一 背景
傅立葉分析是所有理工科學(xué)生都多少知道一點(diǎn)的，傅立葉分析的主要內(nèi)容有傅立葉級(jí)數(shù)；傅立葉變換等。傅立葉級(jí)數(shù)是所有學(xué)過工科高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)生都知道的。而作為電子工程系的學(xué)生，對(duì)傅立葉分析的掌握程度基本決定了他的信號(hào)處理的水平。
傅立葉分析是調(diào)和分析的一個(gè)總要分支。最早的三角級(jí)數(shù)展開是由于解偏微分方程的需要，在18世紀(jì)由法國(guó)的工程師兼學(xué)者Fourier在其名著 熱的解析理論 中予以詳細(xì)討論的。實(shí)際上，三角級(jí)數(shù)展開不僅在實(shí)用中有重大意義，而且對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，都深具影響。
實(shí)變函數(shù)論的開創(chuàng)者Lebesgue（1875年生）最早就是通過研究三角級(jí)數(shù)從而提出明晰的測(cè)度概念并將黎曼積分?jǐn)U充為L(zhǎng)ebesgue積分，從而大大擴(kuò)充可積函數(shù)的范圍的。三角級(jí)數(shù)還是產(chǎn)生很多病態(tài)函數(shù)的溫床。比如1872年，魏爾斯特拉斯就利用三角級(jí)數(shù)構(gòu)造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（對(duì)n＝0，1，。。。求和）。此函數(shù)就是一個(gè)處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù)。而正是對(duì)病態(tài)函數(shù)的研究促成了數(shù)學(xué)分析的革命。

二 對(duì)“分析”的分析
目前國(guó)內(nèi)工科學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)主要有：
高等數(shù)學(xué)（主要是18世紀(jì)前的一些數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容，包括一些解析幾何）
線性代數(shù)
概率統(tǒng)計(jì)
復(fù)變函數(shù)
積分變換
后四門課的名字很明確，基本反映了內(nèi)容。
但是高等數(shù)學(xué)這個(gè)名字就顯得非常含混，究竟什么叫高等數(shù)學(xué)呢？
實(shí)際上正如我前面所說，主要包含一些分析的老的內(nèi)容。我現(xiàn)在要問的是，為什么數(shù)學(xué)分析叫做數(shù)學(xué)分析？這個(gè)問題若搞清楚，就可以從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)分析的體系，而不是在那里被動(dòng)的被胡涂先生帶著做模仿動(dòng)作了（陳文燈這種人是要害死中國(guó)一代青年的！學(xué)數(shù)學(xué)決不是模仿?。《且懈呶萁驳陌盐眨?。
我沿著西方的分析思想，對(duì)“分析”二字結(jié)合數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容做一個(gè)分析。如果有人復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的話，我下面的一段話對(duì)他肯定會(huì)大有用處，能否消受，要看自己的造化了。

分析的英文原文是：analysis
MW字典對(duì)其原意的解釋是，
separation of a whole into its component parts.
漢語(yǔ)的分析，我們要分析成兩個(gè)字，第一個(gè)字是分，第二個(gè)字是析。
據(jù)金山詞霸。
分的本意是：(會(huì)意。從八,從刀。“八”就是分;從“刀”,是以刀剖物,使之分開的意思。本義:一分為二) 析的本意是：(會(huì)意。從木,從斤。用斧子劈開木頭。本義:劈,劈木頭) 這兩個(gè)字都是會(huì)意字所以analysis漢語(yǔ)翻譯做“分析”是恰當(dāng)?shù)?。?dāng)然分析一詞還有引申義， “將事物、現(xiàn)象、概念分門別類,離析出本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系”
