從囚犯難題說起

我們先從一個常見的案例說起。這個故事是這樣的：

有一個富人在家中被謀殺，他的財產(chǎn)被盜。警方在偵訊過程中抓到兩名嫌疑犯：甲和乙，并在他們家中搜出了被盜的財物。但甲、乙都否認殺人，聲稱他們進入被害 人家中時那個人已經(jīng)死去。所以警方肯定他們至少犯下了盜竊罪，但對他們是否殺死了被害人并沒有把握。于是警方在把他們隔離的情況下分別對他們表示：因為偷 東西已經(jīng)有確鑿證據(jù)，這將被判刑2年；如果拒不承認殺人而被另一方檢舉，將被判刑20年，而檢舉的一方可以受獎無罪釋放；如果雙方都坦白殺人，將各被判刑 10年。這樣，甲乙可能面臨的判決如下：



通過分析可以看出，最后的結果是甲乙都會承認殺人。因為對本人來說，不管對方承認不承認，自己承認總比不承認好。如果對方不承認，自己承認相比不承認等于 從判刑2年改為無罪釋放；如果對方承認，自己承認相比不承認相當于從判刑20年減到了10年。這樣，對甲乙雙方來說，最佳的選擇都是承認殺人。

這個結果與他們是否真的殺了人無關，即使他們沒有殺人，也會承認殺人。由于特定的選擇條件，本來對雙方最有利的結局（都不承認殺人，各被判刑2年）不會出 現(xiàn)，出現(xiàn)的是對雙方都不利的結果，這就是所謂的“囚犯困境”。我們想想看，“文革”時期坦白從寬、抗拒從嚴的政策使一大批人承認了自己從沒有犯過的“罪 行”，原因就在于此。

“囚徒困境”具有非常深刻的含義，它說明了為什么短視地追求自己利益將導致對大家都不利的結局?，F(xiàn)實中類似的例子還很多，比如為了圖一時的方便，大家都不 按交通規(guī)則行事，結果導致交通癱瘓；再比如前些年很多單位拿國家的錢爭相發(fā)獎金，結果導致了全社會的通貨膨脹。不同的是，在囚徒困境模型里只涉及兩個人， 如果這種情況重復出現(xiàn)，兩個人很容易從失敗中吸取教訓，從選擇承認殺人改為不承認，這樣，處境就可以改善。而生活中很多類似囚徒困境的情況涉及到成千上萬 的單位或個人，要想讓他們一致地改進策略就非常困難。

在囚徒困境中，雙方都承認殺人是一個穩(wěn)定的結果，因為任何一方一旦單獨離開這個選擇，只會使自己的處境變得更壞。在多次重復的情況下，雙方可能通過吸取教 訓改變策略（都不承認罪行），使雙方都能受益。然而這又是一個比較脆弱的均衡，因為任何一方一旦突然改變策略，承認罪行，又可以立刻得利。但這種利益也不 會長久，到了下一次，對方必然也承認罪行，從而回到最初對雙方都不利的狀況。所以，除非雙方都能著眼于長遠利益，并克服僥幸的心理，他們才可能走出困境。

博弈論的基本概念和分析方法

“囚 徒困境”其實是博弈論里一個特定的例子。博弈論又叫對策論，它研究兩人或多人對局時，各方如何決定自己的策略，以求得最佳結果。在博弈中各方都有幾種可供 選擇的著法，各方雖然知道每種對策所導致的后果，但并不知道對方將選擇何種著法。它是對利益對立條件下人的選擇規(guī)律性的客觀研究，它不偏袒任何一方，它既 要考慮如何進攻，又要考慮如何防御。

博奕論中的對局（game），定義為有一定人數(shù)參加（不是變換著的）、每人有一定數(shù)目的策略（strategy）。各方的策略給定后，稱為一個局 （play）。對所有發(fā)生的局都有一個支付數(shù)量（payoff），就稱為對策。下面我們再舉一個例子來說明博弈論的分析方法。

