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第二講：觀點分享
一、關(guān)于估算教學(xué)的思考
在估算教學(xué)中，我們分成三個層面進行討論。首先是對估算價值的認識，即估算在人們的日常生活中，在孩子們的學(xué)習(xí)中有怎樣的作用。其次，在課堂教學(xué)這個層面當(dāng)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的這種估算的意識，幫助學(xué)生選擇合適的估算策略，掌握估算的方法，提高估算技能。最后是如何對學(xué)生的估算結(jié)果進行客觀公正的評價，即估算的評價標準。
1.估算的價值
（1）估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用
隨著現(xiàn)在科技的飛速發(fā)展，很多事實際上不可能也不需要都來進行準確計算。通過對家長的訪談，我們看到從事各種職業(yè)的人士，都認同估算的價值。曾經(jīng)有一個學(xué)者做過一個統(tǒng)計，一個人在日常生活當(dāng)中精確計算，和粗略估計算的機會來比，后者多得多。例如，我們每個家庭要計劃自己家庭的收入和支出，這就需要估計；一個商場，它的營業(yè)額是多少，它的利潤如何，這要進行大致的預(yù)測，這也是估計；企業(yè)對經(jīng)營的產(chǎn)品或者銷售額也要進行估計；又如現(xiàn)在北京市公交車輛特別多，那么公交部門的運輸能力到底是多少，不一定很精確計算，也需要大致做估計；再比如，現(xiàn)在大城市流動人口很多，到底流動人口是多少，我們在做統(tǒng)計時也要做一些估計，一般來講尾數(shù)就省略不計了。綜上所述，我們可以得出生活離不開估算。因此，估算作為數(shù)學(xué)計算教學(xué)方面的一個新內(nèi)容，或者說一個重要的方面提出來，是有道理的。
（2）估算為判斷計算器、口算和筆算結(jié)果是否合理提供了依據(jù)
估算為判斷計算器計算得是否準確，包括孩子們口算、筆算的結(jié)果是否合理，提供了重要的依據(jù)。小學(xué)生開始使用計算器，計算器按出來一般的結(jié)果都是準確的，但有時候由于操作失誤可能會出現(xiàn)問題，如果學(xué)生有了估算的意識和能力，就能很快發(fā)現(xiàn)計算器計算結(jié)果的取值范圍是否合理，可以馬上改過來。
過去我們要用加減法的互逆關(guān)系和乘除法的互逆關(guān)系來驗算，現(xiàn)在就可以用估算的方法來檢驗結(jié)果。這也是估算的重要應(yīng)用。
（3）估算有利于人們事先來把握運算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的一個重要的途徑
估算是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，也是保證計算正確的重要環(huán)節(jié)，尤其對提高學(xué)生的計算能力很有益處，計算前進行估算，可以估計出大致結(jié)果，為計算的準確性創(chuàng)設(shè)條件；計算后進行估算，能判斷計算有無錯誤并找出錯誤的原因，及時糾正。在學(xué)生的日?？谒愫凸P算過程中，無論是計算前估算或者是計算后估算，都有一定的價值，比如說拿到一道題，還沒算之前，先估算一下，大概它的范圍是多少，這有利于學(xué)生進行合理的判斷。另外從思維角度來講，對培養(yǎng)孩子快速的判斷和推理能力，也有一定的好處。
（4）估算對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用
估算在學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有一個非常重要的位置，并且是數(shù)學(xué)的一個基本思想，通常我們叫近似或者逼近。比如在初中，我們都學(xué)了一個數(shù)的平方等于2，那么這個數(shù)就是叫做
 ，那么是一個實數(shù)，但是我們在日常生活中，總不能說一個人的身高是，那么通常我們總說它是1.4～1.41，這樣別人可以了解你的這個具體的身高，所以說在數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，包括在數(shù)學(xué)的計算中，常常會需要用近似，用估計來解決問題，并且它這個估計的結(jié)果符合我們實際的要求。確實在我們數(shù)學(xué)的發(fā)展過程當(dāng)中，估算也占有重要的地位，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要的幫助，特別是發(fā)展學(xué)生近似的意識，估算的這種意識的培養(yǎng)，也是非常重要的。
總之，作為數(shù)學(xué)教師，我們只有更加深刻地去感受，去領(lǐng)悟估算在我們生活工作中的價值，我們才能自覺地在我們的教學(xué)當(dāng)中，很好地去培養(yǎng)學(xué)生的這種估算的意識，估算的能力，很好地去發(fā)展學(xué)生在這方面的一些創(chuàng)造能力。
附：家長訪談
新藥研發(fā)工作者：我覺得估算價值挺大的，因為我是做新藥研發(fā)的，一個新藥大概要投資下十億到十五億美元這樣一個范圍，風(fēng)險很大，所以一定要有一個大概的估計，而且中國人是那種直覺性思維方式非常好的，估計性的能力相對來說可能是比較強的，我覺得或多或少的會用到估算，就是你在確定方向的時候，覺得很有用。
幼兒園工作者：我覺得應(yīng)該有吧，比如吃飯，我經(jīng)常會遇到這種情況，因為有時候開的發(fā)票不是很準確，你又希望這個價格很準確，但是大腦運作得又太慢，加菜單的時候太慢，所以我覺得這個應(yīng)該挺有價值的，就是從生活角度。有時候你不可能當(dāng)著朋友面算算算半天，擱那兒摳摳半天，但是也確實那個餐廳也有過這種情況，他可能給你寫一個價格，但是他最后的結(jié)果他比你要高出，有這種情況，所以為了避免這種損失，應(yīng)該有一個大概的一個估算，不會差得太大。
