=6×8，6+8=14。
兩個因數(shù)之和最小的是6+8=14。
結論2兩個自然數(shù)的乘積一定時，兩個自然數(shù)的差越小，這兩個自然數(shù)的和也越小。
例5要砌一個面積為72米2的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數(shù)，這個豬圈的圍墻最少長多少米？
解：將72分解成兩個自然數(shù)的乘積，這兩個自然數(shù)的差最小的是9-8=1。由結論2，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）。
答：圍墻最少長34米。
例6把17分成幾個自然數(shù)的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？
分析與解：假設分成的自然數(shù)中有1，a是分成的另一個自然數(shù)，因為1×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數(shù)要比分成1和a兩個自然數(shù)好，所以分成的自然數(shù)中不應該有1。
如果分成的自然數(shù)中有大于4的數(shù)，那么將這個數(shù)分成兩個最接近的整數(shù)，這兩個數(shù)的乘積大于原來的自然數(shù)。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數(shù)，這個數(shù)就可以再分，所以分成的自然數(shù)中不應該有大于4的數(shù)。
如果分成的自然數(shù)中有4，因為4=2+2=2×2，所以可以將4分成兩個2。
由上面的分析得到，分成的自然數(shù)中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數(shù)中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。
由例6的分析得到：
結論3把一個數(shù)拆分成若干個自然數(shù)之和，如果要使這若干個自然數(shù)的乘積最大，那么這些自然數(shù)應全是2或3，且2最多不超過兩個。
例7把49分拆成幾個自然數(shù)的和，這幾個自然數(shù)的連乘積最大是多少？
解：根據結論3，由49=3×15+2+2，所以最大的積是