設甲、乙二人參加一種游戲，甲有兩種選擇：A1或A2；乙也有兩種選擇：B1或B2。游戲規(guī)則規(guī)定：如果甲選擇 A1，乙選擇B1，則乙付給甲1元；如果甲選擇A1，乙選擇B2，甲付給乙1元；如果甲選擇A2，乙選擇B1，乙付給甲2元；如果甲選擇A2，乙選擇 B2，甲付給乙2元。我們可以把游戲規(guī)則用一個方陣來表示：



這個方陣我們稱為甲的支付矩陣，矩陣中的正數(shù)表示甲的所得、乙的支付，而負數(shù)表示甲的支付、乙的所得。類似地，可以想象，乙也有一個支付矩陣，其中的數(shù)字正好跟甲的支付矩陣反號。這樣，我們看甲乙二人會如何選擇。

對乙來說，最有利的選擇是B2，這樣他肯定贏錢，至少能得到1元。如果選B1，他不僅不可能贏錢，反而必須付錢。

對甲來說，最有利的結果是A2B1，但他知道，乙不可能選B1，所以他只能選A1，這樣能把損失降到最低。

所以，最后的結果是A1B2，甲付給乙1元。對這個結果，雙方都沒有改進的余地，如果改變策略只能使自己的處境變得更糟，因而都不愿意改變策略，我們稱之 為納什均衡。在例中，對任何一個局，一方的收入等于另一方的付出，參與各方損益之和為零，稱為零和對局。容易看出，零和對局的特點一方的支付矩陣為另一方 支付矩陣的反號。

我們知道，經(jīng)濟活動中的商品交換不是零和對局。參與交換的人都能從中得益，所以他們才有參與的積極性。股票市場也不是零和對局。一個正常的股票市場，從總量上看，投資者賺的錢一定大于賠的錢，這是因為股票市場能促進資源優(yōu)化配置，為社會創(chuàng)造了財富。

前面支付矩陣得到的結果－1（A1B2）還有一個特點，它是所在行中的最小值，又是所在列中的最大值，我們稱之為鞍點。當支付矩陣有鞍點時，雙方將穩(wěn)定在這個點上，不再移動。此策略稱為博奕對局的穩(wěn)定解，簡稱解。

較復雜的博弈方式：混合策略

對于沒有鞍點的對局，雙方將采取碰運氣的方式混合使用各種策略。下面舉一個例子：

在這個矩陣中，找不一個點，在所在行中為最小，同時在所在列中為最大，所以它沒有鞍點。這個對局沒有一個穩(wěn)定的解。

設想一下，如果甲選擇A1，乙將選擇B1；如果乙選擇B1，甲又會變?yōu)锳2；如果甲變?yōu)锳2，乙又會跑到B2；如果乙到了B2，甲又會選擇A1……如此往 復，永遠找不到一個穩(wěn)定的解。對這樣的對局，雙方無法推測對方的策略是什么，因此只能碰運氣，混合使用各種策略。

值得注意的是，混合策略也有均衡解，即按概率分配每種策略，使得結局為最優(yōu)。這種情況可以引用一個案例來說明（本例為講座后收集補充）。我們來看一個犯罪者與警察的支付矩陣（假定犯罪者在警察休息時一定作案成功，在警察巡邏時作案一定會被抓?。?br>


這個矩陣的數(shù)字含義表示：警察巡邏，犯罪者不作案，雙方都沒有收益也沒有損失；警察巡邏，犯罪者作案，警察因抓到罪犯受到表彰，得到效用2單位，罪犯被判 刑喪失效用2單位；警察休息，犯罪者不作案，警察休息的很愉快得到效用2單位，犯罪者沒有收益也沒有損失；警察休息，犯罪者作案，警察因失職被處分而喪失 效用1單位，罪犯犯罪成功獲得效用1單位。這個博弈是沒有納什均衡的。

