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第一講（下）
三、培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力
應(yīng)用題教學(xué)與學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，前邊我們重點(diǎn)的討論了老師們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的教學(xué)中碰到的困惑，下面我們從學(xué)生這個(gè)角度去體會(huì)一下孩子們?cè)诮鉀Q應(yīng)用題的過(guò)程當(dāng)中可能會(huì)碰到哪些問(wèn)題？學(xué)生可能會(huì)遇到困難，原因很多：一是過(guò)去學(xué)生在學(xué)習(xí)應(yīng)用題的時(shí)候。它的結(jié)構(gòu)是非常清晰的，特別是有的老師抓住了一些題型的特征進(jìn)行訓(xùn)練；二是解題思路、解題過(guò)程都是非常清晰的；條件總是圍繞著問(wèn)題來(lái)說(shuō)的，條件不多不少；呈現(xiàn)形式單一；可是現(xiàn)在解決問(wèn)題的表現(xiàn)形式不同了，不單純局限在文字?jǐn)⑹鲱}了；不再去抓題型教育，不再完全按照應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)來(lái)進(jìn)行分析，條件和問(wèn)題都開(kāi)放了。面對(duì)眾多的變化，學(xué)生感到了壓力和挑戰(zhàn)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中也遇到很多困惑：
作為教師，我感覺(jué)在解決問(wèn)題的過(guò)程中，有個(gè)別學(xué)生由于教法的改變，經(jīng)常出錯(cuò)，經(jīng)常受挫，造成學(xué)生的自信心不足，一見(jiàn)到應(yīng)用題犯怵，他找不到可以套的模式了；
作為教師，我感覺(jué)學(xué)生在讀懂題意和捕捉有用信息上存在問(wèn)題：題目的呈現(xiàn)方式大多是都是圖文并茂，用這樣的方式來(lái)呈現(xiàn)眾多的信息，學(xué)生不能夠有效地提取出來(lái)，不能夠準(zhǔn)確地把圖畫(huà)信息轉(zhuǎn)化成文字信息，有的孩子就把圖畫(huà)的信息遺漏了。這就是孩子在讀懂題意這方面存在著問(wèn)題。
請(qǐng)聽(tīng)孩子的心聲：
生1：我不是特別喜歡應(yīng)用題，因?yàn)樽鰬?yīng)用題太麻煩了，程序太多，而且答題的時(shí)候少幾個(gè)字都不行，尤其解方程的應(yīng)用題格式更麻煩。我不太喜歡；
生2：我希望老師講一些比較有意思的題，我喜歡做有意思的有挑戰(zhàn)性的應(yīng)用題；應(yīng)用題我覺(jué)得挺有用的，因?yàn)閷W(xué)好應(yīng)用題可以解決一些問(wèn)題，比如春游買票的時(shí)候，我就可以自己算價(jià)錢。
生3：一遇到應(yīng)用題我就暈，不知道該從哪去想，原來(lái)我做應(yīng)用題看“多“字，就做加法，看“少“字就做減法?？墒怯龅接行╊}再看“多“字做加法就不行了。
面對(duì)學(xué)生的困惑，我們是不是可以從以下三個(gè)問(wèn)題入手：
1．孩子感覺(jué)解決問(wèn)題的題目本身可能遠(yuǎn)離他們的生活實(shí)際，盡管是生活中的，也是孩子們不太熟悉的，或者或者遠(yuǎn)離孩子們身邊的；這樣的題目，學(xué)生不感興趣，因此就不能夠引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和探究的需要。那么到底怎樣出一些好的題目，提供一些好的素材這可能是我們要好好研究的問(wèn)題。
2．學(xué)生在學(xué)習(xí)應(yīng)用題過(guò)程當(dāng)中，碰到了“應(yīng)用題”不知從哪下手來(lái)解答？找不到解決問(wèn)題的策略？我們應(yīng)該幫助孩子提煉解題策略。