商人：我的職業(yè)是做出口生意，最基本的還是每天的零售，零售這個流水多少錢，那么估算在我這兒應(yīng)該是每天、每月、每年都應(yīng)該用的，因為有的時候，你計算的沒有那么多時間，或者今天把今天的這個三次結(jié)完賬，或者兩個店的營業(yè)額流水有多少，估算一下，這個應(yīng)該在生活當(dāng)中是用的非常多的。
2.估算教學(xué)的策略
目前“估算”從學(xué)生角度來講的主要問題有兩個：一是學(xué)生不知道什么選擇用估算，往往學(xué)生一看見有“大約”，就開始估了。二是學(xué)生不知道在什么情況下選擇用什么樣的估算策略，也就是估算策略怎么能夠合理地進行應(yīng)用。為此，給大家提供一些估算教學(xué)的策略，希望能有所啟發(fā)。
（1）培養(yǎng)估算意識
估算教學(xué)，不是單純地教給學(xué)生記住一種估算的方法，應(yīng)當(dāng)是通過估算的教學(xué)，來培養(yǎng)學(xué)生這種近似的意識，這種估算的意識，他不是被動地、機械地去記住一種估算方法，而是通過課堂教學(xué)，讓學(xué)生逐步地去理解估算的意義，去發(fā)展學(xué)生的估算意識，在這個過程中，應(yīng)當(dāng)多增加一些學(xué)生的體驗，不斷地豐富學(xué)生這方面的經(jīng)驗，積累他的經(jīng)驗。下面提幾條具體的教學(xué)建議。
①教師要重視估算，并把估算意識的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標
在教學(xué)設(shè)計時，首先要考慮教學(xué)目標，如果把目標定位在做一些機械的訓(xùn)練，可能就會給學(xué)生形成一種錯誤的定勢。而我們要培養(yǎng)學(xué)生估算的意識、近似的意識，這是我們數(shù)學(xué)教學(xué)本身發(fā)展應(yīng)該關(guān)注的問題，也應(yīng)該作為我們重要的教學(xué)目標來實施。
②要選好題目，提出好問題，讓學(xué)生去體會估算的必要性
作為教師，在教學(xué)設(shè)計中，首先要選好題目，提出好問題，提出有估計價值的問題，這對老師是個挑戰(zhàn)。比如，三位數(shù)除以兩位數(shù)，你估一估這道題，它的商是幾位數(shù)？這個問題就有價值。另外，只有選好題目、提出好問題學(xué)生才能自覺體會到估算的價值，學(xué)生具備了對估算價值的體驗后，他的估算意識才能不斷增強。提到選擇好的題目，一位老師碰到了這么一件事，一家三口去吃飯，當(dāng)時點了一些飯菜，價錢分別是42元、56元，19元、33元、25元，9元，當(dāng)時就大致地估了估，大約不夠200元。服務(wù)員收費時卻報出了226元。這顯然是錯誤的。經(jīng)查證服務(wù)員將42記了兩次，正好多收了42元。由于有了估算的意識才避免了服務(wù)員的錯收費。這就是估算的應(yīng)用啊！
在我們的生活當(dāng)中需要估算的地方確實很多，那么能夠設(shè)計一個這樣體現(xiàn)估算價值的情境，讓學(xué)生在解決問題中，去體會估算的必要性。久而久之，學(xué)生估算的意識就會不斷加強。
③要鼓勵學(xué)生，利用估算來驗證計算結(jié)果，來養(yǎng)成好的習(xí)慣
比如現(xiàn)在學(xué)生用計算器計算，再比如學(xué)生的精確筆算，那么結(jié)果對不對呢，特別是積的位數(shù)、商的位數(shù)，準確不準確呢，可以先用估算的方法，來確定一下它大致的取值范圍，這樣就幫助學(xué)生來驗證計算的結(jié)果。估算意識的培養(yǎng)，應(yīng)該從點點滴滴做起，使學(xué)生逐步地養(yǎng)成一種習(xí)慣，形成這種良好的習(xí)慣以后，他會自覺地進行估算。
有這樣一個例子，8241÷41，學(xué)生算的結(jié)果商是21，他馬上發(fā)現(xiàn)8000多除以40多，商不可能是兩位數(shù)，肯定是算錯了，他就去進一步檢查哪里發(fā)生錯誤?？梢钥闯稣驗樗幸粋€好的估算習(xí)慣，才能夠及時糾正自己的錯誤。還有一個例子，231加上416，有位學(xué)生得500，當(dāng)時同桌給他看的時候，說你這肯定不對，一個200多加一個400多，肯定得600多，怎么它也不能得500多?？梢姡尯⒆痈杏X到估算的必要性，并養(yǎng)成好的估算習(xí)慣，是很有必要的。學(xué)生通過不斷地體會估算給他帶來的幫助和好處，從而不斷地提升他們估算的意識。
④要引導(dǎo)學(xué)生在問題情境的對比中，選擇估算或精確計算，不斷地積累這方面的經(jīng)驗
作為數(shù)學(xué)教師，我們要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問題情境當(dāng)中讓學(xué)生去感受，哪些問題解決需要近似值，就是需要估算，哪些問題解決一定要算出精確值，比如像剛才我說的那個題，“全家吃飯”的例子就是估算，大約是200元，這就是估算。當(dāng)然沒有必要精確地計算了，在這種情況下，我們就選擇用估算，而不選擇用精確計算。但作為飯店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。
估算教學(xué)，是一個新的內(nèi)容，我們沒有積累更多的經(jīng)驗。雖然生活中的例子不少，甚至估算比精算用的還多，可是真正好的例子，能夠搬到課堂上來用的，并不很多。特別是適合兒童的、貼近兒童的現(xiàn)實生活的例子就顯得有些不足。為學(xué)生創(chuàng)設(shè)好情境，提出好問題需要我們不斷地去積累鮮活的例子，這正是給老師們提出了一個新的挑戰(zhàn)。
2．形成估算策略
首先，我們結(jié)合北京市石景山區(qū)古二小王靜燕老師的課例來談學(xué)生估算策略培養(yǎng)。
【案例1】估算教學(xué)片段
片段一：創(chuàng)設(shè)情境，感受估算價值。
1）老師在海報上看中了幾樣商品，準備去超市購買，請同學(xué)們幫我想一想：帶100元錢夠不夠？
保溫杯：9.80元
巧克力：23.60元
牛奶：16.60元
清潔劑：9.70元
面粉：14.00元
餅干：25.20元
2）學(xué)生用湊整的方法進行估算。（學(xué)生回答略）