但是，如果警察知道犯罪者以p的概率選擇作案（不作案概率就為1-p），他該怎樣采取自己的行動？對警察而言，巡邏的預期效用為0×（1-p）+2p= 2p，休息的預期效用為2×（1-p）-1×p=2-3p。顯然，當2p>2-3p即p>0.4的時候,警察最好選擇巡邏；反之2p< 2-3p即p<0.4的時候，警察寧愿選擇休息。假設警察應以q的概率巡邏（休息的概率就為1-q），那么犯罪者最好的行動是什么？他作案的預期效 用是-2×q+1×（1-q）=1-3q，不作案的預期效用為0×q+0×（1-q）=0。顯然，當1-3q>0即q<0.33時，他的理性 選擇是作案，反之不作案。在這個博弈中，警察以0.33的概率巡邏0.67的概率休息，犯罪者以0.4的概率作案0.6的概率不作案構成一個混合納什均 衡。

博弈均衡的一般規(guī)律

為了總結求解零和對局的一般規(guī)律，我們再來看一個更復雜的例子。以下為甲的支付矩陣（乙的支付矩陣與此反號）：

在對局中，甲有4種選擇，乙有5種選擇，現(xiàn)在來看二人如何選擇自己的策略。

甲作選擇時，會這么考慮：如果自己選A1，對方為了最大限度降低損失，必然選B5。同理，如果自己選A2，對方必然選B3；如果自己選A3，對方必然選 B1；如果自己選A4，對方必然選B5。比較四個可能出現(xiàn)的結果（表中斜體字）：0、4、2、1，對甲最有利的是4，所以甲會選擇A2。

乙作選擇時，將這么考慮：如果自己選B1，對方為了最大限度受益，必然選A1。同理，如果自己選B2，對方必然選A4；如果自己選B3，對方必然選A2； 如果自己選B4，對方必然選A1；如果自己選B5，對方必然選A3。比較五個可能出現(xiàn)的結果（表中粗體字）：9、6、4、8、8，對乙最有利的是4，所以 乙會選擇B3。

最后的結果是A2B3——乙向甲支付4，這是一個穩(wěn)定解（也是納什均衡），無論甲或乙都不會離開這個策略，因為離開將對自己不利。支付值4有一個特點，它 是各行的最小值中最大者，同時又是各列中最大值中的最小者，這就是鞍點。由此可以得出求解二人零和對局的一般方法：尋找支付矩陣各行中最小值中的最大者 （Maximin），同時尋找各列中最大值中的最小者（Minimax），如果兩者重合，重合點就是對局的鞍點，此時我們稱之為純策略的均衡解。

根據(jù)支付矩陣橫行的Maximin＝豎列的Minimax求解零和對局的規(guī)律，我們再來回顧前面第一個對局中的求解過程。

在例中，甲選擇的每一個策略中都有一個損失最大的。他會比較所有策略中損失最大的結果中選損失最小的。其他策略可能有得益，但是也可能損失更大。如果對方 是聰明的，就不會制造空子。所以甲將在橫行中選擇策略A1（如果選擇策略A2他可能損失2，現(xiàn)在頂多損失1），這是選擇最小值中的最大者，即 Maximin。

乙選擇策略的原則也類似，他將找出同一支付矩陣各列中的最小者，然后比較這些最小值，找出最大的，即Minimax（也是對他自己的支付矩陣中的 Minimax）如果此結果與甲所選的結果重合，則該對局有解。穩(wěn)定解所對應的支付值為對局的值。在上例中即為－1（A1B2）。

博弈矩陣中Minimax＝Maximin代表最優(yōu)均衡解的概念有著深刻而普遍的經(jīng)濟學含義。市場均衡中需求和供給的交點即意味著Minimax of demand set（需求方最大值中的最小者）＝Maximin of supply set（供給方最小值中的最大者）。我們可以通過供求曲線的相交來說明這個道理。如圖：

D 為某商品的需求線，它代表商品的價格越低，愿意購買的人就越多。例如，當價格為16時，購買者為4；價格為13時，購買者為8；價格為10時，購買者為 11……在這里，可以把需求線看作一個連續(xù)變動的過程，當價格一點一點降低時，購買者在一點一點增加。需求線上的每一個點，既代表一個價格，又代表一個消 費者的購買量，該價格是該消費者對該商品的最高出價，一旦售價高于此價格，消費者將放棄購買。所以，需求線代表著一組最高出價的集合，此集合中的元素從高 到低排列，就構成了向右下傾斜的需求線。需求線上的每一個點表示最高出價（該點左邊的點的集合）集合中的最低價，也就是Minimax．