3．學(xué)生在探究過(guò)程或解決問(wèn)題過(guò)程中，很可能會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。那面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤或失敗該怎么辦呢？
㈠怎樣出好題目。
我們先把同樣的類型的題目做了一個(gè)比較，就是原來(lái)題怎么出，課程改革以后，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題過(guò)程中又是怎樣呈現(xiàn)的這個(gè)題目。
 A組題我們從內(nèi)容上進(jìn)行一下比較：一種是過(guò)去應(yīng)用題中肯定要做的，我們叫做工程問(wèn)題；都是按照這種文字形式來(lái)出現(xiàn)的，而且有些內(nèi)容離學(xué)生的實(shí)際很遠(yuǎn)。你看打稿件甲打時(shí)間乙打的時(shí)間，最后問(wèn)合打要完成二分之一；對(duì)學(xué)生來(lái)講，可能是距離比較遠(yuǎn)；另外呈現(xiàn)的形式也是比較單一，純文字的形式。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)題圖文并茂，教材將數(shù)學(xué)信息蘊(yùn)含于情境圖中，給出了這個(gè)數(shù)學(xué)信息。學(xué)生要從情境圖中，提取出有用的數(shù)學(xué)信息，來(lái)幫助理解題意進(jìn)行解答。第二個(gè)題目在圖中和敘述當(dāng)中共同出現(xiàn)了，這樣的情境，符合孩子學(xué)習(xí)的需要，學(xué)生也有這樣的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)內(nèi)容選的就比較好；再有，形式也改變了那種單一的文字形式， 它通過(guò)畫(huà)面展限的是孩子們喜聞樂(lè)見(jiàn)很生動(dòng)的一種情境，同時(shí)要從中捕捉數(shù)學(xué)信息，來(lái)解決這些問(wèn)題。
對(duì)于A組題，它的特點(diǎn)就是在內(nèi)容上，它的內(nèi)容更具有現(xiàn)實(shí)性，更貼近孩子生活實(shí)際，從形式方面新穎活潑，從單一的文字形式到了圖文圖文并茂的形式。
  出B組題的目的，我覺(jué)著從思維價(jià)值上看更具有挑戰(zhàn)性。第一題就是用750減去300得450就是直接一步就完了。現(xiàn)在，有情境圖讓題目的思維更具有價(jià)值。誰(shuí)爬得高？其中有一句話我們來(lái)看，小明說(shuō)：我還差300多米就到山頂了。這個(gè)“多”字出得好！當(dāng)學(xué)生面對(duì)這樣的信息，學(xué)生就在想到底是300多少米呢？是301？是350？還是399？等等。學(xué)生在思考的過(guò)程中他就嘗試著計(jì)算：如果是300米有750減300減下來(lái)也比460米要少；如果是400米用750減400那就爬得更低了。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)習(xí)邊思考邊估計(jì)，不用很多的計(jì)算學(xué)生就知道小明比小麗爬得低。我覺(jué)得這個(gè)題目出的好就好在它不是單一的讓學(xué)生去用減法計(jì)算，而是富有挑戰(zhàn)性讓學(xué)生面對(duì)信息，面對(duì)信息當(dāng)中呈現(xiàn)出的關(guān)鍵的地方引發(fā)學(xué)生的思維。這樣學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中就獲得了思維的發(fā)展，換一句話說(shuō)就是要用數(shù)學(xué)本身的魅力來(lái)吸引學(xué)生。
 第一個(gè)題過(guò)去經(jīng)常見(jiàn)到的,加工一批零件、修一條水渠，這樣的題材在過(guò)去還是很多的。我們看這道題,學(xué)生很容易能做出來(lái)，就是9乘3加6;同樣是9乘3加6，就是過(guò)去說(shuō)的乘加兩步命題。第二題還是乘加，數(shù)字還沒(méi)有變，式子也沒(méi)有變，只不過(guò)內(nèi)容形式變了。非常有趣,我想是從形式上更具有趣味性,更適合孩子.