3）收銀員怎樣來計算這些商品的總價錢的？
學(xué)生回答：輸機。
教師追問：能不能像前邊同學(xué)那樣對于某件商品只取一個與它近似的整數(shù)進行輸機呢？（不能）現(xiàn)在我們就來進行一下收銀員的工作，精確地這些商品到底價值多少錢？
9.80+23.60+16.60+9.70+14.00+25.20=98. 90（元）
4）請大家思考：顧客和收銀員同是計算這些商品的總價錢，那么在具體做法上有什么不同？
5）生活中有很多問題都是用估算的方法來解決的，回想一下我們的生活，在哪些時候用到過估算。
6）小組討論之后反饋。
片段二：展現(xiàn)不同的估算方法。
1）看來大家對于估算有一定的經(jīng)驗，下面我們就來試一試：
這是我們古城二小五年級六個班的人數(shù)統(tǒng)計：
你能估算出五年級大約一共有多少名學(xué)生嗎？
2）反饋
生1：把這六個數(shù)都看成30，30×6=180（人），我估算的結(jié)果大約是180人。
生2：把這六個數(shù)都看成40，40×6=240（人）。
生3：我把37、35、38和36看成40，把33和32看成30，40×4＋30×2=220人。
生4：這六個數(shù)都在35上下，如果把這六個數(shù)平均一下大約就在35，所以可以把35看作中間數(shù)，35×6=210（人）
3）教師評價：同學(xué)們的估算方法都有一定的道理。老師在同學(xué)們估算的同時悄悄的算出了精確結(jié)果，你們想不想看一看？
4）公布年級實際的總?cè)藬?shù)：211人，看到這個結(jié)果你們有什么新的想法？
5）學(xué)生開始結(jié)合精確結(jié)果和自己的估算結(jié)果進行比較
生1：我都看成30，所以就估少了，用中間數(shù)的方法最接近。
生2：都看成40，就估高了，要比240少。
生3：都看成30，每個數(shù)都少了，所以就比實際結(jié)果少；都看成40，每個數(shù)都多了，所以就比實際結(jié)果多，所以結(jié)果在這兩個數(shù)之間。
這個課例中，王老師給孩子出示的問題情境很巧妙，使學(xué)生產(chǎn)生了估算需要。更為可貴的是，教師能在課堂教學(xué)過程當(dāng)中，追問學(xué)生：生活當(dāng)中還哪兒用到估算，這個就是對學(xué)生這種估算意識的一種培養(yǎng)，久而久之學(xué)生這種估算意識就會慢慢地形成了。
這節(jié)課的后半段也是非常精彩，學(xué)生用了那么多種不同的策略來進行估算，可謂是精彩紛呈。特別是老師又拋出了一個精確值，讓孩子用自己估算的結(jié)果和這個精確值去比較，然后又把這個問題再放下去，讓孩子又有了二次的交流和反思。
下面就估算策略問題，提出一些建議。
⑴鼓勵學(xué)生解釋估算的思路和理由
鼓勵每個學(xué)生盡可能地能夠表述自己的思路和理由，適當(dāng)?shù)毓膭顚W(xué)生總結(jié)估算的策略，因為這確實是一個經(jīng)驗的積累過程，要善于總結(jié)，靈活地使用，凡是合理的估算策略，我們應(yīng)當(dāng)給予肯定。經(jīng)驗積累是重要的，有時候不是老師講會的，需要學(xué)生自己不斷地反思和調(diào)整原有的認識。
⑵教師要積極地引導(dǎo)學(xué)生在對估算和精確計算結(jié)果的比較當(dāng)中，讓學(xué)生學(xué)會傾聽、反思，加強體驗，積累經(jīng)驗，不斷地提高估算的能力
以上面估算這節(jié)課為例，一般老師看到了學(xué)生用多樣的方法、策略，來進行估算，往往就滿足了，一般情況下在這兒就要收尾了。多樣化也體現(xiàn)出來了，策略的變化也體現(xiàn)出來了。而王老師此時卻提了一個很有價值的問題：“在你們估算時，老師已經(jīng)悄悄地把準確的結(jié)果計算出來了?？吹竭@個準確結(jié)果，你們有什么想法？”這樣又一次引起了同學(xué)們熱烈地討論，當(dāng)學(xué)生把自己的估算結(jié)果和精確值進行比較的時候，同時也和其他同學(xué)的估算結(jié)果進行比較的時候，就發(fā)現(xiàn)了精確結(jié)果的大致范圍。學(xué)生進行二次反思，對不斷提高判斷能力、選擇能力和估算能力，是有重要的幫助。
⑶教師可以適當(dāng)?shù)诳偨Y(jié)具體的估算的策略
估算策略主要有：
① 湊整的方法。如湊成一個整十整百的數(shù)。
② 取一個中間數(shù)。比如32 37 30 39這四個數(shù)求和，這些數(shù)都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間數(shù)35，直接用35×4，就大約地計算出這幾個數(shù)相加的結(jié)果。
③ 利用特殊的數(shù)據(jù)特點進行估數(shù)。如126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。
④ 尋找區(qū)間。也就是說叫尋找它的范圍，也叫做去尾進一，“去尾”就是只看首位，那么只看首位的時候，估得的結(jié)果就是它至少是多少，“進一”就是首位加一，假如說278，我們就看成了300，首位加一，這樣就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是尋找它的區(qū)間范圍。
⑤ 兩個數(shù)，一個數(shù)往大了估，一個數(shù)往小了估，或者一個數(shù)估一個數(shù)不估。
⑥ 先估后調(diào)。
學(xué)生根據(jù)不同的情況，采取不同估計的策略，這是對學(xué)生估算能力的一種很好地培養(yǎng)過程。在這里我們只是提了六種具體的策略，其實還有很多，一線的老師們有很多豐富的經(jīng)驗，希望你們不斷地完善估算策略，并且在適當(dāng)時候幫助學(xué)生進行總結(jié)。
三、估算的評價
關(guān)于估算評價，可以把估算分為兩種情況：一種是根據(jù)實際問題來估算，一種是脫離實際問題的情境——純算式的估算。
1．根據(jù)實際問題的需要，選擇合理的估算策略
學(xué)生只要能夠解決實際問題，那這個估算就應(yīng)該是合理的，這是針對著解決實際問題來說的。只要你估算的結(jié)果，和實際要求解決問題的結(jié)果是一致的，就應(yīng)當(dāng)算正確。