有了以上的認(rèn)識(shí)，我們可以來探討數(shù)學(xué)分析的主要任務(wù)了。（正是這些任務(wù)使得數(shù)學(xué)分析成為一個(gè)整體，而不是分立概念的羅列）從集合，映射的觀點(diǎn)來看（這些都是19世紀(jì)，20世紀(jì)的一些觀念）數(shù)學(xué)分析的主要對(duì)象是定義域，值域均是實(shí)數(shù)集合子集的映射(這種映射基本就是所謂實(shí)變函數(shù)的范圍，實(shí)變函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，而函數(shù)是數(shù)集間的映射），所以換句話數(shù)學(xué)分析的對(duì)象是函數(shù)，數(shù)學(xué)分析也可以叫做函數(shù)分析。對(duì)于函數(shù)的分析，可以有引申意義上的分析，也可以有本意上的分析。大家多側(cè)重于對(duì)引申意義的分析，對(duì)本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我們所熟知的引申意義上的分析。

比如研究了四種特殊的函數(shù)性質(zhì)
1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 單調(diào)性。
這四種特性都是幾何上非常直觀的。（在數(shù)學(xué)分析發(fā)展的早期，直觀是指引人前進(jìn)的很好工具）注意到，在中學(xué)利用初等的工具研究了六種初等函數(shù)（常數(shù)，冪，指，對(duì)，三角，反三角）的某些簡(jiǎn)單性質(zhì)（注意簡(jiǎn)單二字，初等函數(shù)的許多性質(zhì)用初等方法研究需要相當(dāng)?shù)募记?，或者說沒有一般的規(guī)律可循，據(jù)說阿基米德在求球體的體積的時(shí)候，就求過幾個(gè)特殊的簡(jiǎn)單積分，但是他當(dāng)時(shí)當(dāng)然沒有微積分的明確概念，可見利用初等數(shù)學(xué)的工具解決復(fù)雜的難題需要專家的技巧，而數(shù)學(xué)家的任務(wù)是尋求一類問題的規(guī)律，或者說是尋求求解過程的公式化和機(jī)械化）。
實(shí)際上，對(duì)大多數(shù)函數(shù)，用初等數(shù)學(xué)的方法分析，都很難得出深刻的結(jié)論。大家可能記得在高中為了求出一個(gè)函數(shù)的極值需要多大的技巧。
人類得到比較明晰的極限的概念，花掉了大約2000年的時(shí)間，到了牛頓和萊布尼茨的時(shí)代，才有了比較明確（但是離嚴(yán)密還差的很遠(yuǎn)）的極限概念。正是極限的概念刷新了分析數(shù)學(xué)的歷史，自從極限的概念被確立后，微積分的概念才有了比較合理的基礎(chǔ)，這為函數(shù)的分析（數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容）提供了有力的工具。有了極限的工具，就可以研究函數(shù)在局部和無(wú)窮遠(yuǎn)處的發(fā)展趨勢(shì)，這就是從動(dòng)態(tài)的角度研究函數(shù)了。我們知道求極值是對(duì)函數(shù)分析的重要內(nèi)容。顯然，了解函數(shù)值的變化趨勢(shì)，對(duì)求函數(shù)的極值肯定是有好處的。有了極限的概念，就可以刻劃函數(shù)的發(fā)展趨勢(shì)。實(shí)際上刻劃像相對(duì)原像變化率的一個(gè)很有用的工具就是一個(gè)特殊的極限－－導(dǎo)數(shù)。有了導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然可以繼續(xù)研究高階導(dǎo)數(shù)。在有了導(dǎo)數(shù)以后，為了溝通函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，就有了中值定理。（我現(xiàn)在還有疑問，中值定理的出現(xiàn)是否是一種必要性的推動(dòng)，還是純理性思考的產(chǎn)物），這些中值定理主要是由法，德兩國(guó)人創(chuàng)立。
我們可以看看中值定理提出者德生卒年，這樣可以給我們重要的啟示。（依照邏輯順序排列）
1 費(fèi)馬定理 Fermat 1601-1665
2 羅爾定理 Rolle 1652-1719（標(biāo)準(zhǔn)教科書證明利用了費(fèi)馬定理）
3 拉各朗日 1736-1813（證明利用了羅爾定理）
4 柯西 1789－1857（證明利用了拉各朗日 定理）
5 落筆大 1661－1704（證明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（證明利用了柯西定理）
現(xiàn)在我們能夠看到明確的問題了!