過(guò)去我們說(shuō)的應(yīng)用題教學(xué)從內(nèi)容上來(lái)講是遠(yuǎn)離孩子們的身邊、孩子們的實(shí)際的。新課程改革以來(lái)，由于呈現(xiàn)形式的變化，出現(xiàn)了生動(dòng)活潑的畫(huà)面，而且要在畫(huà)面中要提取數(shù)學(xué)信息。對(duì)于小孩子來(lái)講他們當(dāng)然應(yīng)該一定是更喜歡第二種題的。
要出好題應(yīng)該從趣味性層面去吸引孩子的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望。對(duì)比較枯燥的問(wèn)題學(xué)生學(xué)起來(lái)沒(méi)有興趣，放在情境圖中讓學(xué)生非常好玩、非常有意思，這也是考慮到孩子們心理特征和心理需求。
剛才通過(guò)這個(gè)三個(gè)ABC這個(gè)三組題，我們把過(guò)去的應(yīng)用題教學(xué)出現(xiàn)的題目和今天新課程教學(xué)中解決問(wèn)題從內(nèi)容、思維價(jià)值和趣味性進(jìn)行了對(duì)比。下面我們看一下國(guó)外解決問(wèn)題的題目是怎么樣呈現(xiàn)的。
這是加拿大的一道題：
• 有四個(gè)同學(xué)到不同的商店買圍巾和手套，他們花的錢如下：
Emma 圍巾 5.59元，手套18.75元
Jeff 圍巾 6.75元，手套24.98元
Michael 圍巾 3.89元，手套19.82元
Alicia 圍巾 2.05元，手套 16.18元
誰(shuí)買的手套的錢數(shù)大約是圍巾的8倍？
思考：這個(gè)題目和我們平時(shí)出的題目有哪些不同呢？
這是的美國(guó)一道題下面幾道題都要算150除以60，但是答案不一樣
⑴“150支鉛筆，均分給60個(gè)學(xué)生，每人分得幾支？”（答：2支）
⑵“150個(gè)同學(xué)，每只船可以乘60個(gè)同學(xué)，需要幾只船？”（答：3只）
⑶“一部電影放映150分鐘，要放映多少小時(shí)？（答：2.5小時(shí)）
同樣是150除以60，用除法來(lái)解答的這個(gè)問(wèn)題，但是在做結(jié)果回答的時(shí)候卻出現(xiàn)了三種不同的答案。
學(xué)生需要的是好題目，到底什么是好題目？什么是好素材？老師們你們?cè)趺礃觼?lái)看好題目的標(biāo)準(zhǔn)是什么？這個(gè)問(wèn)題還是先拋給老師們，你們先思考著好不好？
㈡如何體現(xiàn)好的策略
現(xiàn)在的解決問(wèn)題和過(guò)去發(fā)生了變化，學(xué)生在解決問(wèn)題中碰到的一個(gè)很大的困惑就是不知從哪下手來(lái)分析問(wèn)題？不知道有什么好的解決問(wèn)題的策略？我們?nèi)绾巫屧趯W(xué)生自主的討論中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題在解決問(wèn)題策略這方面我們?cè)鯓訉?duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)呢？
接下來(lái)請(qǐng)看案例，同一內(nèi)容《雞兔同籠》，不同年級(jí)采用什么策略？
《雞兔同籠》問(wèn)題，是過(guò)去奧校中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，我就記得當(dāng)時(shí)讓學(xué)生一定要記住假設(shè)成雞的，得兔的；假設(shè)成兔的，得雞的。然后列一大串的算式，學(xué)生就記住這個(gè)框架模式結(jié)構(gòu)，但是并不知道其中的道理，孩子們學(xué)習(xí)感到非常的困難。
在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，規(guī)定把《雞兔同籠》問(wèn)題放進(jìn)了新課標(biāo)的教材。我們?cè)鯓觼?lái)認(rèn)識(shí)它的教育價(jià)值？怎樣在雞兔同籠的這樣的具體的教學(xué)當(dāng)中來(lái)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的策略？
【案例1】徐斌老師（二年級(jí)）
題目：雞兔放在一個(gè)籠子里，頭一共有5個(gè)，有14條腿，雞有幾只？兔有幾只？
提示：我們用圓圈代表頭，畫(huà)5個(gè)。用