2．純試題的估算，只要結(jié)果落在合理的區(qū)間內(nèi)，就可以認為是正確的
有一些題目，脫離了實際問題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，不能簡單地把估算結(jié)果是否與精確值最接近作為唯一的標準，只要能夠落在區(qū)間內(nèi)，就視為是合理的。
同時不同年齡的學(xué)生，要有不同的評價標準。如低年級學(xué)生剛剛接觸估算，它的估算結(jié)果落在區(qū)間內(nèi)，但是范圍比較大，我們覺得也可以。高年級的學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算經(jīng)驗，就要引導(dǎo)他不斷地進行再反思，再調(diào)整，把估算的結(jié)果能落在更趨于合理的位置上。舉個例子來說：78×365積大約是多少，剛開始學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生可能這樣估70×300，或者80×300，或者80×400，這樣我們都可以視為是合理的。有了一定的計算技能以后，老師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地進行反思，還可以估成80×350。
3．注重對估算結(jié)果數(shù)量級中的把握
數(shù)量級也就是十、百、千，萬……，換句話說就可以用10的n次方表示。如TIMSS測試題很有意思，史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大約是多少升？”讓學(xué)生從下面選項中選擇答案。
A.30000 B.240000 C.300000 D.2400000 E.3000000
這考查了學(xué)生對數(shù)量級的把握。
關(guān)于評價問題，我們認為學(xué)生們估算的策略不同，只要是合理的，就應(yīng)當(dāng)鼓勵他們大膽地嘗試，鼓勵他們積極解釋自己的觀點，交流自己的看法。在這個過程當(dāng)中，肯定會有很多有價值的東西會在課堂中涌現(xiàn)出來，老師要小心翼翼地去呵護住學(xué)生們的這份探究精神，不要輕易地用一兩句話就否定一種方法。教師不要急于給予評判，給孩子一種寬松的氛圍，讓孩子不斷地學(xué)會調(diào)整，不斷地學(xué)會反思，提升孩子這種判斷的能力。教師要不斷地站在學(xué)生的角度去思考、去挖掘這些方法的思維價值。不斷地培養(yǎng)孩子的估算意識，利用這種近似的意識來發(fā)展孩子的數(shù)學(xué)思維。
另外，從命題的角度，能不能讓題目更適合學(xué)生用估算的方法來解答。希望老師們能夠嘗試著出一些好題目，提出一些好問題，有利于學(xué)生估算意識的培養(yǎng)，有利于學(xué)生估算策略的選擇，不斷地提升學(xué)生的估算的能力。比如說在估算的題目當(dāng)中，鼓勵學(xué)生進行二次的調(diào)整、選擇，這些策略都可以在和學(xué)生的交流和嘗試中不斷地讓學(xué)生去積累經(jīng)驗。關(guān)于如何去評價估算的結(jié)果問題，需要我們不斷探索和研究的問題。
二、科學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的運算技能
1．算理和具體計算方法的關(guān)系
一些教師認為，計算教學(xué)沒有什么道理可講，學(xué)生只要把法則牢記于心，反復(fù)“演練”就可以達到正確、熟練的要求。我們不能想像一個連基本的計算原理和方法都模糊不清的學(xué)生能夠靈活、簡便地進行計算，會具有較強的計算能力；
一些教師認為，算理非常重要，在計算過程中讓學(xué)生會說一整套的程序化的語言，以表明學(xué)生對算理的理解，這種任意拔苗助長的做法也是不可取的。因為這樣做不符合孩子的認知規(guī)律，也不可能讓小學(xué)生一下子說那么多？說那么多，他就是真的理解嗎？
學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)過的定律有加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律和分配律五個運算定律。實際上從小學(xué)階段到中學(xué)，一直到實數(shù)范圍它是通行無阻的。從理論上講只有運用了運算定律，才能保證某些計算結(jié)果的嚴密性。以前我們只把運算定律用到簡算上，其實運算律不僅僅在此，更重要的是它能夠保證整個計算的正確性，取得唯一的結(jié)果。
⑴ 整數(shù)加法的算理
324+324=648，它的算理是什么呢？
324+324
=（300+20+4）+（300+20+4）
=（300+300）+（20+20）+（4+4）
=600+40+8
=648
在這里既運用了交換律、結(jié)合律，還利用了整數(shù)十進制計數(shù)法，最后算出來和是648。運用運算定律能夠保證計算結(jié)果的唯一性，這就是算理。而運算法則是人們進行計算的一個基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。運算法則，來自于算理；學(xué)生在做計算的時候是基于運算法則的，法則通常又要滿足運算律，這就是我們平時講課時應(yīng)做到明確算理，掌握法則。
當(dāng)學(xué)生沒有學(xué)習(xí)交換律和結(jié)合律時，怎樣能夠保證計算結(jié)果正確呢？老師根據(jù)學(xué)生的實際，用操作和教具演示等方法。如學(xué)生在做加法時，大塊和大塊的放在一起，小塊和小塊的放在一起，單根和單根放一起，很直觀，實際上就是把算理具體化和形象化的過程。
⑵小數(shù)乘法的算理
“0.3× 0.2”的算理是什么？有一部分老師認為就是把0.3和 0.2同時擴大10倍，積是6，然后再把6縮小100倍，最后結(jié)果是0.06。誤把這樣一個計算的過程當(dāng)作了算理。
我們是這樣理解0.3× 0.2算理的：
0.3× 0.2
=（3 × 0.1）×（2 × 0.1）
