中考數(shù)學(xué)重難點專題講座

第十講 閱讀理解題專題

                                                  智康·劉豪

【前言】新課標以來中考題型越來越活，閱讀理解題出現(xiàn)在數(shù)學(xué)當中就是最大的一個亮點。不同以往的單純“給條件”to“求結(jié)果”式的題目，閱讀理解往往是先給一個材料，或介紹一個超綱的知識，或給出針對某一種題目的解法，然后再給條件出題。對于這種題來說，如果考生為求快速而完全無視閱讀材料而直接去做題的話，往往浪費大量時間也沒有思路，得不償失。所以如何讀懂題以及如何利用題就成為了關(guān)鍵，讓我們先看以下的例題。

【例1】2010，朝陽，一模

請閱讀下列材料

問題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=2， PB=， PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學(xué)的思路是：將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2）．連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．進而求出等邊△ABC的邊長為．問題得到解決．

請你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長．

【思路分析】首先仔細閱讀材料，問題中小明的做法總結(jié)起來就是通過旋轉(zhuǎn)固定的角度將已知條件放在同一個（組）圖形中進行研究。旋轉(zhuǎn)60度以后BP就成了BP`,PC成了P`A,借助等量關(guān)系BP`=PP`,于是△APP`就可以計算了.至于說為什么是60°,則完全是因為大圖形是等邊三角形,需要用60度去構(gòu)造另一個等邊三角形?？赐赀@個，再看所求的問題，幾乎是一個一模一樣的問題，只不過大圖形由三角形變成了正方形。那么根據(jù)題中所給的思路，很自然就會想到將△BPC旋轉(zhuǎn)90度看看行不行。旋轉(zhuǎn)90度之后，成功將PC挪了出來，于是很自然做AP`延長線，構(gòu)造出一個直角三角形來，于是問題得解。說實話如果完全不看材料，在正方形內(nèi)做輔助線，當成一道普通的線段角計算問題也是可以算的。但是借助材料中已經(jīng)給出的旋轉(zhuǎn)方法做這道題會非常簡單快捷。大家可以從本題中體會一下領(lǐng)會材料分析方法的重要性所在。

【解析】

（1）如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=．

連結(jié)P P′，

在Rt△BP′P中，

∵ BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴ P P′=2，∠BP′P=45°．    

在△AP′P中， AP′=1，P P′=2，AP=，

∵ ，即AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．

∴ △AP′P是直角三角形，即∠A P′ P=90°．

∴ ∠AP′B=135°．

∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．    … 

（2）過點B作BE⊥AP′ 交AP′ 的延長線于點E．

∴ ∠EP′ B=45°.∴ EP′=BE=1.∴ AE=2.

∴ 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．   

∴ ∠BPC=135°，正方形邊長為．

【例2】2010，大興，一模

若是關(guān)于的一元二次方程的兩個根，則方程的兩個根和系數(shù)有如下關(guān)系：.  我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理. 

如果設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點為.利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到A、B兩個交點間的距離為：

請你參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題:

設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點為，拋物線的頂點為，顯然為等腰三角形.

（1）當為等腰直角三角形時，求

（2）當為等邊三角形時，            .

（3）設(shè)拋物線與軸的兩個交點為、，頂點為，且,試問如何平移此拋物線，才能使？

【思路分析】本題也是較為常見的類型，即先給出一個定理或結(jié)論，然后利用它們?nèi)ソ鉀Q一些問題。題干中給出拋物線與X軸的兩交點之間的距離和表達式系數(shù)的關(guān)系,那么第一問要求取何值時△ABC為等腰直角三角形.于是我們可以想到直角三角形的性質(zhì)就是斜邊中線等于斜邊長的一半.斜邊中線就是頂點的縱坐標,而斜邊恰好就是兩交點的距離.于是將作為一個整體,列出方程求解.第二問也是一樣,把握等邊三角形底邊與中線的比例關(guān)系即可.第三問則可以直接利用第一問求得的值求出K,然后設(shè)出平移后的解析式,使其滿足第二問的結(jié)果即可.注意左右平移是不會改變度數(shù)的，只需上下即可。

【解析】．⑴ 解：當為等腰直角三角形時，過作，垂足為，

　　　　　　則 

　　　　　　∵拋物線與軸有兩個交點，∴，（不要忘記這一步的論證）

　　　　　　∴

　　　　　　∵

　　　　　　又∵， 

　　　　　　∵，

　　　　　　∴ 

　　　　　　∴（看成一個整體）

　　　　　　∴

　　　　　　∵．

　　　　　　∴… 

　　　　　　⑵當為等邊三角形時， 

　　　　　⑶∵，

　　　　　　∴．

　　　　　　即，

　　　　　　∴ 

　　　　　　因為向左或向右平移時，的度數(shù)不變，

　　　　　　所有只需要將拋物線向上或向下平移使，然后向左或向右平移任意個單位即可．

　　　　　　設(shè)向上或向下平移后的拋物線解析式為：，

　　　　　　∵平移后，∴，

　　　　　　∴．

　　　　　　∴拋物線向下平移個單位后，向左或向右平移任意個單位都能使的度數(shù)由變?yōu)?/span> 

【例3】2010，房山，一模

閱讀下列材料：

小明遇到一個問題：如圖1，正方形中，、、、分別是、、和邊上靠近、、、的等分點，連結(jié)、、、，形成四邊形．求四邊形與正方形的面積比（用含的代數(shù)式表示）．