 表示雞的腿，用表示兔的腿。用這樣的方法去畫(huà)腿，腿一共有14條?？梢赃叜?huà)邊數(shù)，多畫(huà)了擦掉，少畫(huà)了補(bǔ)上。 學(xué)生畫(huà)完后匯報(bào)，老師給演示。
 生1：我先畫(huà)一只雞，在最后畫(huà)一只四條的兔，在前邊畫(huà)一只雞，再畫(huà)一只兔，
師：兔畫(huà)哪兒？
生1：兔畫(huà)倒數(shù)第二個(gè)。
生1：中間再畫(huà)一只雞。
師：中間為什么不畫(huà)兔了？
生齊：再畫(huà)就比14條多了。
師：也就是你邊畫(huà)邊數(shù)的，畫(huà)到這兒的時(shí)候你數(shù)腿是多少條了？
生齊：12條腿，
師：那么只能畫(huà)一只雞了。這樣畫(huà)下來(lái)得到的結(jié)果是幾只雞？幾只兔？
生齊：是3只雞，2只兔。
師：還有哪位小朋友畫(huà)的結(jié)果和他畫(huà)的一樣，向徐老師揮揮手。
師：有沒(méi)有小朋友跟它畫(huà)的結(jié)果一樣，順序不一樣？
 生2：我先畫(huà)一只雞，第二只也是雞，第三只是兔，第四只也是兔，最后只能畫(huà)雞了。
師；你畫(huà)了2只雞，又畫(huà)了2只兔，最后畫(huà)1只雞。
師：這樣的結(jié)果對(duì)嗎？
生齊：對(duì)。
師：只要你畫(huà)的結(jié)果是對(duì)的，順序不一樣有沒(méi)有關(guān)系呀？
生齊：沒(méi)有關(guān)系。
 生3：我先畫(huà)上三只雞，
師：一下子就畫(huà)三只雞了？是嗎？
生3：我先畫(huà)兩只雞，總共是4條腿，再畫(huà)1只兔，再畫(huà)1只雞，再畫(huà)1只兔。
師：數(shù)到這兒，腿還差幾條了？
生齊：4條。
師：最后只能畫(huà)兔了。
師：大家都畫(huà)對(duì)了?？梢韵雱偛判∨笥岩粯舆叜?huà)邊數(shù)，可以先畫(huà)雞，也可以先畫(huà)兔；可以先畫(huà)2只雞，再畫(huà)2只兔；一定要邊畫(huà)邊數(shù)。
雞兔同籠問(wèn)題，可謂是我們國(guó)家的古典難題。以前在教材當(dāng)中一般不出現(xiàn)，現(xiàn)在在教材當(dāng)中編了。我曾經(jīng)做了一個(gè)大膽的嘗試，否讓二年級(jí)的小朋友也來(lái)解決雞兔同籠問(wèn)題呢？教學(xué)之后我的體會(huì)很深。剛才老師們看了一段教學(xué)片段，我在教學(xué)的時(shí)候整個(gè)一堂課我沒(méi)有讓學(xué)生列算式也沒(méi)有先假設(shè)成雞，再怎么怎么……也沒(méi)有先假設(shè)成兔再怎么怎么……記那些套路。在這堂課當(dāng)中我主要讓學(xué)生采用的一種方法和策略，那就是畫(huà)圖，畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)。我跟小朋友講怎樣畫(huà)數(shù)學(xué)畫(huà)呢？小朋友們創(chuàng)造出了表示雞和兔的有趣的數(shù)學(xué)畫(huà)，小朋友用圓圈表示雞和兔的頭，用短豎表示它們的腿。在這里雞和兔頭的具體形狀已經(jīng)不重要了，腿的形狀也不重要了。重要的是雞和兔的頭和腿的數(shù)量特征。剛才在學(xué)生在畫(huà)圖的時(shí)候，學(xué)生一邊畫(huà)一邊數(shù)，腿多了再擦掉腿少了再填上?？梢哉f(shuō)是邊畫(huà)圖邊調(diào)整，最后學(xué)生都解決了這個(gè)問(wèn)題，而且解決這個(gè)問(wèn)題之后，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生都很興奮。因?yàn)槲腋鷮W(xué)生講：這個(gè)題目原來(lái)是大哥哥大姐姐們的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在你自己用自己創(chuàng)造出來(lái)的數(shù)學(xué)畫(huà)，用畫(huà)圖的方法也能夠解決問(wèn)題。
這個(gè)案例也給了我們大家很多的思考，我覺(jué)得只要我們相信學(xué)生、只要我們引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造出合適的方法和策略，就能解決我們平時(shí)可能覺(jué)得不能解決的問(wèn)題。
【案例2】施銀燕老師（五年級(jí)）