再看供給線S，它代表商品的價格越高，愿意出售的人就越多。例如，當價格為5時，出售者為6；價格為8時，出售者為9，當價格為10時，出售者為11…… 在這里，同樣可以把供給線看作一個連續(xù)變動的過程，它意味著當價格一點點上升時，出售者會一點點增加。供給線上每一個點都代表一個出售者的最低售價，如果 價格低于這個水平，出售者將放棄出售。所以，供給線代表一組最低售價的集合，此集合中的元素從低到高排列，就構成了向右上爬升的供給線。供給線上的每一個 點表示最低要價（該點左邊的點的集合）集合中的最高價，也就是Maximin.

通過市場交易，最后需求線和供給線的交點將形成均衡點，此時有11（個）人愿意以10（元）的價格購買此商品，同時又有11（個）人愿意以10（元）的價 格出售此商品，市場將完全出清。均衡價格10既是每個購買者最高出價中的最低價，又是每個出售者最低要價中的最高價，這就是我們前面所說的Minimax ＝Maximin。此時，市場處于穩(wěn)定狀態(tài)，且消費者剩余和生產(chǎn)者剩余達到最大，為最優(yōu)均衡解。

博弈論和信息經(jīng)濟學的簡單應用

下面來談博弈論和信息經(jīng)濟學的一些簡單案例。

有一個居民區(qū)，由于沒有安裝街燈，因此帶來了很多不便。于是管理部門準備通過集資來解決這個問題。但在管理者向居民們收費的時候，卻出現(xiàn)了問題：因為各個 家庭的收入不同，具體情況也不一樣：有的上夜班，有的不上夜班，有的家庭老人婦女多，有的都是青壯少年……這樣，他們對街燈的需求不相同，管理者也就無法 向他們收取統(tǒng)一的費用。

我們可以想象，其實每個家庭對街燈給自己帶來的好處都有一個評價。據(jù)此，管理者可以讓他們自愿進行出資報價，如果報價之和大于修建街燈的費用，則街燈可以 設置，余款按比例退回出資本人，這樣最為公平合理。但是問題在于，由于有搭便車的思想，各個家庭在報價的時候報出的數(shù)字往往少于其真實評價。例如，我本來 覺得設置路燈對我的好處能值100元，但我只報60元，我希望自己少出點錢，別人多出錢，而我一樣能享受到街燈的好處。這個想法是比較“聰明”，但如果人 人都跟我一樣想，街燈就可能因為經(jīng)費不足無法修建起來。這種情況經(jīng)常發(fā)生。

如何讓大家都說真話呢？研究者提出這樣的辦法：管理者首先要向居民申明，如果報價之和超出修建街燈的費用，余款按出資比例退回，多報多退，少報少退，這樣 很大程度上可以減輕大家按真實估價報價的顧慮。但即便這樣，仍然可能出現(xiàn)報價不足的情況。這時候要采用多次博弈的方法：在保密條件下重復報價，第一次不行 報第二次，第二次不行報第三次……這樣的重復報價對己無損，且因為各家各戶都希望街燈能修建起來，所以他們會愿意參與重復報價，并逐漸提高出價，直到湊夠 修建費用或達到他們的真實評價為止。

經(jīng)驗表明，上述方法在公共決策問題上能夠有效發(fā)揮作用，但也有少數(shù)情況不能達到目的（例如上面的例子中如果修建街燈的費用超出了居民的預期收益，則無法籌集足夠的修建經(jīng)費）。這就是對策論和信息經(jīng)濟學在現(xiàn)實生活中的一例具體運用。

