矩陣特征值的QR算法的網(wǎng)上實驗開發(fā)

問題描述：

    矩陣計算是科學與工程計算的核心，大部分科學與工程問題都要歸結(jié)為一個矩陣計算問題，而矩陣特征值問題則是當今計算數(shù)學和科學與工程計算研究領域的重大課題。 

算法原理：

1 矩陣的Hessenberg化

    為了減少計算量，通常先經(jīng)Householder變換或Givens變換將實對稱矩陣 化為一個Hessenberg矩陣。其形式如下：

    2 矩陣的QR分解

    把矩陣 分解成一個正交矩陣 和一個上三角矩陣 的乘積，稱為矩陣 的正交三角分解，簡稱QR分解。

3 基本QR方法

記 ，對 作QR分解

令

然后對 作QR分解

再令

一般地，設已得到 ，則對 作QR分解

令

這樣，可得到一個矩陣序列

由此可得

因此矩陣 和 相似。于是，矩陣序列 中的每一個矩陣都與原矩陣 相似，從而它們的特征值都相同?？梢宰C明，在一定條件下， 的主對角線以下的元素當 時，都趨于零。因此，當 足夠大時，可把 的主對角線元作為矩陣 的特征值的近似值。

基本QR方法的迭代公式如下：

    4 帶雙步位移的QR方法

    為了加速收斂，對基本QR方法進行改進，改進為下面的帶雙步位移的QR方法：

其中 ， 是一對實數(shù)，稱為位移量，選取 右下角二階子式

的兩個特征值。

Applet使用方法：

下面的Applet就是用于實現(xiàn)該算法的可視化的。

界面中的幾個編輯框用于用戶輸入的相應的變量，方陣階數(shù)N請輸入一個整數(shù)，下面的編輯框請輸入一個實對稱矩陣,元素間用一個空格隔開(程序運行時，編輯框中都賦了初始值，用戶可以直接用這組值進行實驗)，選擇化Hessenberg矩陣的方法－－"Givens"或"Householder"；當相關輸入完成后，選擇按鈕"OK"，就可得到相應結(jié)果。

• 最后的思考問題：

    1、上面的實驗是以實對稱矩陣為基礎的，請讀者思考對于一般矩陣來說應如何改進實驗。

    2、請讀者對該實驗進行拓展以用于解決一類相似問題。