師：雞兔同籠聽(tīng)說(shuō)過(guò)嗎？
生：聽(tīng)說(shuō)過(guò)。
師：雞兔同籠問(wèn)題已經(jīng)有了1500多年的歷史了，它最早出自我國(guó)古代的一本數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》，我們要學(xué)的新方法是嘗試。誰(shuí)知道嘗試？
師：那這個(gè)問(wèn)題你會(huì)嘗試嗎？
生：會(huì)。
師：請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)施老師課前發(fā)的表，把你嘗試的過(guò)程寫(xiě)在表里。
……
師：哪個(gè)小組愿意把你們都大家欣賞的方法推進(jìn)給大家呢？
師：呦，這么多組。
師：這樣吧你們先來(lái)好嗎？注意簡(jiǎn)單的說(shuō)明你們推薦的理由。好不好？
生：我們組先嘗試如果雞是一只的話，然后兔子是十一只的話，那么它們兩個(gè)加起來(lái)就有四十六只腿就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了三十條腿……
師：稍等一下，那個(gè)你們這么說(shuō)可能同學(xué)們聽(tīng)的不是很清楚到前面來(lái)。
生：如果呢雞有一只兔子有十一只，雞的腿就有兩只，而兔子的腿是有四十四只，兩個(gè)腿加起來(lái)一共是四十六只。這樣呢就是超過(guò)了三十條腿，然后我們又接著假設(shè)，我們假設(shè)雞有兩只。兔子呢有十只，那么雞的腿就有四只，兔子的腿就有四十只，它一共呢就有四十四條腿。最后呢我們還接著假設(shè)，假設(shè)雞有三只兔子有九只，那雞就有六只腿，兔子呢就有三十八條腿……
師：孩子我覺(jué)得你們?cè)嚨倪^(guò)程，其實(shí)把這個(gè)表放在這，我們都看的很清楚了是嗎？你們這種嘗試的方法有什么特點(diǎn)？或者有什么好處跟我們大家說(shuō)說(shuō)。
生：就是按照規(guī)律找接著我們發(fā)現(xiàn)：雞的只數(shù)每加一只兔子少一只，中間呢就會(huì)少兩條腿，按這個(gè)規(guī)律最后找到了。最后我們發(fā)現(xiàn)三十條腿。我們推薦這種方法的主要理由是：這種方法很適于廣大的同學(xué)，而且這種方法應(yīng)該說(shuō)是比較簡(jiǎn)單吧，把這道本來(lái)很難的題。我們把這道本來(lái)很難的題，畫(huà)成了一個(gè)很簡(jiǎn)單的圖表。這樣大家不但能很清楚的看到這些數(shù)據(jù)，而且能很清楚的找到答案。這就是我們推薦這種方法的理由。謝謝大家！
師：說(shuō)的真好等等等等先放這，底下同學(xué)還有話問(wèn)你們呢？有什么問(wèn)題？
生：為什么你后來(lái)是那個(gè)？雞的只數(shù)增多，而不是雞的只數(shù)減少呢？
生：因?yàn)槲覀兪沁@么想的：雞的腿數(shù)大家肯定很清楚，它就是兩只而兔的腿數(shù)呢它是四只，那么兔的腿數(shù)肯定要比雞的腿數(shù)要多。那么我們第一個(gè)是這么想的。它的就是說(shuō)真正的腿數(shù)其實(shí)是四十六只，就是說(shuō)這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)的超過(guò)了三十只。就是說(shuō)本來(lái)為什么會(huì)超過(guò)呢？
這是因?yàn)殡u太少了，所以它雞的腿數(shù)的和太少。但是兔的腿數(shù)那個(gè)它每條的四也就太了。所以我們一點(diǎn)一點(diǎn)的把這個(gè)往下縮小，而把這個(gè)增加。把兔的縮小我覺(jué)得是這么樣的。
師：謝謝！還有問(wèn)題？毛雨桐。
生：我想問(wèn)你，那為什么你先看出雞有一只，兔子有十一只？既然得到了四十六條腿，這已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)了超出了三十，那為什么你們不把雞再多擴(kuò)大一些把兔子再縮小一些？那樣不是更簡(jiǎn)便嗎？
師：毛雨桐，施老師發(fā)現(xiàn)你水平真高。已經(jīng)開(kāi)始說(shuō)另外的更好的方法了是嗎？你覺(jué)得更好的方法是不是這樣，一會(huì)兒再說(shuō)。咱們就這個(gè)問(wèn)題一塊來(lái)說(shuō)。你們先回，好嗎？同學(xué)們來(lái)看，他們這種嘗試最后成功的找到了答案，對(duì)嗎？看看他們的嘗試有什么特點(diǎn)？這種嘗試誰(shuí)看出來(lái)了？