=（3 × 2）×（ 0.1 × 0.1）
= 6× 0.01
= 0.06
計算中根據(jù)小數(shù)的意義，并利用乘法的交換律與結(jié)合律，保證了計算結(jié)果的正確性。
算理是四則運算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、運算定律、運算性質(zhì)等構(gòu)成的；具體的計算方法（主要指計算法則）是四則運算的基本程序和方法。運算是基于法則進行的，而法則又要滿足運算定律。所以，算理為法則提供理論依據(jù)，法則又使算理具體化。
現(xiàn)在計算教學(xué)淡化了程式化地敘述算理和計算法則，重在讓學(xué)生經(jīng)歷計算方法的獲得過程，重在展示計算方法的形成過程，重在暴露學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生真正理解算理，掌握具體的計算方法，形成計算技能。在教學(xué)中，既要使學(xué)生知道怎么算，又要知道為什么這樣算。學(xué)生明確了算理和具體的方法，才能靈活、簡便地進行計算，才可能產(chǎn)生多樣的算法。
⑶關(guān)于0.3× 0.2這個案例的討論
具體到0.3×0.2，孩子們做了各種推理，上面的這些方法都是把算理和法則融合在一起，有很高的思考價值。
畫圖的解法運用了數(shù)形結(jié)合的思想，也就是在一個邊長為1米的正方形中，長0.3米是3小格，寬0.2米是2個小格，畫出來以后就是在一百格里面有6個，所以是0.06。這種方法非常直觀，通過陰影部分與整個圖的關(guān)系得出陰影占百分之六，百分之六就是0.06。這說明學(xué)生能夠借助前面的經(jīng)驗來解決問題的，而且學(xué)生的形象思維比較豐富。在具體直觀的圖中，學(xué)生理解了算理。
其余幾個孩子的想法，他們都有邏輯推理的過程：像 0.3乘0.2，他只把0.2擴大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再縮小10倍，就是0.06，他是在原有舊知識——0.3乘2已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上，探究0.3乘0.2的，最后得出結(jié)果是0.06。
學(xué)生的這些方法都是很可貴的，具有思維價值，值得教師很好地挖掘。這些做法已經(jīng)把算理和具體的計算方法有機地融合在一起了，不必單獨拿出來給學(xué)生講算理。作為教師，在課堂上，應(yīng)該好好地保護學(xué)生這種可貴的創(chuàng)造精神。
在案例的探索過程中，有的老師不禁要問：“要不要在這兒花那么多工夫？”回答是肯定的。在新的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中，如小數(shù)乘小數(shù)學(xué)生第一次接觸，一定要幫助學(xué)生在解決問題過程中，理解計算的道理，包括利用直觀圖、老師對學(xué)生的分析講解等；讓學(xué)生在理解的過程中，掌握具體的計算方法。
小數(shù)乘法學(xué)生沒學(xué)過，但他們可以用直觀、邏輯推理的方法來解決，這些方法都是用舊知推出新知，最后大家得出計算方法：小數(shù)乘小數(shù)的法則是先把整數(shù)相乘，然后，看它因數(shù)的小數(shù)位共有多少位，再從右邊起，點出幾位小數(shù)，這就是具體的計算方法。
我們再來看一節(jié)兩位數(shù)乘一位數(shù)豎式計算的案例，執(zhí)教者是杭州的特級教師丁杭纓老師。
【案例2】教師如何幫助學(xué)生理解算理
片斷：
在具體情境中，提出問題，學(xué)生列出乘法算式21X3。教師在引導(dǎo)學(xué)生探索方法中理解算理。
師：21乘以3到底等于多少呢？你能不能用以前學(xué)過的方法來解決這個問題呢？請你打開草稿本，把21乘以3等于多少，你是怎么算的，寫在草稿本上。
生獨立探索（略）
師：誰來解釋一下，他是怎么想的？
⑴20 ×3=60 ⑵ 2 1
1×3 =3 × 3
60+3= 63 6 3
生1：他是先把21分成兩份，一份是20，一份是1，然后用3乘20等于60，還有3乘1等于3，3加60等于63。
師：對，用了昨天我們學(xué)習(xí)的方法來算今天的知識，把21分成兩個部分，剛才這個小朋友已經(jīng)說的，分成20和1，很好，然后再來看哪個小朋友的？
生2：我想先看那個小朋友的豎式寫法。
師：好，我們一起來看這個，這正是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的重點，用豎式來計算乘法，看明白了嗎？
生3：看明白了。
師：我還不明白，我請這個小朋友上來，跟大家說，你這個3是怎么來的，6是怎么來的？
生4：這個1乘3等于3，乘法里面還另有乘法，2這里沒有，乘法就不一樣的，2再斜過來，2乘3等于6，就算出來是63。
師：你們聽明白了嗎？
生：聽明白了。
師：你們都聽明白了。什么叫2斜過來了，斜過來的意思是什么，你來說，就是十位上沒有，把2乘以3，剛才他是用3去乘個位上的1，十位上有沒有跟3相乘，所以他就告訴大家，要斜過來，別忘了2再乘以3，是這個意思嗎？
師：這個3表示什么意思，我要把這個3用紅色的圈出來，3表示什么意思？
生5：表示3個1，
師：所以這個3要寫到個位上，6表示什么意思？
生6：6個10，
師： 6個10是怎么來的？
生7：因為那個2是20，不是2，十位上的2乘3是6個10。
師： 6是20乘3得到的，所以它表示的是6個10，因此6就應(yīng)該寫在十位上。謝謝你給我們一個豎式，本來是我要教的，結(jié)果你一寫上來，就變成你教大家了，看明白了嗎？
師：那我們來看這個豎式，他這個豎式是很有創(chuàng)意的，我們來看看你為什么這樣寫？
生8：把這個約等于60，在這里3乘1等于3，3再加60等于63。
師：這是很有創(chuàng)意的一個豎式，我們給他命名為“曾氏豎式”，他說的第一步是大約的，20幾乘3，等于60幾，等于60幾呢，然后他再乘個位上的等于3，最后再加上前面的60，結(jié)果等于63。道理還是有一點的，對不對？我覺得這個曾同學(xué)還是很不錯的，老師沒教過他，他自己發(fā)明了一個豎式，就是發(fā)明的這個豎式，和我們現(xiàn)在規(guī)定的豎式不大一樣，我建議你用這樣的豎式來計算，可以嗎？