1 從羅爾定理到拉各朗日幾乎用了50年以上的時(shí)間（由于缺乏詳細(xì)的史料，我們自能根據(jù)生卒年大致分析），從拉各朗日到柯西也大概用了50年時(shí)間。
啟發(fā)：我們往往驚嘆于數(shù)學(xué)教材的嚴(yán)密和體系宏偉，但是事實(shí)證明，就是這幾個(gè)中值定理，就花了人類100年的時(shí)間（請(qǐng)考慮世界上研究數(shù)學(xué)的人的數(shù)目），我們所看到的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，周密都不過是對(duì)歷史整理后的假相。當(dāng)然時(shí)代進(jìn)化到21世紀(jì)，我們不能用18世紀(jì)的速度要求人類和自己）。
2 落筆大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他們提出的中值定理的證明卻利用了未出生的人的定理呢？對(duì)這個(gè)問題，我們可以肯定的是：泰勒的原始證明，落筆大的原始論證都沒有用到柯西定理?。《F(xiàn)在我們所看到的證明是數(shù)學(xué)史家在對(duì)歷史進(jìn)行梳理后的產(chǎn)物！泰勒，落筆大用的概念肯定比柯西原始，可能還非常不嚴(yán)密。

這兩點(diǎn)對(duì)我們的總的啟示是，
即使是世界上第一流的頭腦，也難以在短時(shí)間內(nèi)創(chuàng)造非常嚴(yán)密的系統(tǒng)的理論。我們中國(guó)的教材在物理，化學(xué)上提及了歷史但是在數(shù)學(xué)上卻忽略了。當(dāng)年我在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的時(shí)候就非常自卑，為什么別人能夠創(chuàng)造這樣美妙的體系，而我們就不行?，F(xiàn)在終于明白了。

第二點(diǎn)，數(shù)學(xué)的發(fā)展史使我傾向于直覺主義的數(shù)學(xué)哲學(xué)，也就是原始的數(shù)學(xué)思想，來源于人的直覺，盡管這些直覺在天才的腦子里面往往是粗糙的，正如鉆石不經(jīng)打磨不能耀眼一樣。我們應(yīng)該知道（卻沒有被老師告知和教材教知）牛頓的原始的微積分概念是非常含混的和沒有穩(wěn)固基礎(chǔ)的。牛頓對(duì)無(wú)窮小和無(wú)限本身就不夠清晰（考慮到他是幾百年前的大哥，饒了他），貝克萊大主教攻擊牛頓的無(wú)窮小概念在哲學(xué)上站不住腳，馬克思也抱怨牛頓對(duì)高階無(wú)窮小的無(wú)端忽略是“暴力鎮(zhèn)壓”。我們所熟知的yipusilon－delta法則是柯西在牛頓身后幾百年才提出的，而對(duì)實(shí)數(shù)集合連續(xù)性的討論是由魏而斯特拉是，cantor等人完善的，沒有上述理論，牛頓的理論是非常不嚴(yán)密的。我們看到的數(shù)學(xué)大廈曾經(jīng)經(jīng)歷了多少次的危機(jī)。甚至到今日，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)仍存在嚴(yán)重的危機(jī)??！

三 在數(shù)學(xué)教材中，除了擺事實(shí)（用公里化的方法把文章做得花團(tuán)錦簇一般）自能使學(xué)生成為可憐蟲，在事后諸葛亮們得整理下，本來令人佩服得天才成了高不可攀的神袛。嚴(yán)重打擊學(xué)生的興趣和自信。而對(duì)歷史發(fā)展進(jìn)程的整理也歪曲了數(shù)學(xué)發(fā)展的真相，使得歷史發(fā)展的進(jìn)程被抹煞，本來自然的，可以理解的idea的發(fā)展成為高不可攀的絕妙證明。學(xué)生成為一個(gè)袖手旁觀者，而不是一個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的見證人和參與者。而我們中國(guó)需要的更多的就是這種開拓性人才??！
有了微分，按照慣例，就應(yīng)該考慮其逆運(yùn)算。這就是所謂不定積分。這是容易理解的。對(duì)初等函數(shù)的研究也是順理成章的。許多學(xué)生不都把定積分和不定積分混為一談，認(rèn)為定積分不過是對(duì)不定積分的求值。但是如果概念清晰的話。不定積分應(yīng)該是微分的逆算子。這是邏輯上的必然延續(xù)。但是定積分（嚴(yán)格說是黎曼積分）可以認(rèn)為是部分和的極限，這種積分可以認(rèn)為是從幾何直觀上求解實(shí)際問題時(shí)得出的。這樣看來，利用部分和極限求級(jí)數(shù)的和就本來不是一種技巧，而是當(dāng)然了）。
我們知道，黎曼積分對(duì)可積函數(shù)的要求是比較苛刻的，由于在歷史上，先研究的函數(shù)都是一些比較漂亮的函數(shù)，所以在當(dāng)時(shí)，并沒有問題。但是樂貝格出世后，卻在逆反心理的引導(dǎo)下，研究那些性質(zhì)不那樣漂亮的函數(shù)（比如狄里赫萊函數(shù)，還有上面提到的維爾斯特拉斯提出的病態(tài)函數(shù)。）這樣就使得測(cè)度的概念進(jìn)一步明晰。對(duì)區(qū)間長(zhǎng)度的衡量由一個(gè)原始的概念過渡到（進(jìn)化到）集合測(cè)度的概念。（cantor的集合論研究大概和樂貝格相距不遠(yuǎn)）這就是積分的概念。
在積分概念后，數(shù)學(xué)分析研究了級(jí)數(shù)。（實(shí)際上由于數(shù)列是一種特殊形式的函數(shù)，定義域?yàn)樯Ⅻc(diǎn)，級(jí)數(shù)可以認(rèn)為是積分概念的離散形）。
對(duì)級(jí)數(shù)的研究分為常項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)級(jí)數(shù)。其中非?？傄木褪侨羌?jí)數(shù)。實(shí)際上在這里，我們可以在分析的本源意義上了解為什么分析叫分析。
回到MW字典的定義：
separation of a whole into its component parts.