生：康則齊。他們都是按雞是一二三四五六七八九這樣排列的。
師：特別的怎么樣？
生：有規(guī)律，特別的有順序。是把雞和兔合起來(lái)是十二個(gè)頭的所有的情況一一的列舉出來(lái)。
師：這么有序的列舉有什么好處？
生：我覺(jué)得會(huì)不會(huì)漏掉一些數(shù)據(jù)。
師：是這樣吧？你說(shuō)。
生：而且這樣會(huì)把這個(gè)你所做這個(gè)題的思路看的很清楚。
師：非常好！這樣地毯式的大搜索咱們就會(huì)覺(jué)得特保險(xiǎn)，不會(huì)漏掉哪一個(gè)，對(duì)嗎？所以剛才他說(shuō)這個(gè)是適合我們所有同學(xué)的方法，是嗎？那么有序的列舉除了有這么一個(gè)好處他們剛才還發(fā)現(xiàn)了還有另外一個(gè)特好的地方，其實(shí)從這個(gè)嘗試?yán)镂覀兙鸵呀?jīng)看出來(lái)了你說(shuō)能找出數(shù)之間的規(guī)律你們找到了嗎？
生：找到了。
師：什么規(guī)律？
生：不行，不能叫，你們組都討論過(guò)了。
師：換一個(gè)，其他同學(xué)誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了。好，你說(shuō)。
生：我發(fā)現(xiàn)每增加一只雞，減少一只兔子它的腿數(shù)就會(huì)減二。
師：是嗎？
生：發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律有什么用??？李瑞。
生：因?yàn)槲矣X(jué)得發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，那腿數(shù)就不用一個(gè)一個(gè)的去死算了，就可以尋著這個(gè)規(guī)律去找。發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律之后，我們可以直接由一開(kāi)始的四十六條腿直奔三十條腿。
師：對(duì)嗎？
生：看出來(lái)這里邊相差了多少個(gè)，我就一下子能夠找出，正確的答案了。我們發(fā)現(xiàn)他們那個(gè)小組后面也不是一一算出來(lái)，就直接找到那個(gè)答案了。
師：對(duì)嗎？看一看其實(shí)這個(gè)方法跟咱們課前有同學(xué)說(shuō)的假設(shè)法是不是有什么相似？很大的相似之處，對(duì)嗎？好的，剛才這個(gè)小組呢推薦了一種特別有價(jià)值的方法，那么其它小組有不同的嗎？誰(shuí)來(lái)？好，你們吧。請(qǐng)到前面來(lái)，要教鞭嗎？
生：我們組的方法呢是由李良質(zhì)發(fā)明出來(lái)的，我們方法呢其實(shí)跟他們的差不多也是先想出他們兩個(gè)雞和兔的只數(shù)，然后呢往下依次的去找這樣找到答案的，但是我們的是先假設(shè)雞的只數(shù)和兔的只數(shù)一樣多，這樣它們一共是有三十六只腿，就比題目中說(shuō)的三十只腿要多，所以呢我們就可以推測(cè)出來(lái)那個(gè)兔子呢是比雞少的，所以呢我們每一次是把一只雞加一兔子減一這樣就算到了三十。我們認(rèn)為這個(gè)好處呢就是非常的簡(jiǎn)便，還有一種好處就是你看它兔子的腿是四只，然后假如說(shuō)他不是寫(xiě)的上面有十二個(gè)頭嗎，要是你把兔子都給當(dāng)成了的話那就是四十八只了，就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)它了，然后就是這種辦法太麻煩了。然后就這樣我們算出了。
師：等一下，同學(xué)們也都看出來(lái)了你們這種嘗試的方法特別簡(jiǎn)單，我看到你就是一二三，第四步找到結(jié)果了對(duì)嗎？但是你只說(shuō)簡(jiǎn)單，我不知道為什么就能這么簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的背后如果是碰運(yùn)氣那我們也學(xué)不了，你簡(jiǎn)單的背后原因是什么？
生：我們這樣子呢就是如果說(shuō)雞和兔子呢看成是一樣多的話，那就是說(shuō)如果。一樣多的話更好看出來(lái)它到底是雞多還是兔多，這樣呢就按照那個(gè)思路去找，就能快一些。