師：我就把你有創(chuàng)意的豎式，很不忍心地擦掉了，同學(xué)們我們今天學(xué)的乘法的豎式，是我們今天學(xué)的重點，但是我們在解決這個問題的時候，我們還可以用昨天學(xué)的知識，那就證明昨天的知識和今天學(xué)的知識肯定是有聯(lián)系的，對不對？有怎么樣的聯(lián)系，我們來找找它們之間的聯(lián)系好不好？
師：我點一個豎式中的數(shù)，你告訴我他相當(dāng)于橫式中哪一步呀，你把它圈出來吧。
師：那么誰愿意上來點點看，在這個圖中是指哪一部分呢？
師：看來它們之間有著密切的聯(lián)系，我們把同學(xué)們的回答總結(jié)一下。
 60＋3=63（學(xué)生在把豎式中的結(jié)果與圖聯(lián)系時的確有困難）
師：你上來指指看是指哪一部分，在圖中是指哪一部分？剛才這一個小朋友指的是這一部分3乘1，那么現(xiàn)在2乘3十位上的2乘3是指哪一部分呢，圈一圈哪一部分？
師：你看豎式中的每一步和我們剛才口算當(dāng)中的每一步，還有跟我們的圖形它都是有聯(lián)系的，我們一起來看大屏幕，老師為了把剛才我們點的把它寫上來，你看三個羽毛球相當(dāng)于口算中的1乘3，相當(dāng)于豎式中的個位上的1和3相乘；再請你看我們第二次的時候，我們是這樣子的來說的，接下去這根線應(yīng)該連到哪里去呢，6，好，腦子里都聯(lián)清楚了，原來這三者之間是有聯(lián)系的。
好！同學(xué)們，剛才我們通過這樣的計算得到最后的結(jié)論是，21乘以3等于63個……
剛才丁杭纓老師這個教學(xué)的片斷給我們最大的啟發(fā)有兩點：
①老師給足學(xué)生探索的時間和空間。
過去教師往往是把把豎式呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生模仿，只要計算正確，就算完成教學(xué)任務(wù)。這種只關(guān)注學(xué)習(xí)結(jié)果，忽視計算過程的教學(xué)就失去了學(xué)生獨立思考探究的機會。丁老師在課堂上鼓勵學(xué)生，讓他們用自己的方法來解決問題，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。我們看到課堂上有的同學(xué)列出橫式進行口算的，20×3=60
1×3=3
60＋3=63
21乘3，先用20乘3得60，再用1乘3得3，最后把這兩個結(jié)果加到一起得到63。還有的同學(xué)用豎式來計算，
 這位被老師稱為很有創(chuàng)造性的算法，算式里將估算和運算相結(jié)合，老師給了學(xué)生一個交流的平臺，并熱情地給予鼓勵。正是因為學(xué)生給學(xué)生一個寬松的、自主嘗試的機會，才讓學(xué)生對算理與計算方法有了這樣一種體驗和感悟。由此使我們想到計算教學(xué)的價值決不僅僅是只會計算就行了，而是在計算過程中激發(fā)學(xué)生積極主動地探索，使學(xué)生的創(chuàng)造潛力得以發(fā)揮。在課堂上，我們還看到老師收和放都比較自如，恰到好處地在學(xué)習(xí)探索中給予引領(lǐng)。在這點上也給我們較大的啟發(fā)。
②在直觀教學(xué)中理解算理。
面對學(xué)生各種各樣的算法，教師精心地設(shè)問，引發(fā)了學(xué)生更深層面的思考。在橫式、豎式的比較中，溝通了它們的聯(lián)系，特別是在算式與直觀圖形的比較中，深刻地理解了算理。如老師提問計算結(jié)果的“60”、“3”各表示什么意思，在圖中你能夠找到它嗎？教師幫助學(xué)生在口算、豎式和直觀圖建立它們之間的聯(lián)系，巧妙將算式和實物相結(jié)合。學(xué)生在聯(lián)系中理解了21×3的算理。教師把抽象的算理具體化、形象化。站位高，有想法。
但是，也有一點遺憾，就是當(dāng)那個學(xué)生寫出的算式和規(guī)定的算式不一樣時，老師肯定他的算式很有創(chuàng)意，可是老師最后還是不忍心地將這個算式擦掉了，這真是有點遺憾。因為把孩子們富有創(chuàng)造力的想法展示在黑板上對學(xué)生是具有激勵作用的。其實把這個算式留在黑板上，讓孩子進行比較，在比較中進行思考，通過思考加深對乘法的認識。
這個片斷用時比較長，但重視學(xué)習(xí)過程是非常值得的，它遠比直接告訴學(xué)生具體的計算方法要厚重得多。雖然占用了一些時間，但這個過程是非常重要的。教師舍得給學(xué)生時間，讓學(xué)生在這樣的一個時空里得到很好地交流，他們的創(chuàng)造思維得到了充分地展示。學(xué)生在這樣的課堂里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力會不斷提升，他們能夠掌握更多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，而師生的交流促進了學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展。。
作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要不斷地學(xué)習(xí)和深刻地領(lǐng)悟運算中的算理；另外要在算理與具體的教學(xué)方法有機結(jié)合方面進行很好地探索；使學(xué)生能夠在直觀的、數(shù)形結(jié)合的實踐操作活動中，進一步深刻地感悟數(shù)學(xué)計算的道理，很好地掌握計算的方法。
2.如何面對學(xué)生的錯誤
談到科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生計算技能的問題，我們不能回避如何面對學(xué)生的錯誤。如何處理學(xué)生出現(xiàn)的錯誤是提高計算能力的一個重要的方面。前面我們討論了學(xué)生在計算中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，現(xiàn)在針對如何避免學(xué)生計算的錯誤提出幾點建議：