小明的做法是：

先取，如圖2，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到個小正方形，所以四邊形與正方形的面積比是；

然后取，如圖3，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，得到個小正方形，所以四邊形與正方形的面積比是，即；

……

請你參考小明的做法，解決下列問題：

（1）在圖4中探究時四邊形與正方形的面積比（在圖4上畫圖并直接寫出結(jié)果）；

（2）圖5是矩形紙片剪去一個小矩形后的示意圖，請你將它剪成三塊后再拼成正方形（在圖5中畫出并指明拼接后的正方形）．

【思路分析】本題屬于典型的那種花10分鐘讀懂材料畫1分鐘就可以做出來題的類型。材料給出的方法相當精妙，考生只要認真看過去并且理解透這個思路，那么不光是這道題可以做，以后碰見類似的題目都可以用這種方法。材料中所給方法就是將周邊的四個三角形其中的兩個旋轉(zhuǎn)90°，將三角形放在矩形當中去討論面積。事實上無論是幾等分點，所構(gòu)造出來的四個小三角形△AMD，△ABN，△BPC，△CQD都是全等的，并且都是90度，那么他們旋轉(zhuǎn)以后所對應(yīng)的就是兩個矩形，如圖三中的BN`PC和CM`DQ。而矩形的面積恰好和中間正方形的面積有聯(lián)系（想想看，是怎樣用N等分點去證明面積比例的）于是順理成章當N等于4的時候，去構(gòu)造一個類似的網(wǎng)格，第一問就出來了。至于第二問和裁剪問題沾點邊，完全就是這個技巧方法的逆向思考，重點就在于找出這個多邊形是由哪幾部分構(gòu)成。于是按下圖，連接BC，截外接矩形為兩個全等的直角三角形，然后旋轉(zhuǎn)即可。說白了，這種帶網(wǎng)格的裁剪題，其實最關(guān)鍵的地方就在于網(wǎng)格全是平行線，利用平行線截線段的比例性質(zhì)去找尋答案。

【解析】

-               

四邊形與正方形的                 拼接后的正方形是正方形．

面積比是．   

【例4】2010，海淀，一模

閱讀：如圖1，在和中，, ,、、、 四點都在直線上，點與點重合.

連接、，我們可以借助于和的大小關(guān)系證明不等式：（）.

證明過程如下: 

∵

∴

∵,

∴.

即.

∴. 

∴.

解決下列問題：

（1）現(xiàn)將△沿直線向右平移，設(shè),且.如圖2,當時,             .利用此圖,仿照上述方法,證明不等式：（）.

（2）用四個與全等的直角三角形紙板進行拼接，也能夠借助圖形證明上述不等式.請你畫出一個示意圖，并簡要說明理由.

【思路分析】本題是均值不等式的一種幾何證明方法。材料中的思路就是利用兩個共底三角形的面積來構(gòu)建不等式，利用來證明。其中需要把握的幾個點就是（b-a）是什么，以及如何通過(b-a)來造出。首先看第一問說要平移△DEF，在平移過程中，DE的長度始終不變，EF垂直于M的關(guān)系也始終不變。那么此時（b-a）代表什么？自然就是BD和ED之和了。于是看出K值。接下來就是找那兩個可以共底的三角形，由于材料所給提示，我們自然想到用BD來做這個底，而高自然就是AB和EF。于是連接AD，△ABD和△BDF的面積就可以引出結(jié)果了。第二問答案不唯一，總之就是先調(diào)整出（b-a）可以用什么來表達，然后去找b和a分別和這個（b-a）的關(guān)系，然后用面積來表達出的式子就可以了，大家可以繼這個思路多想想。

【解析】（1） 

證明：連接、.

可得.

∴ ，

.  

∵ ，

∴ ，

即 .

∴ .    

∴ . 

（2） 

延長BA、FE交于點I.

     ∵ ，

∴ ，

即 .

∴ .

∴ . 

四個直角三角形的面積和，

大正方形的面積.

∵ ，

∴ .

∴ . 

【例5】2010，昌平，一模。

閱讀下列材料:

將圖1的平行四邊形用一定方法可分割成面積相等的八個四邊形，如圖2，再將圖2中的八個四邊形適當組合拼成兩個面積相等且不全等的平行四邊形.（要求：無縫隙且不重疊）

請你參考以上做法解決以下問題：

（1）將圖4的平行四邊形分割成面積相等的八個三角形；

（2）將圖5的平行四邊形用不同于（1）的分割方案，分割成面積相等的八個三角形，再將這八個三角形適當組合拼成兩個面積相等且不全等的平行四邊形，類比圖2，圖3，用數(shù)字1至8標明. 