師：好多同學(xué)跟你有共同的想法可以請(qǐng)底下的同學(xué)說(shuō)。
生：我覺(jué)得如果要是說(shuō)那就從找出它的那個(gè)十二中間的這個(gè)數(shù)之后，假如說(shuō)算出來(lái)的腿數(shù)呢是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)三十條腿的話，就是減去那個(gè)腿數(shù)多的動(dòng)物，就是那個(gè)四條腿的兔子，一點(diǎn)一點(diǎn)往下減的話這樣不用很多算式就能算出來(lái)。而且我覺(jué)得用他們的中間那個(gè)數(shù)的話跟他們的答案很接近。你看它那個(gè)腿數(shù)是三十六，而剛才剛才朱子元他們那組的辦法呢腿數(shù)是一開(kāi)始就是四十六了，因?yàn)橹虚g的那個(gè)辦法呢中間的從中間往旁邊算的話這樣子離答案我覺(jué)得很接近。
師：我從剛才幾個(gè)同學(xué)的發(fā)言中都聽(tīng)到了這樣的兩個(gè)詞。他們不是沒(méi)根據(jù)的而是都是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析然后調(diào)整了以后才使他們的嘗試特別簡(jiǎn)便的，對(duì)嗎？好。
我覺(jué)得施老師這節(jié)課用足時(shí)間帶領(lǐng)學(xué)生去深入地研究嘗試的方法。
嘗試的方法分為三個(gè)層次：
⑴逐一嘗試：優(yōu)點(diǎn)是能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且答案不會(huì)有遺漏；
⑵中間嘗試：優(yōu)點(diǎn)是嘗試的范圍縮小了一半；
⑶跳躍嘗試：需要不斷調(diào)整，思維價(jià)值大。
三種嘗試方法，其嘗試的價(jià)值是什么？對(duì)學(xué)生的思維和探究會(huì)帶來(lái)什么價(jià)值？都需要我們很好地研究。特別是剛才徐斌老師的課和施銀燕老師的課，因?yàn)槟昙?jí)不同，他們采取的方法、策略也就不同。請(qǐng)老師們?nèi)ニ伎荚谶@樣的課堂教學(xué)當(dāng)中，他們運(yùn)用了怎樣的教學(xué)策略？如果您來(lái)設(shè)計(jì)，您還有其它一些想法嗎？
㈢怎樣對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤
學(xué)生經(jīng)常在探究的過(guò)程當(dāng)中在解決問(wèn)題的過(guò)程中出現(xiàn)問(wèn)題和錯(cuò)誤出現(xiàn)錯(cuò)誤。面對(duì)著學(xué)生的問(wèn)題、錯(cuò)誤，老師又該怎么辦呢？你有什么更好的方法經(jīng)驗(yàn)或者教訓(xùn)嗎？讓我們走進(jìn)潘曉明老師的課堂。
【案例3】潘曉明老師
某班有男生20人，比女生多，女生多少人？
生：我是這樣列式的：20-20X=13（人），因?yàn)槲蚁肽猩扰?，也就是女生比男生少。所以，只要用男生人?shù)減去男生人數(shù)的就等于女生人數(shù)。
教師板書(shū)；男生比女生多——女生比男生少。
生2：人數(shù)不可能有人。
師：什么原因造成的呢？
生3：有可能是題目中的數(shù)據(jù)不科學(xué)，也有可能是算式列錯(cuò)了。
生4：畫(huà)線段圖。（圖略）20÷4X3=15（人）
生5：男生比女生多，說(shuō)明男生是女生的倍，所以用20 ÷=15（人）
生6：列方程。
生7：從圖中可以看出，男生人數(shù)和女生人數(shù)分別是4份和3份，男生20人，所以女生15人；
師：15人和13人，哪個(gè)答案正確呢？（幾乎所有學(xué)生都選擇15人）?？墒俏矣X(jué)得這樣列式也有道理呀，問(wèn)題出在哪里呢？
（四人小組討論）
小組代表發(fā)言：男生與女生人數(shù)不相同，不能倒過(guò)來(lái)理解；舉例說(shuō)明；從圖中看出：女生應(yīng)該比男生少……