（1）要深入了解學(xué)生計算的現(xiàn)狀，準確分析錯誤的原因
作為老師，只有真正地了解了學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因，準確地分析出學(xué)生錯誤的原因，才能有的放矢對學(xué)生進行有效地指導(dǎo)。我們在分析學(xué)生錯因的時候，有的老師歸結(jié)到是學(xué)生的馬虎——審題不認真，計算不認真。那么在這馬虎的背后是不是要細細地思考學(xué)生到底為什么出錯呢？我們對學(xué)生的錯題做了調(diào)研，下面把學(xué)生的錯誤原因和老師們進行交流。
以“25×3=75”為例，學(xué)生怎么會得95呢？表面上是操作程序的錯誤，實際上是算理不清楚。我們在與學(xué)生交流時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生做錯的原因是3乘5等于15向十位上進1，把2先加上進來1得3再乘3，結(jié)果得95。學(xué)生的問題是對乘法的算理的不理解，因此導(dǎo)致了計算方法的錯誤。老師只有深入了解學(xué)生，找準錯誤的原因，針對學(xué)生的問題進行指導(dǎo)，這樣才會有實效。
以“1.44÷1.8 = 8”為例，這道題錯誤的原因又是什么呢？在與學(xué)生交流時發(fā)現(xiàn)：學(xué)生不管被除數(shù)和除數(shù)小數(shù)位數(shù)各有多少位，都給化成整數(shù)了，所以1.44除以1.8就得8”。實際上這個學(xué)生還是對小數(shù)除法的算理不太清楚，必然導(dǎo)致該錯誤的出現(xiàn)。
以“49+1-49+1=0”為例，學(xué)生為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤呢？混合運算的順序?qū)W生是清楚，為什么有近50%的孩子會出錯呢？學(xué)生對于形式上相似而實質(zhì)不同的算式分辨不清，這就需要學(xué)生具有細致辨別的能力。
我們做過調(diào)研，學(xué)生單獨做這樣的題，錯誤率沒這么高，而和其他的題目混在一起計算的時候錯誤率很高，說明學(xué)生定勢思維的干擾。
怎樣處理學(xué)生的錯誤呢？當(dāng)學(xué)生出錯時，不妨讓學(xué)生自己改一改題目，把兩個加號都改成乘號，49×1-49×1，這才得0呢！讓學(xué)生自己改題，這種針對性的訓(xùn)練是非常必要的！抓住學(xué)生的錯誤不放往縱深發(fā)展，讓他自己反省。只有準確地把握住學(xué)生錯誤的原因，才能對癥下藥。
（2）幫助學(xué)生自己反思錯誤的原因
教師不僅要了解學(xué)生錯誤的原因，而且一定要幫助學(xué)生自己反思錯誤的原因。比如有一位學(xué)生一直把“三八二十四”的口訣誤記成了“三八二十六”，教師就要引導(dǎo)他自己發(fā)現(xiàn)錯誤的原因。當(dāng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)真正錯誤原因后，學(xué)生恍然大悟，“我怎么一下子把錯誤的口訣記了這么長的時間呢？”；另外老師們提到的除數(shù)是小數(shù)的除法，把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)計算，學(xué)生干脆把討厭的小數(shù)點全部劃掉，就是144除以18，像這樣的學(xué)生，教師一定要把他找來，讓他自己反思，幫助他找原因，老師一定要給予學(xué)生具體地指導(dǎo)，而一對一地對學(xué)生進行指導(dǎo)是非常重要的。
（3）選擇合適的訓(xùn)練方法，幫助學(xué)生減少錯誤
第三個建議就是選擇合適的訓(xùn)練方法，而訓(xùn)練素材就顯得十分重要。前面我們也看到了張?zhí)煨⒗蠋熀屠钭婀蠋煹慕虒W(xué)經(jīng)驗，他們不是海練、不是盲目地練，不是用題海戰(zhàn)術(shù)來提高學(xué)生計算的正確率。我們應(yīng)該科學(xué)地進行訓(xùn)練，哪些題該訓(xùn)練，哪些題一定要在課堂上呈現(xiàn)或者需要反復(fù)地練習(xí)，教師一定要做到心中有數(shù)。根據(jù)學(xué)生的錯誤設(shè)計練習(xí)，進行有針對性地練習(xí)。這種做法對學(xué)生計算水平的提高是非常有效的。
3.科學(xué)培養(yǎng)學(xué)生運算技能的建議
為促進學(xué)生形成運算技能，加強練習(xí)是十分必要的，練習(xí)時要注意科學(xué)性，講求實效。一線教師在這方面有很多經(jīng)驗，到底如何科學(xué)地培養(yǎng)學(xué)生的計算能力呢？
（1）首先應(yīng)當(dāng)以《標準》為依據(jù)，逐步達到《標準》中所規(guī)定的計算要求
課程標準對計算基本的要求如下：
——20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法口算，速度要求是每分鐘8至于10題；
——三位數(shù)以內(nèi)的加減法每分鐘2至3題；
——兩位數(shù)乘兩位數(shù)每分鐘1至于2題；
——除數(shù)是一位數(shù)被除數(shù)不超過三位數(shù)的除法每分鐘1至2題。
（2）處理好展開和壓縮的關(guān)系
計算教學(xué)中要處理好一個關(guān)系——展開和壓縮的關(guān)系。剛開始學(xué)習(xí)做題時，應(yīng)該一步一個腳印來展開，先怎么做，再怎么做，最后怎么做，這些步驟學(xué)生一定要明白。如兩位數(shù)加兩位數(shù)筆算加法：先把相同數(shù)位對齊，從個位加起，滿十向十位進一；而且這個步驟要一步一步來，等到熟練以后這個過程就可以壓縮了，壓縮到學(xué)生不加思索就能做出來。比如說10以內(nèi)的退位減法，有的老師用破10的方法，15-7=8，先用10-7=3，再用3+5=8。讓學(xué)生在動手操作的基礎(chǔ)上掌握計算方法，以后學(xué)生完全壓縮到自己都不能意識的程度，15-7=8很快就得出結(jié)果，這就是基本的計算技能訓(xùn)練到位的表現(xiàn)。
（3）精心組織練習(xí)