還有一種關于對策論的研究是對拍賣的研究。一般來說，拍賣有四種方式：英國式、荷蘭式、最高價封標拍賣和第二價格封標拍賣。

英國式拍賣是我們最為常見的：由拍賣師從低到高公開叫價，潛在的買主如果認為價格可以接受，就舉牌應價。通過買主的競爭，到最后只剩下一個應價者的時候， 買賣雙方就按此時的叫價成交。這種拍賣一般都設定最低價，如果連最低價也無人應價，拍賣就中止，并不進行交易。這種拍賣適用于藝術品、土地等時效性不是很 強的商品。

另一種公開叫價的拍賣還有荷蘭式拍賣：它由拍賣師從一個相當高的價位開始叫價，從高到低，一旦有第一位賣主接受叫價，就按照這個價格成交。荷蘭式拍賣適用于時效性比較強的商品。如鮮花和活魚這樣的商品，不及時脫手不行，因此常采用荷蘭式拍賣。

最高價封標拍賣采用書面投標的形式，先由買家分別保密報價，然后公布投標結果，由出價最高的買家購得商品。

第二價格封標拍賣跟上面的最高價封標拍賣類似，不同的是：前者是按最高出價成交，而后者是按次高價成交。舉例說：四個人競購一個拍賣品，甲乙丙丁分別秘密 出價6、7、8、9，開標后，出價最高的丁將按次高的出價8購得拍賣品，這就是第二價格封標拍賣。這種方式非常有利于杜絕僥幸心理，保證買方以對商品的真 實估價參加競拍。

上述四種拍賣方式各有不同的適用場合。之所以發(fā)展出形式眾多的拍賣方式，也是出于鼓勵傳遞真實信息的需要，以達到準確估價，價高者得的目的。而有趣的是， 根據(jù)對策論和信息經(jīng)濟學的研究：在競購者行為理性和數(shù)目眾多等條件下，上述四種拍賣方式導致的拍賣人的預期收入都是相等的?；蛘哒f，四種拍賣的效率都是相 同的。

補充總結

最后我們來回顧一下囚犯難題所體現(xiàn)的深刻意義。囚徒困境的特點，是博弈雙方互不信任，采取損人利己的策略，最后導致對雙方都不利的結局。這個例子可以很好地說明道德的特點和它產(chǎn)生的過程。

道德的特點是人人遵守、人人受益，但它可能需要犧牲個人的短期利益。曾經(jīng)有學者指出，人和動物的區(qū)別，不是使用工具或使用語言，而是人有道德，知道通過抑 制短期利益獲取長期利益。最初，人跟動物一樣，是在野蠻爭斗的“叢林規(guī)則”中生存。后來，通過重復博弈和長期學習，人們意識到道德的重要性，把道德秩序建 立起來，才使人真正從動物世界中分離出來。這一過程了經(jīng)歷很長的時間。

道德的建立非常困難，而它的破壞卻很容易。因為在大家都遵守道德的時候，個別人不講道德反而能獲益。例如在馬路上，大部分車輛都按順序行駛，一旦個別車輛 加塞插隊，它就能比別人走得快。此時如果守規(guī)矩的車覺得吃了虧，也會跟著不守規(guī)矩。大家都不守規(guī)矩，都加塞排隊，就等于道德完全失效。結果如何？不僅沒有 人能走得快，反而會使交通陷于癱瘓，大家都走不了。所以缺乏道德的狀態(tài)也不會一直持續(xù)下去，新的道德秩序終究會建立起來。道德就是在反復試錯和淘汰的過程 中不斷發(fā)展的。

專門的研究還表明，在社會發(fā)展的長久歷程中，道德狀態(tài)并不完善，往往是大部分人能遵守道德，小部分人道德敗壞，但在一定限度內，社會的穩(wěn)定和發(fā)展不會遭到破壞。這說明道德秩序是一個連續(xù)性變量。

這是一個非常重要的結論。它告訴我們：道德水平的提高不是一蹴而就的，良好的道德風尚要靠每個人的行動一點一點去積累。特別在整個社會風氣惡劣的時候，我 們不能光抱怨別人，而應該從自己做起，從身邊做起，奉行良好的道德規(guī)則。這樣，每多一個講道德的人，我們的社會就會朝好的方向轉變一步。