【思路分析】這種拼接裁剪題目往往都是結(jié)合在閱讀理解題中考察，結(jié)合網(wǎng)格，對考生的發(fā)散思維要求較強。本題材料中將平行四邊形裁減成8份然后重新組成兩個平行四邊形。要保證平行就需要這些小四邊形的邊長都是平行且相等的。第一問是面積相等，那么直接利用中點這一個重要條件去做。第二問是分割為能重新組成平行四邊形的三角形，那么就要想如何利用三角形去構(gòu)建平行和相等的關(guān)系呢？于是可以想到平行四邊形的對角線所分的三角形恰好也就滿足這種條件。于是從平行四邊形的對角線出發(fā)，去拆分出8個小三角形來。具體答案有很多種，在此也不再累述。

【總結(jié)】這種閱讀理解題是近年來中考題的新趨勢，如果沒有材料直接去做的話，往往得不到思路。但是如果仔細理解材料中所給的內(nèi)容，那么就會變得非常簡單。這種題的重點不在于考察解題能力，而在于考察分析，理解和應(yīng)用能力。專門去找大量的類似題目去做倒也不必，而培養(yǎng)審題，分析的能力才是最重要的。考生拿到這種題，第一就是要靜下心來慢慢看，切記不可圖方便而草草看完材料就去做題，如果這樣往往冥思苦想半天還要回來看，浪費了大量時間。裁剪問題和拼接問題也是經(jīng)常出現(xiàn)在此類問題當中的，面對這種題要把握好構(gòu)成那些等量關(guān)系的要素，如中點，N等分點等特殊的元素。綜合來說只要仔細理解材料中的意圖，那么這一部分的分數(shù)十分好拿，考生不用太過擔(dān)心。

第二部分  發(fā)散思考

【思考1】幾何模型：

條件：如下左圖，、是直線同旁的兩個定點．問題：在直線上確定一點，使的值最小．

方法：作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)交于點，則的值最小（不必證明）．

模型應(yīng)用：

（1） 如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點．連結(jié)，由正方形對稱性可知，與關(guān)于直線對稱．連結(jié)交于，則的最小值是___________；

（2） 如圖2，的半徑為，點在上，，，是 上一動點，則的最小值是___________；

（3）如圖3，，是內(nèi)一點，，分別是上

的動點，則周長的最小值是___________．

【思路分析】利用對稱性解題的例題。前兩個圖形比較簡單，利用正方形和圓的對稱性就可以了。第三個雖然是求周長，但是只要將這個題看成是從P點到Q，然后到R再折回來的距離最小，當成是那種“將軍飲馬”題目去做就可以了。

【思考2】

直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面積相等的矩形，方法如下:

請你用上面圖示的方法，解答下列問題：

(1)對任意三角形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形；

(2)對任意四邊形，設(shè)計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等的矩形.

(1)

【思路分析】材料的方法中，如果延長中位線，并且由底邊頂點做中位線的垂線。那么如下圖，箭頭所指的兩個三角形就是全等的，另外一邊也是一樣，所以這種裁減方法就是利用全等來走。第一問純屬送分，按材料中所給的三角形拆法就可以了。第二問說裁剪梯形，實質(zhì)上梯形就是由兩個三角形組成的，所以隨便找一條對角線將梯形拆開，然后按照第一問的思路去做就可以了。

【思考3】

將圖①，將一張直角三角形紙片ABC折疊，使點A與點C重合，這時DE為折痕，

△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩形（其中一個是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形”.

圖①                         圖②                 圖③

（1）如圖②，正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請在圖②中畫出折痕；

（2）如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜三角形ABC，使其頂點A在格點上，且△ABC折成的“疊加矩形”為正方形；

（3）如果一個三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是     ；

（4）如果一個四邊形一定能折成“疊加矩形”，那么它必須滿足的條件是        . 

【思路分析】本題雖然給出了一個“疊加矩形”的定義，但是和其他題目相比來說依然是換湯不換藥。其實就是先要找出一個矩形，然后再去把三角形或者四邊形的銳角部分都軸對稱進來即可。但是注意，能疊成這樣一個疊加矩形的圖形，很重要的一條就是三角形的一邊長和該邊的高相等，然后只有借助垂直關(guān)系才能構(gòu)造出矩形來，所以第四問中的四邊形滿足的條件也應(yīng)該是和垂直且相等的關(guān)系有關(guān)。（有興趣的同學(xué)可以自己證明一下看看）。

第三部分 思考題解析

【思考1解析】

⑴ 的最小值是；

⑵　的最小值是；

⑶　周長的最小值是．

【思考2解析】

【思考3解析】

（1）              

（2）

（3）三角形的一邊長與該邊上的高相等.  

（4）對角線互相垂直.（這里回答菱形，正方形是沒有分的，因為只需對角線互相垂直即可疊成矩形，并不一定要四邊有相等關(guān)系，試試看，梯形也可以）