練習(xí)的呈現(xiàn)方式要多種多樣，而且要符合學(xué)生的認知特點，激發(fā)學(xué)生的興趣。這就需要教師精心地準備練習(xí)。
在學(xué)習(xí)除法時，老師設(shè)計了這樣的練習(xí)：
⑴363÷3 549÷9 48÷4 54÷6 185÷5
讓學(xué)生體會商是幾位數(shù)？這是基本的練習(xí)題
⑵（ ）÷6=商是兩位數(shù)
這個題目比較開放，體現(xiàn)了思維的靈活性和逆向思維。
⑶寫出三個商是8的算式
這個題目更開放，被除數(shù)、除數(shù)都沒有確定，因為讓學(xué)生寫3個，學(xué)生沒有有序思考的意識。
⑷你能盡可能多的寫出商是8的算式嗎？（強調(diào)有序）
這道題的設(shè)計會和探索規(guī)律緊密結(jié)合；學(xué)生能夠在書寫的過程中，逐步找出規(guī)律，從而在總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上得出更普遍的結(jié)論，又體現(xiàn)了方法性知識——有序思考的滲透。
志品質(zhì)等層面。這樣的練習(xí)就做到了有層次、有針對性，而且有效。
對于新學(xué)習(xí)的內(nèi)容要及時練，及時反饋，因為遺忘是先快后慢的；對于舊知識不是不理不睬，在學(xué)習(xí)新的技能時要把學(xué)過的計算技能納入進去；老師在選擇練習(xí)時，要把那些容易錯的、易混的、具有強信息干擾的、思維定勢的題目多練。如：24×5和25×4、15×6和16×5學(xué)生特別容易混，就要對比練；而對于12×2、13×3這樣沒有進位的題目，就少練。
（3）注意練習(xí)的及時反饋，有效地進行調(diào)控和指導(dǎo)
加強對學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生的輔導(dǎo)。正確認識學(xué)生個體的差異，因材施練，關(guān)注每個學(xué)生的學(xué)習(xí)，注意了解分析錯因，有針對性進行輔導(dǎo)。
（4）合理地安排練習(xí)時間
根據(jù)計算形成的各階段的特點，應(yīng)適當(dāng)?shù)胤峙渚毩?xí)的次數(shù)和時間，技能的形成和鞏固需要有足夠的練習(xí)次數(shù)和時間，但是并非練習(xí)的次數(shù)越多，時間越長，練習(xí)的效果就越好。作為教師不能一味的“傻練”，認為“多多益善”的想法是不科學(xué)的。
以上，我們?yōu)榇蠹覓伋隽艘恍┌咐崃艘恍┧伎紗栴}，也布置了作業(yè)。但時間比較緊張，要完成所有作業(yè)不大可能，希望老師們能針對某一個在教學(xué)中感受最深的問題認真思考。
三、有關(guān)算法多樣化的教學(xué)
1.算法多樣化的價值
算法多樣化的價值主要體現(xiàn)在一下方面：
第一，算法多樣化有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，有利于學(xué)生的自我建構(gòu)，使他們的潛能得到充分地發(fā)展；
第二，算法多樣化有利于學(xué)生之間的交流，使學(xué)習(xí)資源能夠共享；
第三，算法多樣化有利于老師對學(xué)生的個性地了解，從而施行因材施教。
      看完這個案例，對我們有幾點啟發(fā)。
（1）創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生獨立思考的空間
學(xué)生的這些想法體現(xiàn)了學(xué)生思維的靈活性，都是很有價值的，有直觀的方法，有轉(zhuǎn)化方法——除法轉(zhuǎn)化成乘法、分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，更值得一提的是學(xué)生看到分子是除數(shù)的倍數(shù)，就直接用分子除以除數(shù)，分母不變，體現(xiàn)了學(xué)生自我建構(gòu)知識的過程。
(2)激發(fā)學(xué)生不斷交流不斷反思自己的計算方法
老師并沒有滿足于學(xué)生多樣化的算法，又設(shè)計了這樣 ÷3；正是這個題目的呈現(xiàn)，使學(xué)生產(chǎn)生了沖突，學(xué)生感到自己的方法具有局限性，從而把學(xué)生的思維引向深入，學(xué)生認識問題的深刻性得以體現(xiàn)，選擇方法的能力更強，這正是吳老師提倡的“允許學(xué)生再次選擇有思維價值的方法”。在計算中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)4÷3覺得不方便了，0．8÷3也除不盡；學(xué)生覺得還是利用乘法比較方便，而且能夠解決這一類問題。學(xué)生在這一過程中進行廣泛的交流，在交流中相互碰撞、自我反思、自我修正，不斷地接納，提升了每種方法的價值，這正是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在。讓學(xué)生對原有方法的自我反思和自我修正的過程。
學(xué)生在二次反思后，在鞏固練習(xí)中，還有新的感悟和體驗。由此我們深刻感到學(xué)生的體驗和感悟是需要一個過程的。換句話說：學(xué)生能夠根據(jù)不同的題目，選擇合適的算法和策略，靈活地解決問題。
2.算法多樣化教學(xué)的建議
在實施算法多樣化的過程中，我們給老師提出以下幾點具體的教學(xué)建議：
第一，鼓勵學(xué)生的獨立思考，主動探索出計算的方法；
第二， 鼓勵學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上進行交流；
第三，老師要善于比較不同方法的特點，挖掘不同算法的思維價值；
第四，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生分析比較，在學(xué)生的質(zhì)疑、辨析中促進學(xué)生對自己方法的反思和提升；
另外，教師有責(zé)任用適當(dāng)?shù)男问?，向?qū)W生推薦一種比較好的算法，幫助學(xué)生進行再次選擇。
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