其實(shí)，這個(gè)類似于這樣的一個(gè)教學(xué)的情況在我們的教學(xué)當(dāng)中是經(jīng)常出現(xiàn)的。因?yàn)樵谡麛?shù)的解決問(wèn)題就是你比我多五只，就是我比你少五只，那么在解決分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題的時(shí)候，我們就會(huì)遇到一個(gè)問(wèn)題：到底這個(gè)分?jǐn)?shù)它表示的是誰(shuí)的？所以這個(gè)問(wèn)題很普遍。潘老師可貴的就是，在學(xué)生遇到問(wèn)題時(shí)，老師敏銳地抓住了，把問(wèn)題拋給學(xué)生。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖和討論，由結(jié)果去猜測(cè)、推斷，最后獲得了對(duì)問(wèn)題地解決。潘老師這段案例處理得非常有智慧。
在我們當(dāng)課堂當(dāng)中出現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，潘曉明老師是這樣處理的。你認(rèn)為他處理的方法怎么樣？你還有什么更好的方法嗎？如果你的課堂里出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題你又會(huì)怎么樣做呢？這個(gè)問(wèn)題留給老師們?nèi)ダ^續(xù)地思考，下一場(chǎng)我們接著來(lái)回應(yīng)這個(gè)問(wèn)題。
曾經(jīng)我也聽(tīng)了施銀燕的這節(jié)老雞兔同籠的課堂教學(xué)，在課堂上學(xué)生也出現(xiàn)了探究事物的情況本來(lái)一共是多少條腿呢？對(duì)結(jié)果他攔腰進(jìn)行探究的時(shí)候，就是從中間探究的時(shí)候，這個(gè)腿數(shù)第一次探究就是發(fā)現(xiàn)三十六條了。然后學(xué)生調(diào)整又失誤，反而腿多了，應(yīng)當(dāng)把兔子的數(shù)量減少，他反而把兔子的數(shù)量增加了。學(xué)生探究中就失敗了三次，探究就發(fā)現(xiàn)這個(gè)腿數(shù)越來(lái)越多，那么在這種情況下施老師她是怎樣面對(duì)學(xué)生探究失敗的呢？
讓我們一起走近施老師的課堂看看施老師是怎樣來(lái)處理這個(gè)問(wèn)題的？
《雞兔同籠》片斷
師：那個(gè)小組沒(méi)推薦他？為什么沒(méi)推薦？還沒(méi)試完是嗎？是不是？你說(shuō)。
生：因?yàn)樗麄儼淹?#8230;…因?yàn)樗麄儼淹米釉黾雍芏?，增加的腿?shù)越多，所以那個(gè)也是錯(cuò)的啊。
師：所以最后也沒(méi)找到結(jié)果是嗎？可以說(shuō)這幾次嘗試都失敗了。那同學(xué)們，像這樣嘗試了幾次都失敗了是不是這個(gè)嘗試沒(méi)有任何意義？也就跟沒(méi)事一樣，對(duì)嗎？
生：對(duì)。（有同學(xué)認(rèn)可）
生：不對(duì)！因?yàn)槲艺J(rèn)為他這三種嘗試都失敗了，這可以讓人們知道已經(jīng)有三種想法，是已經(jīng)被排除了。而不是說(shuō)這三次失敗，三次都失敗了是沒(méi)有意義的。
師：說(shuō)的真好。蔡世奇的話讓我想到了一位著名的科學(xué)家愛(ài)迪生，他在嘗試做燈絲的材料的時(shí)候試了一千多種材料都失敗了，他的助手很灰心對(duì)他說(shuō)：你看你已經(jīng)失敗了一千多次了，成功非常渺茫，我看你還是放棄吧。愛(ài)迪生卻不這么說(shuō)，他說(shuō)：我覺(jué)得我還是成功了！我成功的發(fā)現(xiàn)了這一千多種材料是不能做燈絲的。最后愛(ài)迪生經(jīng)過(guò)了六千多次的嘗試終于找到了燈絲的材料。所以才有我們現(xiàn)在的光明。同學(xué)們?nèi)绻@個(gè)同學(xué)繼續(xù)試下去你覺(jué)得他會(huì)成功嗎？
生：會(huì)！
師：那么這份作品代表的可能是他剛開(kāi)始的想法，如果我們現(xiàn)在再采訪他，估計(jì)他會(huì)又有調(diào)整了。你覺(jué)得他會(huì)怎么調(diào)？
剛才看了施銀燕老師兩分多鐘的小教學(xué)片段。我們各位老師一定很有感慨她面對(duì)著學(xué)生的探究失敗，有這樣一段有備而來(lái)的即興講話，實(shí)際上是老師教育思想一個(gè)表現(xiàn)的過(guò)程。我想面對(duì)學(xué)生的失敗施老師是這樣處理了。特別是她分析了既然失敗了有沒(méi)有價(jià)值呢？提出這么一個(gè)很好的問(wèn)題。我們?cè)谧睦蠋焸兛戳诉@一段教學(xué)錄像以后，你們有些什么想法？
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