我們可以在原意上理解這句話。
數(shù)學(xué)分析的對(duì)象是函數(shù)。我們把上述定義中的a whole換做函數(shù)function看看。
separation of a function into its component parts.
事情清楚了，數(shù)學(xué)分析在本源意義上的理解就是對(duì)函數(shù)進(jìn)行分解，分解成需要的部件。
我們研究了冪級(jí)數(shù)，就是將函數(shù)展開成多項(xiàng)式的形式的函數(shù)分量（或部件）的和。比如泰勒級(jí)數(shù)，從中值定理就很自然得出。這在計(jì)算數(shù)學(xué)上也是有意義的。因?yàn)閮缂?jí)數(shù)大多收斂很快，而且易于用算法描述。研究了冪級(jí)數(shù)后，又研究了三角級(jí)數(shù)展開，這次也是沒頭沒腦，為什么要展開呢。傅立葉的熱學(xué)分析表明這樣展開是有益的。我們可以看到三角級(jí)數(shù)的展開出奇的簡(jiǎn)潔，就像神話一樣?。?！難道這些家伙就這么聰明？他們?cè)趺磿缘眠@么搞？（同樣是歷史的歪曲令人費(fèi)解，傅立葉之制造三角級(jí)數(shù)是從研究偏微分方程起步的，在那種特殊的背景下，相對(duì)還是比較自然的）。
其實(shí)數(shù)學(xué)分析的主要內(nèi)容就是這些（微分方程是另外一門單獨(dú)學(xué)問），多重積分實(shí)際上只是上述基本想法的自然衍生而已，大多數(shù)問題二流數(shù)學(xué)家足以完成。
我們現(xiàn)在知道數(shù)學(xué)分析是對(duì)初等數(shù)學(xué)的一次抽象，現(xiàn)在要問的就是對(duì)數(shù)學(xué)分析的再次抽象的結(jié)果如何，這就要求我們把數(shù)學(xué)分析中的對(duì)象仍看作特例，去尋求更一般的規(guī)律。以傅立葉級(jí)數(shù)為例。如果把三角級(jí)數(shù)展開看作特例，我們可以抽出三角級(jí)數(shù)展開的關(guān)鍵性質(zhì)－－正交性。在這種宏觀視角下，我們可以把函數(shù)看成集合或空間中的點(diǎn)，而把級(jí)數(shù)的正交標(biāo)準(zhǔn)基函數(shù)看作直角坐標(biāo)。從而把函數(shù)的三角展開看成是對(duì)點(diǎn)在正交系中求坐標(biāo)。（傅立葉系數(shù)就是坐標(biāo)）這樣函數(shù)本身就成為了一個(gè)點(diǎn)，可以與復(fù)平面的向量類比（我們?cè)谶@里又要感謝法國(guó)的天才笛卡兒）他天才的將坐標(biāo)系設(shè)計(jì)成正交的。為什么呢？）我們現(xiàn)在可以回答這個(gè)問題，為什么直角坐標(biāo)系是直角的，或者說是正交的分解。在內(nèi)積空間中可以很容易的看出這個(gè)問題。正交系相對(duì)于一般的基而言使用起來是無(wú)比的方便。
我們看出正是從數(shù)學(xué)分析中的特殊概念進(jìn)行進(jìn)一步抽象，我們得到了更好的理解，由天才構(gòu)做的特例中導(dǎo)出一般的概念，是另一類數(shù)學(xué)家（稱之為整理家）的重要工作。在20世紀(jì)，法國(guó)的數(shù)學(xué)繼續(xù)稱雄全球，其中的布爾壩基學(xué)派就是能夠從抽象的角度整體思考數(shù)學(xué)的一群年輕數(shù)學(xué)家。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，法蘭西民族的優(yōu)秀的抽象能力和總多的天才人物為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。這一貢獻(xiàn)，除了德國(guó)和歐陸的其他幾個(gè)國(guó)家能夠比擬以外，連英國(guó)都不能夠比擬。
我們說，第一流的數(shù)學(xué)家是那些能夠提出原始概念，開創(chuàng)新的思路的科學(xué)家。比如
