初中幾何綜合復(fù)習(xí)

一、典型例題

例1（2005重慶）如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求證：BD＝CD。

例2（2005南充）如圖2-4-1，⊿ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點E，點F是BE的中點．（1）求證：DF是⊙O的切線．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的長．

例3.用剪刀將形狀如圖1所示的矩形紙片ABCD沿著直線CM剪成兩部分,其中M為AD的中點.用這兩部分紙片可以拼成一些新圖形,例如圖2中的Rt△BCE就是拼成的一個圖形.

 (1)用這兩部分紙片除了可以拼成圖2中的Rt△BCE外,還可以拼成一些四邊形.請你試一試,把拼好的四邊形分別畫在圖3、圖4的虛框內(nèi).

(2)若利用這兩部分紙片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,設(shè)原矩形紙片中的邊AB和BC的長分別為a厘米、b厘米,且a、b恰好是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,試求出原矩形紙片的面積.

二、強化訓(xùn)練

練習(xí)一：填空題

1.一個三角形的兩條邊長分別為9和2，第三邊長為奇數(shù)，則第三邊長為        .
2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分線,則∠AOC = ___   ．

3.直角三角形兩直角邊的長分別為5cm和12cm，則斜邊上的中線長為          
4.等腰Rt△ABC, 斜邊AB與斜邊上的高的和是12厘米, 則斜邊AB=     厘米．

5.已知：如圖△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 則∠EDF的度數(shù)為________．

6.點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，若平行四邊行ABCD的面積為8cm，則△AOB的面積為        .
7.如果圓的半徑R增加10% , 則圓的面積增加_________  .

8.梯形上底長為2，中位線長為5，則梯形的下底長為           .　
9. △ABC三邊長分別為3、4、5，與其相似的△A′B′C′的最大邊長是10，則△A′B′C′的面積是          .
10.在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于       .
練習(xí)二：選擇題

1.一個角的余角和它的補角互為補角，則這個角等于               [   ]
　　A.30°　 B.45°　 C.60°　　 D.75°

2.將一張矩形紙對折再對折（如圖），然后沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分，將①展開后得到的平面圖形是                          [   ]  

A．矩形     B．三角形  

C．梯形     D．菱形

3.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是                         [   ]

A.           B.           C.           D.

4.既是軸對稱，又是中心對稱的圖形是                          [   ] 
　　A.等腰三角形　　　　 B.等腰梯形
　　C.平行四邊形　　　　 D.線段
5.依次連結(jié)等腰梯形的各邊中點所得的四邊形是                     [   ]
　　A.矩形　  B.正方形   C.菱形　 　 D.梯形
6.如果兩個圓的半徑分別為4cm和5cm,圓心距為1cm，那么這兩個圓的位置關(guān)系是                                                             [   ]
　　A.相交　　 B.內(nèi)切　　 C.外切　　 D.外離
7.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm,那么扇形的面積為         [   ]
　　
8.A.B.C三點在⊙O上的位置如圖所示，

若∠AOB＝80°，則∠ACB等于  [   ]

A．160°  B．80°

C．40°   D．20°

9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,則∠BCF的度數(shù)是[   ]　　
    A.160°    B.150°   C.70°     D.50°

        （第9題圖）                                          （第10題圖）              

10.如圖OA=OB，點C在OA上，點D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，圖中全等三角形共有                                                [    ]
　　 A.2對　　 B.3對　　 C.4對　　　 D.5對 
練習(xí)三：幾何作圖                                                                                  

1．下圖左邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形，要求大小與左邊四邊形不同。

2. 正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一條實線上；②連結(jié)三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，小華在左邊的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC，請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等。

3.將圖中的△ABC作下列運動，畫出相應(yīng)的圖形，并指出三個頂點的坐標(biāo)所發(fā)生的變化.

（1）沿y軸正向平移2個單位；（2）關(guān)于y軸對稱；

4. 如圖, 要在河邊修建一個水泵站, 分別向張村, 李村送水．修在河邊什么地 方, 可使所用的水管最短?(寫出已知, 求作, 并畫圖)

練習(xí)四：計算題

1. 求值：cos45°+ tan30°sin60°.

2．如圖：在矩形ABCD中，兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=4cm ,AD=cm.

(1)判定△AOB的形狀.  （2）計算△BOC的面積.

3. 如圖,某廠車間的人字屋架為等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD和上弦AC的長(答案可帶根號)

4.如圖，折疊長方形的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE的長.

練習(xí)五：證明題

1．閱讀下題及其證明過程：

已知：如圖，D是△ABC中BC邊上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE，

求證：∠BAE=∠CAE.