歐氏幾何之余歐幾里的；
微積分之于牛，萊；
解析幾何之于笛卡兒；
拓?fù)鋵W(xué)之于龐卡來；
泛函分析之于樂貝格，banach。
cantor之于集合論。
群論之于伽羅華（真正的天才?。?！同樣是偉大的法蘭西人）。
同樣那些具有非凡直覺的數(shù)學(xué)家也是第一流的
比如高斯，黎曼（猜想）等。

很遺憾的，我們中國(guó)的本土數(shù)學(xué)家大概都是在西方人創(chuàng)造的數(shù)學(xué)空間中去工作。有些人能解決西方人出的題目，但是很少有人能開創(chuàng)新的局面。陳省身先生希望21世紀(jì)中國(guó)能夠成為能與西方諸重要國(guó)家平等對(duì)話的數(shù)學(xué)大國(guó)。在我們國(guó)內(nèi)的普遍教育模式下，我認(rèn)為這個(gè)希望在本世紀(jì)上半葉實(shí)現(xiàn)還是有困難。我們現(xiàn)在的這種教材是培養(yǎng)中才使用的，而對(duì)于培養(yǎng)上才則不合理。不僅內(nèi)容陳舊（現(xiàn)在在研究生層次開設(shè)泛函分析課作為對(duì)微積分的延續(xù)，但是鮮有老師能夠講的精彩，學(xué)生能夠真正領(lǐng)會(huì)實(shí)質(zhì)的），而且教育方法嚴(yán)重失敗。教材成了定理的羅列。而對(duì)定理的邏輯關(guān)系，來龍去脈，根本不提，完全是從應(yīng)用的角度去教學(xué)，根本沒有指望學(xué)生能夠參與數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程（老師就大多是蟲一樣的混混人物，怎么想得到培養(yǎng)學(xué)生成龍？）。實(shí)際上，現(xiàn)在日本的數(shù)學(xué)比中國(guó)要好。日本數(shù)學(xué)家里面得大獎(jiǎng)的很不少。（不過日本人現(xiàn)在也沒有出現(xiàn)能開創(chuàng)新學(xué)科的人）
這種局面反映在計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域也是這樣。對(duì)操作系統(tǒng)的研發(fā)是由西方人作。對(duì)高級(jí)語(yǔ)言的定義中國(guó)人無(wú)緣置喙。中國(guó)人忙于學(xué)習(xí)用別人定義的高級(jí)語(yǔ)言和提供的編譯器，開發(fā)工具，在別人的操作系統(tǒng)和開發(fā)平臺(tái)上做應(yīng)用級(jí)為主的開發(fā)。（即使現(xiàn)在所謂的龍心，漢芯都出世了，但是我們大家都知道這不過是一些海龜從他們的國(guó)外老師的實(shí)驗(yàn)室里面clone過來的，在概念上并無(wú)重大突破）。
在信號(hào)處理領(lǐng)域，我們中國(guó)人做信號(hào)處理也有幾十年了。就沒有一個(gè)人能夠在看出傅立葉分析不足的前提下，做出小波分析的雛形。而在不同領(lǐng)域西方人在20世紀(jì)提出大約17種不同的小波雛形。
如果繼續(xù)延續(xù)這種狀況，我可以肯定的說，這個(gè)民族沒有希望?。?chuàng)新不是空喊，創(chuàng)新需要環(huán)境。培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的大學(xué)生，我們需要有好的教授和教材。我們需要有具有挑戰(zhàn)性的問題。我們需要擺脫針對(duì)就業(yè)壓力而學(xué)的所謂實(shí)用技術(shù)（糊口技術(shù)）（起碼針對(duì)部分學(xué)生應(yīng)該如此）或埋頭做考研的準(zhǔn)備。
我們需要一流教授講基礎(chǔ)課，我們需要給一流研究者提供衣食無(wú)憂的條件，讓他們的頭腦去考慮一些有價(jià)值的問題，不要讓奔馳車?yán)蟀撞肆耍。?
中國(guó)大學(xué)生，中國(guó)知識(shí)分子，該覺醒了！！
當(dāng)國(guó)者，該覺醒了??！