證明：在△AEB和△AEC中，

∴△AEB≌△AEC(第一步)

∴∠BAE=∠CAE(第二步)

問：上面證明過程是否正確？若正確，請寫出每一步推理根據(jù)；若不正確，請指出錯在哪一步？并寫出你認(rèn)為正確的推理過程；

2. 已知：點C.D在線段AB上，PC＝PD。請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形并給予證明。所加條件為＿＿＿＿＿，你得到的一對全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。

證明：

3.已知：如圖 , AB=AC , ∠B=∠C．BE、DC交于O點．

求證：BD=CE

所添條件為： ∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）

全等三角形為：△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC）

     證明：（略）

練習(xí)六：實踐與探索

1．用兩個全等的等邊△ABC和△ACD拼成如圖的菱形ABCD?，F(xiàn)把一個含60°角的三角板與這個菱形疊合，使三角板的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合。將三角板繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)。

（1）當(dāng)三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（圖a）

①猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系是__________________；

②證明你猜想的結(jié)論。

（2）當(dāng)三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時（圖b）,連結(jié)EF，判斷△AEF的形狀，并證明你的結(jié)論。

2．如圖，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1；再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2……，如此進行下去得到四邊形AnBnCnDn。

（1）證明：四邊形A1B1C1D1是矩形；

·仔細(xì)探索·解決以下問題：（填空）

（2）四邊形A1B1C1D1的面積為____________ A2B2C2D2的面積為___________；

（3）四邊形AnBnCnDn的面積為____________（用含n的代數(shù)式表示）；

（4）四邊形A5B5C5D5的周長為____________。

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是正方形，點C的坐標(biāo)是（4，0）。

（1）直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)。A ______________ B____________ 

（2）若E是BC上一點且∠AEB=60°，沿AE折疊正方形ABCO，折疊后點B落在平面內(nèi)點F處，請畫出點F并求出它的坐標(biāo)。

（3）若E是直線BC上任意一點，問是否存在這樣的點E，使正方形ABCO沿AE折疊后，點B恰好落在軸上的某一點P處？若存在，請寫出此時點P與點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

參考答案

例1證明：因為∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE。而∠BDE＝∠ABD＋

∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 。所以  ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB

＝180°－∠BDE，∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 。     

在△ADB和△ADC中，

∠BAD＝∠CAD

AD＝AD

       ∠ADB ＝∠ADC

所以 △ADB≌△ADC  所以 BD＝CD。      

例2（1）證明：連接OD，AD． AC是直徑，

∴　AD⊥BC．　 ⊿ABC中，AB＝AC， ∴　∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC．　　 
又∠BED是圓內(nèi)接四邊形ACDE的外角，∴∠C＝∠BED．
故∠B＝∠BED，即DE＝DB．∴ 點F是BE的中點，DF⊥AB且OA和OD是半徑，即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．∴OD⊥DF ，DF是⊙O的切線．　　　　　　　 
（2）解：設(shè)BF＝x，BE＝2BF＝2x．又　BD＝CD＝BC＝6， 根據(jù)，． 化簡，得　，解得　（不合題意，舍去）．則　BF的長為2．　

例3答案：（1）如圖

（2）由題可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE。∴BC＝2AB，　即

由題意知　是方程的兩根

∴　消去a，得　　解得　或

經(jīng)檢驗：由于當(dāng)，，知不符合題意，舍去.符合題意.∴

答：原矩形紙片的面積為8cm2.

練習(xí)一. 填空
1.9　   2. 90°  3.  6.5   4.8    5. 70°  6.2     7.21%    8.8   9.24   10. 　　　　　　 　　　 　　　　 　　　　
練習(xí)二. 選擇題
1.B  2.D　3.B　 4.D　5.C 　6.B　　 7.A　 8.C　　 9.D　　10.C

練習(xí)三：

1.3略

2. 下面給出三種參考畫法：

4.作法：（1）作點A關(guān)于直線a的對稱點A'．

（2）連結(jié)A'B交a于點C．則點C就是所求的點．

證明：在直線a上另取一點C', 連結(jié)AC,AC', A'C', C'B．

∵直線a是點A, A'的對稱軸, 點C, C'在對稱軸上 

 ∴AC=A'C, AC'=A'C'∴AC+CB=A'C+CB=A'B   

 ∵在△A'C'B中,A'B＜A'C'+C'B ∴AC+CB＜AC'+C'B

即AC+CB最?。?/span>

練習(xí)四：計算

1. 1      2.①等邊三角形  ②4    3. 2、4    4. 5

練習(xí)五：證明

1.第一步、推理略      2.略

3. 證：∵∠A=∠A , AB=AC , ∠B=∠C．∴△ADC≌△AEB(ASA)∴AD=AE

∵AB=AC,  ∴BD=CE．　　　　　　　　　　
練習(xí)六；實踐與探索

1.（1）①相等   ②證明△AFD≌△AEC即可

（2）△AEF為等邊三角形，證明略

2..（1）證明略   （2）12，  6   （3）   （4）

3. （1）A（0，4）B（4，4）

 （2）圖略，F(xiàn)（2，）